天津市五校联考2021-2022高二数学上学期期中考试试卷（附答案）

天津市2021～2022学年度第一学期期中五校联考高二数学一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）1．经过，两点的直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．已知向量,且，则（）A．B．C．D．3．是“椭圆的离心率为”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若直线与平行，则与间的距离为（）A．B．C．D．5．在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则（）A．B．C．D．6．点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．B．C．D．7．直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（）A．或B．或C．或D．或 8．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）A．B．C．D．9．已知三棱锥中，两两垂直，且，，，则点P到平面的距离为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）10．经过点，且与直线垂直的直线方程是_____________.11．在空间直角坐标系中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________.12．已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_____________.13．椭圆的左右焦点为，过作轴的垂线与C交于两点，与轴相交于点D，若，则椭圆C的离心率为_____________.14．若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是_____________.15.已知点，若圆上存在点使得,则实数的取值范围是_____________.三、解答题（共5题，共75分）16．（本小题满分14分）已知点，圆．（1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程；（2）若直线与圆相交于A，B两点，弦的长为，求的值． 17．（本小题满分15分）DPEACBF如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，是的中点，，为棱上的点且.（1）证明：平面；（2）证明：直线平面；（3）求二面角的余弦值；18．（本小题满分15分）已知椭圆的上顶点为A，左顶点为B．已知椭圆的离心率为，．（1）求椭圆的方程；（2）若直线过的右焦点交椭圆于两点，，求直线的方程．19.（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，平面,，分别是的中点（1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分16分）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，若直线的斜率为，且与椭圆的另一个交点为，的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线（直线的斜率不为）与椭圆交于、两点，点在点的上方，若，求直线的斜率．天津市2021～2022学年度第一学期期中五校联考高二数学参考答案一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）1—5ACBCB6—9ADAD二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）10．11．12．13．14．15．三．解答题（共5题，共75分）16．（本小题满分14分） 解：（1）由题意知圆心的坐标为，半径，..............................1分当过点的直线斜率不存在时，方程为，由圆心到直线的距离知，直线与圆相切，..............................3分当过点的直线存在斜率时，设方程为，即．.............................4分由题意知，解得，直线的方程为．..............................7分故过点的圆的切线方程为或．..............................8分（2）圆心到直线的距离为，...........10分，..............................13分解得．..............................14分17．（本小题满分15分）证明：（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由，则，，，，DPEACBFyzx则，，，设是平面的一个法向量，则由，得，取，得. ，，又平面，平面......................5分（2）由又，故，......................8分又所以直线平面......................10分（3）解：由（1）知是平面的一个法向量，.....................11分又是平面的一个法向量.，......................14分故二面角的平面角的余弦值为......................15分18．（本小题满分15分）解：（1）由可得，又，解得，∴椭圆的方程为．......................5分（2）①当直线斜率不存在时，由椭圆的方程可知：椭圆的右焦点坐标为：，所以直线方程为：，代入椭圆方程中，得，不妨设，，不合题意；......................7分②设直线， 由得：，.....................11分，即..........13分解得，..........14分∴直线的方程为.........15分19．（本小题满分15分）解：（1）分别以所在的直线为轴、轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，....................2分则，设平面的法向量为，则，即，令，可得，即，......................5分所以，......................6分所以直线与平面所成角的正弦值为.......................7分（2）假设在棱是存在一点，设，可得，............8分 由，可得，设平面的法向量为，则，即，令，可得，即，...........10分又由平面的一个法向量为，所以，因为平面与平面的夹角的余弦值为，可得，解得，.....................13分此时，符合题意，所以在棱上存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为............15分20.（本小题满分16分）解：由的周长为，所以，则.由直线的斜率为，所以，又，所以.所以椭圆的标准方程为..........................4分（2）由题意可得直线方程为，联立得得，解得，解得,所以.........7分因为，则， 所以............................9分当直线的斜率为时，不符合题意；故设直线的方程为，设点由点在点的上方，且，则有...........................11分联立，所以，则将，代入，可得，进而有......................13分解得，.............................14分由题意知，所以..........................15分故直线的斜率为.........................16分