山东省济南市历城第二中学2022学年高二数学下学期4月月考试题含解析

山东省济南市历城第二中学2022-2022学年高二下学期4月月考数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则=（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，，,故选A.2.设复数满足，则=（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则，求出z，求z模即可.【详解】因为，所以，所以，选A.【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及复数模的概念，属于容易题.3.对于独立性检验，下列说法正确的是（）A.K2>3.841时，有95%的把握说事件A与B无关B.K2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关C.K2≤3.841时，有95%的把握说事件A与B有关D.K2>6.635时，有99%的把握说事件A与B无关【答案】B【解析】【分析】根据独立性检验中卡方的概念知，选B.【详解】根据独立性检验中卡方的概念知,K2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关选B.1\n【点睛】本题主要考查了独立性检验中卡方的概念，属于中档题.Sn2na34.等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn，若T=3n+1，则b3的值为（）n34512A.B.C.D.57819【答案】C【解析】【分析】a35a3S5根据等差数列中==,可求出结果.b35b3T5a35a3S5a3105【详解】因为等差数列中S2n−1=(2n−1)an，所以b=5b=T，b=16=8，故选C.3353【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列前n项和，属于中档题.5.设函数f(x)是定义在上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若数列{an}是等差数列，且a3<0，则f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)的值（）A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负【答案】A【解析】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，数列{an}是等差数列，且a3＜0，∴a2+a4=2a3＜0，a1+a5=2a3＜0，x≥0，f（x）单调递减，所以在R上，f（x）都单调递减，因为f（0）=0，所以x≥0时，f（x）＜0，x＜0时，f（x）＞0，∴f（a3）＞0∴f（a1）+f（a5）＞0，∴f（a2）+f（a4）＞0．故选A．2\n6.使不等式x+1≤4成立的一个必要不充分条件是（）A.2≤x≤3B.−6≤x≤3C.−5≤x≤3D.−6≤x≤2【答案】B【解析】解不等式x+1≤4，可得−4≤x+1≤4，即−5≤x≤3，故“−6≤x≤3”是“−5≤x≤3”的一个必要不充分条件，故选B.2x−y−9≤07.已知变量x,y满足约束条件，若使z=ax+y取得最小值的最优解有无穷多个，y≤2则实数的取值集合是（）A.−2,0B.1,−2C.0,1D.−2,0,1【答案】B【解析】【分析】作出可行域，根据最优解有无穷多个，知直线与边界重合，分类讨论即可求解.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z=ax+y得y=−ax+z，若a=0，则直线y=−ax+z=z，此时取得最小值的最优解只有一个，不满足题意；若−a>0，则直线y=−ax+z在y轴上的截距取得最小值时，取得最小值，此时当直线y=−ax与直线2x−y−9=0平行时满足题意，此时−a=2，解得a=−2；若−a<0，则直线y=−ax+z在y轴上的截距取得最小值时，取得最小值，此时当直线y=−ax与直线x+y−3=0平行时满足题意，此时−a=−1，解得a=1.综上可知，a=−2或a=1，故选B.【点睛】本题主要考查了线性规划中可行域及最优解问题，以及分类讨论思想，属于中档题.In2In3Inπ8.已知a=,b=,c=，则a,b,c的大小关系为（）23πA.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a【答案】C【解析】【分析】3\nlnx′1−lnx′′构造函数y=，求导f(x)=,当0<x<e,f(x)>0，当x>e,f(x)<0，所以函数在(0,e)上增xx2函数在(e,+∞)上减函数，所以c<b，a<b即可得出结论.lnx′1−lnx′′【详解】因为f(x)=，f(x)=,当0<x<e,f(x)>0，当x>e,f(x)<0，所以函数在(0,e)上xx2增函数在(e,+∞)上减函数，所以c<b，a<b，故选C.【点睛】本题主要考查了观察推理能力，函数的极值，函数的导数在单调性极值方面的应用，属于中档题.9.在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（）A.丁B.乙C.丙D.甲【答案】D【解析】【分析】利用反证法，可推导出丁说的是真话，甲乙丙三人说的均为假话，进而得到答案.【详解】假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故甲说的是谎话；假定乙说的是真话，则丁说：“反正我没有责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故乙说的是谎话；假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故丙说的是谎话；综上可得：丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，故甲负主要责任，故答案为：甲【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，以实际问题为背景考查了逻辑推理，属于中档题.解题时正确使用反证法是解决问题的关键.10.已知函数fx=2x3−4x+2ex−e−x，若f5a−2+f3a2≤0，则实数的取值范围是（）1221A.−,2B.−1,−C.,1D.−2,3333【答案】D【解析】4\n【分析】先判断函数的增减性和奇偶性，转化f3a2≤−f5a−2=f2−5a，即可求解.【详解】由函数fx=2x3−4x+2ex−e−x，可得f−x=2−x3−4−x+2e−x−ex=−2x3−4x+2ex−e−x=−fx，所以函数fx为奇函数，又f'x=6x2−4+2ex+1，因为ex+1≥2ex·1=2，所以f'x>0，所以函数fx为单调递exexex增函数，因为f5a−2+f3a2≤0，即f3a2≤−f5a−2=f2−5a，所以3a2≤2−5a⇒3a2+5a−2≤0，1解得−2≤a≤，故选D.3【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的奇偶性和函数的单调性，转化为不等式3a2+5a−2≤0是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性把不等式转化为fgx>fhx的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意gx与hx的取值应在外层函数的定义域内是试题的易错点.y2211.已知椭圆+x2=1与抛物线x=ay有相同的焦点为F,O原点，点P是抛物线准线上一动5点，点A在抛物线上，且AF=4，则PA+PO的最小值为（）A.213B.42C.313D.46【答案】A【解析】【分析】易知抛物线方程为x2=8y，利用抛物线定义确定出A点坐标，求出A关于准线的对称点B，则PA+PO=PB+PO，利用三点共线即可求出最值.y2【详解】由题意，椭圆+x2=1,∴c2=5−1=4，即c=2，则椭圆的焦点为0,±2，不妨52aay22取焦点F0,2,抛物线x=ay=4y，∴抛物线的焦点坐标为0,，Q椭圆+x=1与抛物445a线x2=ay有相同的焦点F，∴=2，即a=8，则抛物线方程为x2=8y，准线方程为y=−2，4AF=4，由抛物线的定义得：∴A到准线的距离为4,y+2=4，即A点的纵坐标y=2，又点A在抛物线上，∴x=±4，不妨取点A坐标A4,2，A关于准线的对称点的坐标为B4,−6，则PA+PO=PB+PO≥OB，5\n即O,P,B三点共线时，有最小值，最小值为OB=42+−62=16+36=52=213，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，抛物线的标准方程，抛物线的定义及利用三点共线求两线段和的最小值，属于难题.x12.已知函数fx=kx1≤x≤e2，与函数gx=12，若fx与gx的图象上分别存在点eeM,N，使得MN关于直线y=x对称，则实数k的取值范围是（）1223A.−,eB.−,2eC.−,2eD.−,3eeeee【答案】B【解析】【分析】12求出g(x)的反函数h(x)，则方程h(x)=f(x)在,e上有解，即可求出k的取值范围.e12【详解】由题设问题可化为函数y=gx的反函数y=−2lnx的图像与fx=kx在区间,ee1242上有解的问题.即方程kx=−2lnx在区间,e上有解，由此可得−4≤kx≤2，即−≤k≤，exx2所以−≤k≤2e.e【点睛】本题主要考查了互为反函数的概念，以及方程有解求参数的取值范围，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等比数列an中，已知a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2，则a8+a9+a10=________________.【答案】128【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可求出公比，利用a1+a2+a3与a8+a9+a10的关系求解.【详解】由a1+a2+a3=1，即a2+a3+a4=a1+a2+a3q，∴q=2，6\n所以a+a+a=a+a+aq7=27=1288910123【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，属于中档题.14.设正实数x，y满足4x+y=xy，则x+y的最小值是．【答案】9【解析】41414xy4xy试题分析：4x+y=xy⇔+=1，所以x+y=(x+y)(+)=5++≥5+2=9，当且yxyxyxyx4xy仅当=时，取最小值9.yx考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15.对于三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0，给出定义：设f'x是y=fx的导数，f''x是f'x的导数，若方程f''x=0有实数解x0，则称点x0,fx0为函数y=fx的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且13125“拐点”就是对称中心.设函数gx=x−x+3x−，则3212122022g+g+⋯+g=_________________.202220222022【答案】2022【解析】【分析】″1由题意可得gx=2x−1，所以对称中心为,1，利用中心对称可求出结果.2″1【详解】由题可得：gx=2x−1，所以对称中心为,1，设gx上任意一点Px1,y1，21'因为关于,1对称，所以P关于其对称的对称点为Px2,y2在gx上，且2122022x2=1−x1,y2=2−y1，所以g(x1+1)g(x1+1)=y1−2，故g+g+⋯+g=2022202220222022【点睛】本题主要考查了函数的对称中心及其对称中心的性质，属于中档题.解题时，自变量和为对称中心横坐标的2倍等于1时，则对应函数值和为对称中心纵坐标和的2倍等于2，这是此类问题的解题关键.16.给出下列命题：7\n①设x表示不超过x的最大整数，则log21+log22+log23+⋯+log2127+log2128=649；②定义：若任意x∈A，总有a−x∈AA≠∅，就称集合A为的“闭集”，已知A⊆1,2,3,4,5,6且A为6的“闭集”，则这样的集合A共有7个；③已知函数fx为奇函数，gx=fx+2在区间0,+∞上有最大值5，那么gx在−∞,0上有最小值−3.其中正确的命题序号是__________．【答案】①②【解析】对于①，如果2k≤m<2k+1，则k≤log2m<k+1，也就是log2m=k，所以log21+log22+log23+log24+⋯+log2128=0+1×2+2×22+⋯+6×26+7，进一步计算可以得到该和为2+8+24+64+160+384+7=649，故①正确；对于②，我们把1,2,3,4,5,6分成四组：1,5,2,4,3,6，由题设可知6不是“闭集”中的元素，其余三组元素中的每组元素必定在“闭集”中同时出现或同时不出现，故所求的“闭集”的个数为23−1=7，故②正确；对于③，因为gx在0,+∞上的最大值为5，故fx在0,+∞上的最大值为3，所以fx在−∞,0上的最小值为−3，gx在−∞,0上的最小值为−1，故③错．综上，填①②．点睛：（1）根据x=k可以得到k≤x<k+1，因此k≤log2m<k+1⇔2k≤m<2k+1，这样的m共有2k，它们的和为k2k，依据这个规律可以写出和并计算该和．（2）根据闭集的要求，1,5,2,4,3中每组元素都是同时出现在闭集中或者同时不出现在闭集中，故可以根据子集的个数公式来计算．（3）注意把非奇非偶函数转化为奇函数或偶函数来讨论．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知b2+c2−a2=accosC+c2cosA．（Ⅰ）求角A的大小；253（Ⅱ）若ΔABC的面积SΔABC=，且a=5，求sinB+sinC．4π【答案】（Ⅰ）A=。（Ⅱ）3。3【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理把已知条件化为2bccosA=accosC+c2cosA，再由正弦定理化为角的关系，8\n1最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得cosA=，从而得A角；2（Ⅱ）由三角形面积公式求得bc=25，再由余弦定理可求得b2+c2=50，从而得b+c=10，sinA再由正弦定理得sinB+sinC=(b+c)⋅，计算可得结论.a试题解析：（Ⅰ）因为b2+c2−a2=accosC+c2cosA，所以由2bccosA=accosC+c2cosA，即2bcosA=acosC+ccosA，由正弦定理得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosA=sin(A+C)，∵sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，∴2sinBcosA=sinB，即sinB(2cosA−1)=0，1π∵0<B<π，∴sinB≠0，∴cosA=，∵0<A<π，∴A=.2313253（Ⅱ）∵SΔABC=bcsinA=bc=，∴bc=25，244b2+c2−a2b2+c2−25122∵cosA===，b+c=50，2bc2×252∴(b+c)2=50+2×25=100，即b+c=10，sinAsinA3∴sinB+sinC=b⋅+c⋅=(b+c)sinA=10⋅2=3.aaa518.已知数列an满足a1=1,an+1−an=2n+1n∈N.（1）求数列an的通项公式；1（2）设bn=a，求数列bn的前n项和Sn.n+nn【答案】（1）a=n2；（2）Snn=n+1【解析】【分析】2111n（1）利用累加法得an=n；（2）bn=n2+n=n−n+1，利用裂项相消法，得Sn=n+1.【详解】因为an−an−1=2n−1n≥2，又an=an−an−1+an−1−an−2+…+a2−a1+a1，所以an=2n−1+2n−3+L+3+1=n2n≥2.因为a1=1也满足an=n2，所以an=n2.1111111111（2）因为bn=2=−，所以Sn=1−+−+−+…+−，n+nnn+122334nn+11n所以Sn=1−=.n+1n+1【点睛】本题考查累加法求通项，裂项相消求和.在常规数列求通项的题型中，累加法、累乘法是常见的求通项方法，熟悉其基本形式.数列求和的题型中，裂项相消法、错位相减法9\n是常见的求和方法，熟悉其基本结构.19.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据:x3456y2.5344.5(1)请根据上表提供的数据，y关于x的线性回归方程y=bx+a；(2)已知该厂技改前100吨甲产品生产能耗为95吨标准煤．试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考公式：b=ni=1xiyi−nxyna=y−bx）xi2−nx2i=1【答案】(1)线性回归方程y=0.7x+0.35;(2)预测产生100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低24.65吨标准煤.【解析】66.5−4×4.5×3.566.5−63试题分析：（1）由系数公式可知x=4.5，y=3.5，b=2==0.786−4×4.559a=3.5−0.7×=0.35，所以线性回归方程y=0.7x+0.352（2）x=100时，y=0.7x+0.35=70.35，所以预测产生100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤考点：本题考查了线性回归方程的求解及应用点评：求回归直线方程的步骤是：①作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；②如果散点在一条直线附近，由公式求出a、b的值，并写出线性回归方程x2y2120.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为23，离心率e=．a2b22（1）求椭圆C的标准方程；（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线与椭圆C交于不同的两点A、B，求ΔF1AB的面积的最大值.10\nx2y2【答案】（1）+=1；（2）3.43【解析】试题分析：（1）根据题意列出待定系数的方程组，即可求得方程；（2）把ΔF1AB分解为1和，所以其面积为SΔF1AB=2|F1F2|·|y1−y2|=|y1−y2|，设出直线的方程为x=my+1，12m2+12整理方程组表示出y1+y2,y1y2，代入上式即可求得SΔF1AB=2，可换元t=m+1，则t≥1，3m+412t4则SΔF1AB=3t2+1=1，研究求单调性即可求得其最大值.t+3t2b=23c1试题解析：（1）由题意可得=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分a2a2=b2+c2解得a=2,b=3．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分x2y2故椭圆的标准方程为+=1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分431（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，SΔF1AB=2|F1F2|·|y1−y2|=|y1−y2|………………6分由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为x=my+1，x=my+12222−6m−9由xy得(3m+4)y+6my−9=0，所以，y1+y2=3m2+4,y1y2=3m2+4．．．．．．．．．8分+=143又因直线与椭圆C交于不同的两点，故Δ>0，即(6m)2+36(3m2+4)>0,m∈R．则112m2+1SΔF=|F1F2|·|y1−y2|=|y1−y2|=(y1+y2)2−4y1y2=．．．．．．．．．．．．．．10分1AB23m2+4令t=m2+1，则t≥1，则12m2+112t4SΔF1AB=3m2+4=3t2+1=1，t+3t13令f(t)=t+3，由函数的性质可知，函数f(t)在[,+∞)上是单调递增函数，t3即当t≥1时，f(t)在[1,+∞)上单调递增，4因此有f(t)≥f(1)=3，所以SΔF1AB≤3，即当t=1，即m=0时，SΔF1AB最大，最大值为3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查了待定系数法和函数、不等式的思想，属于中档题.求解椭圆的标准方程时应注意；本题第11\n（2）问解答的关键是根据把ΔF1AB的特征，把它分解为和，这样其面积1SΔF1AB=2|F1F2|·|y1−y2|=|y1−y2|，大大简化了运算过程，提高了解题的准确率，最后通过换元，利用的导数研究其单调性，求得其最大值.21.已知函数fx=ex−ax−2（是自然对数的底数，a∈R）.（1）求函数fx的单调递增区间；k−x（2）若k为整数，a=1，且当x>0时，f'x<1恒成立，其中f'x为fx的导函数，求x+1k的最大值.【答案】（1）当a≤0时，fx的增区间为−∞,+∞；当a>0时，fx的增区间为Ina,+∞；（2）2.【解析】试题分析：（1）求单调增区间，只要解不等式f'(x)>0，它的解集区间就是所求增区间；（2）k−x′x不等式f(x)<1恒成立，不等式具体化为(k−x)(e−1)<x+1，由于x>0，因此又可转化为x+1x+1x+1x+1k<+x，这样k小于+x的最小值，因此下面只要求g(x)=+x的最小值.g'(x)=ex−1ex−1ex−1ex(ex−x−2)xx2，接着要讨论h(x)=e−x−2的零点，由于h(x)在(0,+∞)上单调递增，且h(1)<0,h(2)>(e−1)0，因此h(x)在(0,+∞)上有唯一零点，即在上存在唯一的零点，设其为α，则g'(α)=0,α∈(1,2)，可证得g(α)为最小值，g(α)=α+1∈(2,3)，从而整数k的最大值为2.试题解析：（1）.若，则恒成立，所以，在区间上单调递增.........2分若，当时，，在上单调递增.综上，当时，的增区间为；当时，的增区间为.....4分k−x′x（2）由于，所以，f(x)<1⇔(k−x)(e−1)<x+1x+1xxx+1当时，e−1>0，故(k−x)(e−1)<x+1⇔k<x+x————①6分e−1x+1令g(x)=x+x(x>0)，则e−112\n函数在上单调递增，而所以h(x)在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点.8分设此零点为α，则.当时，；当时，；所以，在上的最小值为g(α).由可得10分所以，由于①式等价于.故整数k的最大值为2.12分考点：导数与单调性，不等式恒成立，函数的零点.视频22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=4cosa+2（为参数），以O为极点，xy=4sinaπ轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为θ=ρ∈R.6（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线与曲线C相交于A,B两点，求AB的值.【答案】（1）ρ2−4ρcosθ−12=0（2）AB=215【解析】【分析】（1）将参数方程化为普通方程，再将普通方程代为极坐标方程.πππ（2）将θ=代入得ρ2−23ρ−12=0，设A,B两点的极坐标方程分别为ρ1,,ρ2,，则ρ1,ρ2666是方程ρ2−23ρ−12=0的两根，利用AB=ρ1−ρ2求解即可.x=4cosa+222【详解】（1）将方程消去参数得x+y−4x−12=0，y=4sina∴曲线C的普通方程为x2+y2−4x−12=0，将x2+y2=ρ2,x=ρcosθ代入上式可得ρ2−4ρcosθ=12，∴曲线C的极坐标方程为：ρ2−4ρcosθ=12.ππ（2）设A,B两点的极坐标方程分别为ρ1,,ρ2,，6613\nρ2−4ρcosθ=162由π消去得ρ−23ρ−12=0，θ=6根据题意可得ρ1,ρ2是方程ρ2−23ρ−12=0的两根，∴ρ1+ρ2=23,ρ1ρ2=−12，∴AB=ρ1−ρ2=ρ1+ρ22−4ρ1ρ2=215.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与普通方程的互化，极坐标的几何意义，属于中档题.23.设函数fx=log25−x+1−x−2的定义域为D.（1）求集合D；ab（2）设a,b∈D，证明a+b<3+.3【答案】（1）D=x−2<x<3（2）见解析【解析】【分析】（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）将不等式平方因式分解即可证得.【详解】（1）解：，当时，，解得，当时，恒成立，当时，，解得，综上定义域.（2）证明，原不等式由得，原不等式得证.【点睛】含绝对值不等式的解法由两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论的思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.14