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2020-2021学年九年级第一学期期中检测数学试题(解析版)
2020-2021学年九年级第一学期期中检测数学试题(解析版)
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河北省2020-2021学年九年级第一学期期中检测数学试卷(人教版)(考试时间:120分钟,满分:120分)一、选择题1.下列美丽的图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【详解】第一个图形是轴对称图形,也是中心对称图形;第二个图形是轴对称图形,不是中心对称图形;第三个图形是轴对称图形,也是中心对称图形;第四个图形是轴对称图形,也是中心对称图形.故选:C.【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.2.下列方程中,是一元二次方程的为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】试题解析:A、不是一元二次方程,故此选项错误;B、是一元二次方程,故此选项正确;C、不是一元二次方程,故此选项错误;D、不是一元二次方程,故此选项错误;故选B.3.下列说法中,不正确的是()A.过圆心的弦是圆的直径B.等弧的长度一定相等C.周长相等的两个圆是等圆D.同一条弦所对的两条弧一定是等弧 【答案】D【解析】【详解】试题分析:A、过圆心的弦是圆的直径,说法正确;B、等弧的长度一定相等,说法正确;C、周长相等的两个圆是等圆,说法正确;D、同一条弦所对的两条弧一定是等弧,说法错误,应是在同圆或等圆中,同一条弦所对的两条弧一定是等弧;故选D考点:圆的认识4.将抛物线y=2(x﹣4)2﹣1先向左平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,平移后所得抛物线的解析式为( )A.y=2x2+1B.y=2x2﹣3C.y=2(x﹣8)2+1D.y=2(x﹣8)2﹣3【答案】A【解析】【详解】【分析】根据平移的规律即可得到平移后函数解析式.【详解】抛物线y=2(x-4)2-1先向左平移4个单位长度,得到的抛物线解析式为y=2(x-4+4)2-1,即y=2x2-1,再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2x2-1+2,即y=2x2+1;故选A【点睛】本题考查的是二次函数图象与几何变换,熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式是解题的关键.5.在一次比赛前,教练预言说:“这场比赛我们队有60%的机会获胜”,则下列说法中与“有60%的机会获胜”的意思接近的是()A.他这个队赢的可能性较大B.若这两个队打10场,他这个队会赢6场C.若这两个队打100场,他这个队会赢60场D.他这个队必赢【答案】A【解析】【分析】概率值只是反映了事件发生的机会的大小,不是会一定发生.不确定事件就是随机事件,即可能发生也可能不发生的事件,发生的概率大于0并且小于1. 【详解】A、根据概率的意义,正确;B、概率仅仅反映了这一事件发生的可能性的大小,若这两个队打10场,他这个队可能会赢6场,但不会是肯定的,所以错误;C、和B一样,所以错误;D、根据概率的意义,不正确.故选A.【点睛】理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小.6.关于x的一元二次方程有两个实数根,那么实数k的取值范围是()A.k≤1B.k<1且k≠0C.k≤1且k≠0D.k≥1【答案】C【解析】【分析】若一元二次方程有两不等实数根,则根的判别式△=b2﹣4ac≥0,建立关于k的不等式,求出k的取值范围.还要注意二次项系数不为0.【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个实数根,∴根的判别式△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0,且k≠0.即k≤1且k≠0.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.7.下列说法正确的是( )A.“367人中有2人同月同日生”为必然事件B.检测某批次灯泡的使用寿命,适宜用全面调查C.可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生D.数据3,5,4,1,﹣2的中位数是4【答案】A【解析】【分析】直接利用概率的意义以及中位数的定义、随机事件,分别分析得出答案.【详解】解:A、“367人中有2人同月同日生”为必然事件,正确;B、检测某批次灯泡的使用寿命,适宜用抽样调查,故此选项错误; C、可能性是1%的事件在一次试验中也有可能发生,故此选项错误;D、数据3,5,4,1,﹣2的中位数是3,故此选项错误;故选:A.【点睛】本题考查了对命题的判断,熟练掌握概率、中位数及随机事件等知识点是解题的关键.8.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是A(3,0),B(0,4),把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′,使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上,则点B′的坐标是( )A.(5,0)B.(8,0)C.(0,5)D.(0,8)【答案】B【解析】【详解】试题解析:∴AO=3,BO=4,∴AB=AB′=5,故OB′=8,∴点B′的坐标是(8,0).故选B.9.如图,在扇形中,已知,,过的中点作,,垂足分别为、,则图中阴影部分的面积为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】连接OC,易证,进一步可得出四边形CDOE 为正方形,再根据正方形的性质求出边长即可求得正方形的面积,根据扇形面积公式得出扇形AOB的面积,最后根据阴影部分的面积等于扇形AOB的面积剪去正方形CDOE的面积就可得出答案.【详解】连接OC点为的中点在和中又四边形CDOE为正方形由扇形面积公式得故选B.【点睛】本题考查了扇形面积的计算、正方形的判定及性质,熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.10.如图,四边形是边长为5的正方形,E是上一点,,将绕着点A顺时针旋转到与重合,则() A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据旋转变换的性质求出、,根据勾股定理计算即可.【详解】解:由旋转变换的性质可知,,∴正方形的面积=四边形的面积,∴,,∴,,∴.故选D.【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用,掌握性质的概念、旋转变换的性质是解题的关键.11.如图,是的弦,点在过点的切线上,,交于点.若,则的度数等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数,进一步可得∠ABO度数,从而推出答案.【详解】∵,∴∠APO=70°, ∵,∴∠AOP=90°,∴∠A=20°,又∵OA=OB,∴∠ABO=20°,又∵点C在过点B的切线上,∴∠OBC=90°,∴∠ABC=∠OBC−∠ABO=90°−20°=70°,故答案为:B.【点睛】本题考查的是圆切线的运用,熟练掌握运算方法是关键.12.如图,已知正五边形内接于,连结,则的度数是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD=CB,根据等腰三角形的性质求出∠CBD,计算即可.【详解】∵五边形为正五边形∴∵∴∴故选C.【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理,掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于(n-2)×180°是解题的关键.13.小李与小陈做猜拳游戏,规定每人每次至少要出一个手指,两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜,那么,小李获胜的概率为( ) A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】画出树状图,共有25个等可能的结果,两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个,即可得出答案.【详解】解:画树状图如图:共有25个等可能的结果,两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个,∴小李获胜的概率为;故选A.【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式;根据题意画出树状图是解题的关键.14.已知二次函数,关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内,下列说法正确的是()A.有最大值﹣1,有最小值﹣2B.有最大值0,有最小值﹣1C.有最大值7,有最小值﹣1D.有最大值7,有最小值﹣2【答案】D【解析】【分析】把函数解析式整理成顶点式的形式,然后根据二次函数的最值问题解答.【详解】解:∵y=x2−4x+2=(x−2)2−2,∴在−1≤x≤3的取值范围内,当x=2时,有最小值−2,当x=−1时,有最大值为y=9−2=7.故选D.【点睛】本题考查了二次函数的最值问题,把函数解析式转化为顶点式是解题的关键.15.把一元二次方程化成的形式,则的值()A.3B.5C.6D.8【答案】D【解析】 【分析】由,可得:从而可得:从而可得的值.【详解】解:故选:【点睛】本题考查的是配方法解一元二次方程,掌握配方法是解题的关键.16.已知二次函数的图象如图所示,有下列4个结论:①;②;③;④;⑤其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B【解析】【分析】由抛物线开口向下得到a<0;由抛物线的对称轴为直线x==1得到b>0;由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c>0,则abc<0;观察图象得到当x=-1时,y<0,即a-b+c<0;当x=2时,y>0,即4a+2b+c>0;根据二次函数的最值问题得到x=1时,y有最大值a+b+c,则a+b+c>am2+bm+c(m≠1),变形得到a+b>m(am+b);当x=3时,得到y=9a+3b+c<0,根据对称轴得到a=,代入,化简可得得2c<3b.【详解】解:①∵抛物线开口向下,∴a<0, ∵抛物线的对称轴为直线x==1,∴b>0;∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方,∴c>0,∴abc<0,所以①错误;②当x=-1时,y<0,即a-b+c<0,∴b>a+c,所以②错误;③由图可知:当x=2时,y>0,即4a+2b+c>0,所以③正确;④∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴x=1时,y有最大值a+b+c,∴a+b+c>am2+bm+c(m≠1),∴a+b>m(am+b),所以④正确;⑤当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且x==1,即a=,代入得9()+3b+c<0,得2c<3b,故⑤正确;故选B.【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系,二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.二、填空题17.二次函数与两坐标轴的三个交点确定的三角形的面积是________.【答案】6【解析】【分析】先根据抛物线y=x2+2x-3找到与坐标轴的三个交点,则该三角形的面积可求.【详解】∵抛物线y=x2+2x−3=(x−1)(x+3),它与坐标轴的三个交点分别是:(1,0),(−3,0),(0,−3);∴该三角形的面积为故答案为6.【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点求法,及在坐标系中如何确定三角形的底和高,便于求面积.18.已知,则的值为________. 【答案】【解析】【分析】设a=x2+y2,代入即可得到一个关于a的一元二次方程,即可求解.【详解】解:设x2+y2=a,则原方程化为(a+1)(a+2)-6=0,a2+3a+2-6=0,a2+3a-4=0,(a-1)(a+3)=0,解得a=-3或1,又∵x2+y2≥0,∴x2+y2=1.故答案为1.【点睛】本题考查用换元法求解一元二次方程的问题,掌握一元二次方程的解法并注意x2+y2≥0是解本题的关键.19.小强与小红两人下军棋,小强获胜的概率为46%,小红获胜的概率是30%,那么两人下一盘棋小红不输的概率是________.【答案】0.54【解析】【详解】下棋的结果有三种:赢,和,输;所以两人下一盘棋小红不输的概率=1-小强获胜的概率=1-0.46=0.54.故答案0.54.点睛:本题主要考查了概率的定义,因为下棋的结果有三种:赢,和,输,所以每一个人下棋赢的概率+和的概率+输的概率=1,理解到小红不输的概率即是小红赢的概率+小红和的概率,而小红输的概率=小强获胜的概率.20.如图,半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b,然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动,使半圆的直径与直线b重合为止,则圆心O运动路径的长度等于_____.【答案】5π 【解析】【分析】根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为圆弧,根据弧长公式求出弧长即可.【详解】解:由图形可知,圆心先向前走OO1的长度,从O到O1的运动轨迹是一条直线,长度为圆的周长,然后沿着弧O1O2旋转圆的周长,则圆心O运动路径的长度为:×2π×5=5π,故答案为5π.【点睛】本题考查的是弧长的计算和旋转的知识,解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过的路线并求出长度.三、解答题21.已知关于x的一元二次方程x2+(k﹣5)x+1﹣k=0(其中k为常数).(1)求证无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;(2)已知函数y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的图象不经过第三象限,求k的取值范围;(3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值.【答案】(1)证明见解析;(2)k≤1;(3)2.【解析】【详解】试题分析:(1)求出方程的判别式△的值,利用配方法得出△>0,根据判别式的意义即可证明;(2)由于二次函数的图象不经过第三象限,又△=(k﹣5)2﹣4(1﹣k)=(k﹣3)2+12>0,所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限,根据二次项系数知道抛物线开口向上,由此可以得出关于k的不等式组,解不等式组即可求解;(3)设方程的两个根分别是x1,x2,根据题意得(x1﹣3)(x2﹣3)<0,根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围,再进一步求出k的最大整数值.试题解析:(1)证明:∵△=(k﹣5)2﹣4(1﹣k)=k2﹣6k+21=(k﹣3)2+12>0,∴无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;(2)解:∵二次函数的图象不经过第三象限,∵二次项系数a=1,∴抛物线开口方向向上,∵△=(k﹣3)2+12>0,∴抛物线与x轴有两个交点,设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1 ,x2,∴x1+x2=5﹣k>0,x1x2=1﹣k≥0,解得k≤1,即k的取值范围是k≤1;(3)解:设方程的两个根分别是x1,x2,根据题意,得(x1﹣3)(x2﹣3)<0,即x1x2﹣3(x1+x2)+9<0,又x1+x2=5﹣k,x1x2=1﹣k,代入得,1﹣k﹣3(5﹣k)+9<0,解得k<.则k的最大整数值为2.22.某学校计划开设四门选修课:乐器、舞蹈、绘画、书法.为提前了解学生的选修情况,学校采取随机抽样的方法进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门).对调查结果进行了整理,绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给信息解答下列问题:(1)本次调查的学生共有 人,在扇形统计图中,m的值是 ;(2)将条形统计图补充完整;(3)在被调查的学生中,选修书法的有2名女同学,其余为男同学,现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动,请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率.【答案】(1)50、30%.(2)补图见解析;(3).【解析】【详解】试题分析:(1)由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数,确定出扇形统计图中m的值;(2)求出绘画与书法的学生数,补全条形统计图即可;(3)列表得出所有等可能的情况数,找出恰好为一男一女的情况数,即可求出所求概率.试题解析:(1)20÷40%=50(人),15÷50=30%;故答案50;30%;(2)50×20%=10(人),50×10%=5(人),如图所示: (3)∵5﹣2=3(名),∴选修书法的5名同学中,有3名男同学,2名女同学,所有等可能情况有20种,其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种,则P(一男一女)==.考点:列表法与树状图法;扇形统计图;条形统计图;应用题;数据的收集与整理.23.如图,在中,,点在边上,经过点和点且与边相交于点.(1)求证:是的切线;(2)若,求的半径.【答案】(1)见解析;(2)【解析】 【分析】(1)连接,根据等腰三角形的性质得到,求得,根据三角形的内角和得到,于是得到是的切线;(2)连接,推出是等边三角形,得到,求得,得到,于是得到结论.【详解】(1)证明:连接,∵,∴,∵,∴,∴,∴,∴是的切线;(2)解:连接,∵,∴是等边三角形,∴,∴,∴,∴,∴的半径.【点睛】本题考查了切线的判定和性质,等腰三角形的性质,等边三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.24.如图,有一座圆弧形拱桥,它的跨度为,拱高为,当洪水泛滥到跨度只有 时,就要采取紧急措施,若某次洪水中,拱顶离水面只有,即时,试通过计算说明是否需要采取紧急措施.【答案】不需要采取紧急措施,理由详见解析.【解析】【分析】连接OA′,OA.设圆的半径是R,则ON=R−4,OM=R−18.根据垂径定理求得AM的长,在直角三角形AOM中,根据勾股定理求得R的值,在直角三角形A′ON中,根据勾股定理求得A′N的值,再根据垂径定理求得A′B′的长,从而作出判断.【详解】设圆弧所在圆的圆心为,连结,,如图所示设半径为则由垂径定理可知,∵,∴,且在中,由勾股定理可得即,解得∴在中,由勾股定理可得∴∴不需要采取紧急措施.【点睛】此类题综合运用了勾股定理和垂径定理,解题的关键是熟知垂径定理的应用.25.永嘉某商店试销一种新型节能灯,每盏节能灯进价为18元,试销过程中发现,每周销量y(盏)与销售单价x(元)之间关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100.(利润=售价﹣进价)(1)写出每周的利润w(元)与销售单价x(元)之间函数解析式; (2)当销售单价定为多少元时,这种节能灯每周能够获得最大利润?最大利润是多少元?(3)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于30元.若商店想要这种节能灯每周获得350元的利润,则销售单价应定为多少元?【答案】(1)w=﹣2x2+136x﹣1800(x>18);(2)当销售单价为34元时,每月能获得最大利润,最大利润是512万元;(3)销售单价应定为25元.【解析】【分析】(1)根据每轴的利润w=(x﹣18)y,再把y=﹣2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式,(2)根据利润表达式,利用配方法可得出利润的最大值;(3)先得出销售利润的表达式,然后建立方程,解出即可得出销售单价;【详解】解:(1)w=(x﹣18)y=(x﹣18)(﹣2x+100)=﹣2x2+136x﹣1800,∴w与x之间的函数解析式为w=﹣2x2+136x﹣1800(x>18);(2)∵w=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2(x﹣34)2+512,∴当x=34时,w取得最大,最大利润为512万元.答:当销售单价为34元时,厂商每周能获得最大利润,最大利润是512万元.(3)周销售利润=周销量×(单件售价﹣单件制造成本)=(﹣2x+100)(x﹣18)=﹣2x2+136x﹣1800,由题意得,﹣2x2+136x﹣1800=350,解得:x1=25,x2=43,∵销售单价不得高于30元,∴x取25,答:销售单价定为25元时厂商每周能获得350万元的利润;考点:二次函数的应用.26.已知抛物线的图象如图所示,它与轴的一个交点的坐标为,与轴的交点坐标为. (1)求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标;(2)根据图象回答:当取何值时,?(3)在抛物线的对称轴上有一动点,求的值最小时的点的坐标.【答案】(1),;(2)<<;(3)【解析】【分析】(1)把代入:,利用待定系数法求解,再求解点的坐标即可得到答案;(2)由,可得抛物线的图像在轴的下方,结合图像可得的取值范围,从而可得答案;(3)由关于抛物线的对称轴对称,可得与对称轴的交点满足最小,从而可得答案.【详解】解:(1)把代入:,,解得:所以抛物线解析式为:,由(2)抛物线与轴交于,抛物线的图像在轴的下方,结合图像可得:<<(3)∵∴对称轴是直线x=1.如图,当A、B、P三点共线时,PA+PB的值最小, 此时点P是对称轴与x轴的交点,即P(1,0).【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点,利用待定系数法求得抛物线的解析式,利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值,利用抛物线的图像解一元二次不等式,掌握以上知识是解题的关键.27.如图1是实验室中的一种摆动装置,在地面上,支架是底边为的等腰直角三角形,摆动臂长可绕点旋转,摆动臂可绕点旋转,,.(1)在旋转过程中:①当三点在同一直线上时,求的长;②当三点在同一直角三角形的顶点时,求的长.(2)若摆动臂顺时针旋转,点的位置由外的点转到其内的点处,连结,如图2,此时,,求的长.【答案】(1)①,或;②或;(2).【解析】【分析】(1)①分两种情形分别求解即可.②显然∠MAD不能为直角.当∠AMD为直角时,根据AM2=AD2-DM2,计算即可,当∠ADM=90°时,根据AM2=AD2+DM2,计算即可.(2)连接CD.首先利用勾股定理求出CD1,再利用全等三角形的性质证明BD2=CD1即可.【详解】(1)①,或.②显然不能为直角,当为直角时, ,∴.当为直角时,,∴.(2)连结,由题意得,,∴,,又∵,∴,∴.∵,∴,即.又∵,,∴,∴.【点睛】本题属于四边形综合题,考查了等腰直角三角形的性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
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