2020-2021学年八年级上期中数学试题（解析版）

南岗区“NF联盟”八年级期中调研测试数学试卷一、选择题（每小题3分，共计30分）1.下列图形中，轴对称图形的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念可直接判断．【详解】解：由轴对称图形的定义可直接判断第2个和第4个是轴对称图形，第1个和第3个不是，所以有两个轴对称图形．故选：B【点睛】本题主要考查轴对称图形的定义，理解轴对称图形，学会判断即可．2.下列计算正确的是（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项的法则可判断A项，根据幂的乘方运算法则可判断B项，根据同底数幂的乘法法则可判断C、D两项，进而可得答案．【详解】解：A、，故本选项计算错误，不符合题意；B、，故本选项计算错误，不符合题意；C、，故本选项计算正确，符合题意；D、，故本选项计算错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了合并同类项和幂的运算性质，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．3.点A（3，2）关于y轴对称点的坐标为（）．A.（-3，2）B.（-2，-3）C.（3，2）D.（3，-2） 【答案】A【解析】【分析】关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此得到答案.【详解】点A（3，2）关于y轴对称点的坐标为（-3，2），故选：A.【点睛】此题考查轴对称的性质，关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟记知识点是解题的关键.4.等腰三角形的顶角为50°，则它的底角是（）．A.50°B.65°C.70°D.75°【答案】B【解析】【分析】由等腰三角形的顶角为50°，则底角为：从而可得答案．【详解】解：等腰三角形的顶角为50°，底角：故选．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．5.如图，在已知△ABC中，AB=AC，BD=DC，则下列结论中错误的是（）A.∠BAC=∠BB.∠BAD=∠DACC.AD⊥BCD.∠B=∠C【答案】A【解析】【分析】根据等边对等角和三线合一的性质进行判断即可．【详解】解：∵AB＝AC，BD＝DC，∴∠BAD＝∠DAC，AD⊥BC，∠B＝∠C，无法得到∠BAC=∠B，故B、C、D正确，A错误． 故选A．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．难度不大，注意掌握基础知识．6.三角形中，到三边距离相等的点是（）A.三条高线的交点B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论．【详解】解：三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点故选C．【点睛】此题考查的是角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题关键．7.如图，△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE＝8，AD＝5，则AB等于（）．A.12B.13C.14D.15【答案】B【解析】【分析】根据角平分线的定义得到∠ABE=∠CBE，根据平行线的性质得到∠DEB=∠CBE，等量代换得到∠ABE=∠DEB，求得BD=DE=8，即可得到结论．【详解】解：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE，∵DE∥BC，∴∠DEB=∠CBE，∴∠ABE=∠DEB，∴BD=DE=8，∵AB=AD+BD，∴AB=5+8=13．故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．8.如果x2+kx＋6＝(x＋2)(x＋3)，则k＝()A.1B.2C.3D.5【答案】D【解析】【分析】由，从而可得：于是可得：，从而可得答案．【详解】解：，故选．【点睛】本题考查的是因式分解与整式的乘法，掌握因式分解与整式乘法是解题的关键．9.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6，则BC为()A.4B.5C.3D.2【答案】C【解析】【分析】根据角所对的直角边是斜边的一半计算即可；详解】根据题意作图如下，∵∠C=90°，∠A=30°，AB=6，∴．故答案选C．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，利用角所对的直角边是斜边的一半计算是解题的关键． 10.下列说法正确的有（）①任何数的0次幂都得1；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③有一个角是60°的三角形是等边三角形；④若△ABC与△DEF成轴对称，则△ABC一定与△DEF全等⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】【分析】根据0指数幂的意义可判断①，根据等腰三角形的性质可判断②⑤，根据等边三角形的判定可判断③，根据轴对称的性质可判断④，进而可得答案．【详解】解：任何非0数的0次幂都得1，故①错误；等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，故②错误；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故③错误；若△ABC与△DEF成轴对称，则△ABC一定与△DEF全等，故④正确；等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，故⑤错误；综上，说法正确的只有④，共1个．故选：A．【点睛】本题考查了0指数幂的意义、等腰三角形的性质、等边三角形的判定以及轴对称的性质等知识，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共计30分）11._______【答案】4a²【解析】【分析】直接根据积的乘方运算法则进行计算即可．【详解】解：．故答案为：4a²．【点睛】此题主要考查了积的乘方，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．12.把多项式分解因式的结果是_____________．【答案】3a(x+2)(x-2)【解析】【分析】先提取公因式3a，再根据平方差公式分解即可. 【详解】=3a(x+2)(x-2)，故答案为：3a(x+2)(x-2).【点睛】此题考查因式分解的方法：提公因式法、公式法(平方差公式与完全平方公式)，根据多项式的特点选择恰当的因式分解的方法是解题的关键.13.=_____________．【答案】4a²-2ab【解析】【分析】根据整式的运算法则计算即可．【详解】解：原式==故答案是4a²-2ab．【点睛】本题主要考察整式计算，记住它们的运算规则是解题关键．14.已知则=____________.【答案】6【解析】【分析】利用进行计算．【详解】∵∴．故答案为：6．【点睛】考查了同底数幂乘法计算法则，解题关键是逆向运用进行计算．15.一个等腰三角形的两条边分别为5cm和2cm，则这个三角形的周长为________cm．【答案】12【解析】【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为5cm；（2）当等腰三角形的腰为2cm；两种情况讨论，从而得到其周长．【详解】解：（1）当等腰三角形的腰为2cm，底为5cm时，不能构成三角形．（2）当等腰三角形的腰为5cm，底为2cm时，能构成三角形，周长为5+5+2=12cm．故这个等腰三角形的周长是12cm． 故答案为：12．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．16.如图，DE是AB的垂直平分线，D是垂足，DE交BC于E，若BC=32，AC=18，则△AEC的周长为________．【答案】50【解析】【分析】利用垂直平分线的性质计算即可；【详解】∵DE是AB的垂直平分线，∴，∵BC=32，∴，∴△AEC的周长．故答案是50．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，准确计算是解题的关键．17.如图，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AE，∠EDC＝16°，则∠BAD＝_____度．【答案】32【解析】【分析】证明△ABD≌△ACD（SSS），得出∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°，求出∠ADE＝90°﹣∠EDC＝74°，由等腰三角形的性质得出∠AED＝∠ADE＝74°，由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠EDC＝90°﹣16°＝74°，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝74°，∴∠BAD＝∠CAD＝180°﹣2×74°＝32°；故答案为：32．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．18.已知x2+y2=10，xy=4，求（x+y）2的值为_______．【答案】18【解析】【分析】展开（x+y）2后，直接代值计算即可【详解】解：（x+y）2=x2+2xy+y2，∵x2+y2=10，xy=4，∴（x+y）2=10+2×4=18故答案为：18【点睛】本题主要考查完全平方公式展开，代入求值即可计算．19.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则这个等腰三角形顶角的度数是________．【答案】54º或126º【解析】【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵∠ABD=36°，BD⊥AC，∴∠A=90°-36°=54°，∴三角形的顶角为54°；②当为钝角三角形时，如图2，∵∠ABD=36°，BD⊥AC，∴∠BAD=90°-36°=54°，∵∠BAD+∠BAC=180°，∴∠BAC=126°∴三角形的顶角为126°．综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为54°或126°．故答案为：54°或126°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．20.如图，BH是钝角三角形ABC的高，AD是角平分线，且2∠C=90°-∠ABH，若CD=4，ΔABC的面积为12，则AD=_____．【答案】3【解析】【分析】根据三角形的外角性质和已知条件易证明∠ABC＝∠C，则可判断△ABC 为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝CD＝4，再利用三角形面积公式即可求出AD的长．【详解】解：∵BH为△ABC的高，∴∠AHB＝90°，∴∠BAH＝90°﹣∠ABH，而2∠C＝90°﹣∠ABH，∴∠BAH＝2∠C，∵∠BAH＝∠C+∠ABC，∴∠ABC＝∠C，∴△ABC为等腰三角形，∵AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD＝4，∵ΔABC的面积为12，∴×AD×BC＝12，即×AD×8＝12，∴AD＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查了三角形的外角性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的面积，熟练掌握上述知识是解题的关键．三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）21.计算：（1）3a(a+b)（2）(x-1)(x+4)【答案】（1）3a2+3ab；（2）x²+3x-4【解析】【分析】（1）根据单项式乘以多项式的方法计算即可；（2）根据多项式乘以多项式的方法计算即可；【详解】（1）；(2)原式=x²+4x-x-4=x²+3x-4；【点睛】本题主要考查了整式乘法的运用，准确化简是解题的关键．22.先化简，再求值：(x－3)2＋(x＋1)(x—1)，其中x＝2．【答案】2x²-6x+8，4【解析】 【分析】直接利用乘法公式化简，进而把x的值代入得出答案．【详解】解：原式=x²-6x+9+(x²-1)=2x²-6x+8当x=2时，原式=2×2²-6×2＋8=4【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．23.按要求完成作图：(1)作△ABC关于y轴对称的(2)直接写出点A1的坐标．(3)直接写出△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）（4，1）；（3）2.5【解析】【分析】（1）分别写出A、B、C的坐标，做出关于y轴对称的点的坐标即可；（2）根据（1）即可得出结果；（3）构造长方形DEAF，利用图形的组合计算即可；【详解】（1）由题可知：，，，∴关于y轴对称的点为，，，故作图如下： （2）根据（1）可得；故答案是；（3）构造长方形DEAF，.∴，；【点睛】本题主要考查了作图——轴对称变换，准确作图计算是解题的关键．24.已知：如图，点D、E在的边BC上，，．求证：（1）；（2）若，，直接写出图中除与外所有的等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）△ABD、△AEC、△ABE、△ADC．【解析】【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD=AE，根据三线合一的性质，可得DF=EF，又由BD=CE，可得BF=CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB=AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【详解】（1）过点A作AF⊥BC于点F．∵AD=AE，∴DF=EF． ∵BD=CE，∴BF=CF，∴AB=AC．（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠BAC=108°，∴∠B=∠C=（180°－108°）÷2=36°．同理∠ADE=∠AED=72°，∴∠BAD=∠ADE－∠B=72°－36°=36°，∴∠B=∠BAD=36°，∴△ABD等腰三角形；同理∠EAC=∠C=36°，∴△AEC是等腰三角形；∵∠BAD=36°，∠DAE=36°，∴∠BAE=∠BEA=72°，∴△ABE是等腰三角形；同理∠CAD=∠CDA=72°，∴△ADC是等腰三角形．综上所述：除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．25.如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积．方法1：；方法2：；（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系：；（3）根据（2）题中的等量关系，解决下面的问题：已知a+b=3，ab=2，求的值．【答案】（1）(m-n)²，(m+n)²-4mn；（2）(m-n)²=(m+n)²-4mn；（3）1．【解析】 【分析】（1）一种方法是先表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积；另一种方法是先用m、n表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示之．（2）分别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面积-四个长方形面积=小正方形面积，可得它们之间的关系．（3）直接把（2）中得到的关系式用（a+b）、ab的值对应替换即可．【详解】（1）(m-n)²、(m+n)²-4mn；（2）(m-n)²=(m+n)²-4mn；（3）(a-b)²=(a+b)²-4ab（把a+b=3，ab=2代入）=3²-4×2=1．【点睛】本题考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系．会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．26.已知，在等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，BE=CD，连接AE、BD相交于点F．(1)如图1，求∠AFD的度数；(2)如图2，过点A作AH⊥BD于H，若EF＝HD，求证：BF=HF；(3)如图3，在(2)的条件下，延长BD到点M，连接AM，使∠AMB＝∠ABM，若EF＝2，AF＝10，求DM长．【答案】（1）∠AFD=60°；（2）证明见解析；（3）DM=8【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB=BC，∠ABC=∠C=60°，证出∠AEB=∠BDC，证明△ABE≌△BCD（AAS），即可得出结论；（2）由（1）得△ABE≌△BCD，由全等三角形的性质得出∠BAE=∠CBD，AE=BD，求出∠AFH=∠ABC=60°，由直角三角形性质得出HF=AF，证出AF=BH，得出HF=BH，即可得出BF=HF；（3）由（2）得BH=AF=10，HF=AF=5，BD=AE=AF+EF=12，证出AB=AM，由等腰三角形的性质得出 MH=BH=10，得出BM=2BH=20，即可得出DM=BM-BD=8．【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，∵∠BDC+∠AEC=180°，∠AEB+∠AEC=180°，∴∠AEB=∠BDC，在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD（AAS），∴BE=CD；（2）证明：由（1）得：△ABE≌△BCD，∴∠BAE=∠CBD，AE=BD，∴∠AFH=∠BAE+∠ABF=∠CBD+∠ABF=∠ABC=60°，∵AH⊥BD，∴∠FAH=30°，∴HF=AF，∵EF=HD，∴AF=BH，∴HF=BH，∴BF=HF；（3）解：由（2）得：BH=AF=10，HF=AF=5，BD=AE=AF+EF=12，∵∠AMB=∠ABM，∴AB=AM，∵AH⊥BD，∴MH=BH=10，∴BM=2BH=20，∴DM=BM-BD=20-12=8．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30° 角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．27.已知在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，AB=AC，∠BAC=90°．（1）图（1）中，求点C坐标；（2）在图（2）中，动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴正方向运动，设点P的运动时间为t，△PAC的面积为S，求S与t的关系式，并写出t的取值范围．（3）在（2）问条件下，若PB+PC的值最小时，求P点坐标及t的值．【答案】（1）C（7，4）；（2），S=4t-8（t＞2）；（3）P（3，0），t=1.5【解析】【分析】（1）过点C作CH⊥x轴于点H，利用AAS证得△AOB≌△CDA，从而得到AD、CD，就可得到点C的坐标；（2）分两种情况①当点P在OA上时，②当点P在OA延长线上时，再利用三角形的面积公式即可（3）找点B关于x轴的对称点E，连接CE与x轴交于点P，则PB+PC的值最小，求出CE的解析式，可得点P的坐标，再根据OP=2t即可得出t的值．【详解】证明：（1）过点C作CD⊥x轴于D，∴∠ADC=90°∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=∠OBA+∠BOA∠BOA=∠BAC=90°∴∠CAD=∠OBA ∵∠BOA=∠ADC=90°，AB=CA∴△ABO≌△CAD(AAS)∴OA=DCOB=AD∵A(4，0)，B(0，3)∴OA=4，OB=3∴DC=4AD=3∴OD=7∴C（7，4）（2）OP=2t①当点P在OA上时，AP=4-2t②当点P在OA延长线上时，AP=2t-4（3）点B关于x轴的对称点E坐标为（0，-3），连接EC交x轴于点P设BE解析式为y=kx+b，∴；∴∴直线CE解析式为y=x-3当y=0时，x=3∴P（3，0） ∴2t=3∴t=1.5【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、利用轴对称的性质求最短路径，全等三角形的性质与判定，解答本题的关键是数形结合思想及待定系数法的应用，难度一般．