浙江省91高中联盟2022届高三数学上学期期中考试试题（附答案）

浙江省9+1高中联盟2022届高三上学期期中考试数学试题选择题部分（共40分）一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.复数（为虚数单位）在复平面内所对应的点在直线上，则（）A.B.2C.D.103.一个正棱柱的正视图和俯视图如图所示（单位:），则该三棱柱侧视图的面积（单位:）是（）A.B.2C.D.4.函数的图象可能是（）A.B. C.D.5.在中，“角为锐角”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若为平面区域内任意一点，则点到平面区域的边界的距离之和最大值是（）A.1B.C.D.27.用数字组成五位数，且数字至少都出现一次，这样的五位数共有（）个.A.120B.150C.210D.2408.已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点.点满足，且.若，则双曲线的离心率是（）A.B.C.2D.9.设函数，若，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.10.已知数列满足，记数列前项和为，则（）A.B.C.D. 非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.直线过定点（），直线，若，则=（）12.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.现有阳马，底面，底面为正方形，且，则异面直线与所成角的大小为（）13.袋中装有大小相同的2个红球和1个黄球，小明无放回地连续摸取2次，每次从中摸取1个.记摸到红球的个数为，则（），（）14.若为奇函数，则（）15.已知且，数列的通项满足，则（），记的前项和为，则（）16.已知，内角所对的边分别是的角平分线交于点.若，则（），的取值范围是（）17.已知平面向量满足:，当与所成角最大时，则（）三、解答题（本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.（本小题满分14分）已知函数.（I）求函数的最小正周期和单调递增区间;（II）若，求函数的值域.19.（本小题满分15分）在中，分别为的中点，将沿着直线翻折，得到多面体.若二面角大小为，为中点.（I）求证:;（II）求直线与平面所成角的正弦值. 20.（本小题满分15分）已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且成等比数列.（I）求数列的通项公式;（II）设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.21.（本小题满分15分）已知是抛物线的焦点，点是抛物线上横坐标为2的点，且.（I）求抛物线的方程;（II）设直线交抛物线于两点，若，且弦的中点在圆上，求实数的取值范围.22.（本小题满分15分）已知函数.（I）求函数的最小值;（II）若有三个零点，（i）求的取值范围;（ii）求证:. 2021学年第一学期9+1高中联盟期中考高三数学参考答案一、选择题12345678910CADBDCBCAB9.解：，即，为方程的两个根.则有，，，可得..令，则，所以.10.解：由可得，化简得，累加求和得，化简得，因为，所以，即，.，， 所以，即.二、填空题11.，；12.；13.，；14.；15.84，；16.4，；17..16.解：法一：已知，由正弦定理得.又因为为的角平分线，可得面积关系为，记，则有可得，又由余弦定理得，即.又，即，所以，，此时.即.法二：由已知可得，所以点在以，为焦点的椭圆上（去掉与直线的两个交点），轨迹方程为.根据为的角平分线，及面积关系， 记，可得，即.又由椭圆焦点三角形的面积公式可得，所以，又，此时，即.17.解：记，，，则，即点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆.过，两点的圆与圆相外切，记切点为，此时最大（如图）.下证上述结论：取圆上不同于切点的点，因为在圆的外面，所以.下面求当最大时，的值.记圆的半径为，则.所以只需求出圆的半径为即可. 法一：如右图，为弦的中点，在中，由余弦定理求得，，则.在中，，，，，由余弦定理得，.即.法二：如图建系，，，，点在以为圆心，1为半径的圆上.以为弦长作圆，当圆与圆外切时最大.圆心在弦的中垂线上，设，则，即，化简得，即或（舍去），此时，得.三、解答题18.（本题14分）解： （Ⅰ）最小正周期单调递增区间为，（Ⅱ）因为，所以，因此，函数的值域.19.（本题15分）解：（Ⅰ）由题意知，为等腰直角三角形，，且在翻折过程中始终有，，故即为二面角的平面角，于是，为正三角形.取的中点，连接，，则，，又，故面，因此（Ⅱ）法一：设，由（Ⅰ）知为正三角形，且.取的中点，连接，，则，，，故面，于是有面面.过点作交于点，连接，则有平面，所以为直线与平面所成角因为面，所以.又因为，，所以.因此，.法二：以为坐标原点，，所在直线为轴和轴，如图所示建立空间直角坐标系. 设，则，，，，于是，，.设平面的一个法向量为，则，即，取，则.设直线与平面所成角为，则.20.（本题15分）解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，则，解得：，，∴.（Ⅱ）因为，所以. 假设存在正整数，，使得，，成等差数列，则，即，整理得，则或25.当时，即时，（舍）；当时，即时，符合题意.因此存在正整数，，，使得，，成等差数列21.（本题15分）解：（Ⅰ）.（Ⅱ）设直线的方程为，，.将直线的方程与抛物线的方程联立，得，于是，，，且，化简得①.设弦的中点为，则，将点的坐标代入圆的方程，得，且，由①代入消元，消去，得.令，则，于是，解得或.若当时，随单调递增，故.若当时，令，则.因为， 所以，即单调递减，故综上所示，实数的取值范围为.22.（本题15分）解：（Ⅰ），令，则，故在单调递减，在单调递增，的最小值为.（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，时，，在单调递增，不合题意；当时，，，，故在和内分别有唯一的零点记为，，则.则在上单增，在上单减，在上单增.易知，1为的一个零点，，又，，故有三个零点，符合题意.综上，.（ii）不妨记的三个零点大小为，即.又，即.所以当时，成立.即当，则，且，又在有且只有一个零点， 所以，即.化简，得，所以.即。