河南省信阳高级中学2021-2022学年高二上学期9月月考数学（理）试题（附答案）

2023届高二实验班数学（理）试题一．选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|y＝ln（1﹣x）}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝（　　）A．（1，2]B．（0，2]C．[0，1）D．（0，1）2．已知F1，F2分别是椭圆＝1的左、右焦点，点P在此椭圆上，则△PF1F2的周长是（　　）A．20B．18C．16D．143．已知实数x，y满足不等式组，目标函数的最大值是（　　）A．B．C．D．4．用数学归纳法证明1+2+3+…+n2＝，则当n＝k+1时左端应在n＝k的基础上加上（　　）A．k2+1B．（k+1）2C．D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）25．执行如图所示的程序框图，则输出的数值是（　　）A．B．C．D．6．在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b＝，则＝（　　）A．2B．C．D．7．函数y＝4x+4﹣x+2x﹣2﹣x的最小值为（　　）A．B．1C．2D． 8．设a＝cos6°﹣sin6°，b＝，c＝，则有（　　）A．a＞b＞cB．a＜b＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a9．直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点．异面直线CE与C′A所成角的余弦值是（　　）A．B．C．D．10．下列说法中正确的个数是（　　）（1）命题“所有幂函数f（x）＝xα的图象经过点（1，1）”．（2）“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆否命题是真命题．（3）若非零向量满足，则与的夹角为锐角．（4）命题“∀x＞0，2020x+2021＞0”的否定是“∃x0≤0，”．（5）命题“a，b∈R，则a2+b2≥4是|a|+|b|≥2的充分不必要条件”．A．2B．3C．4D．511．在△ABC中，点D是AC上一点，且＝4，P为BD上一点，向量＝λ+μ（λ＞0，μ＞0），则+的最小值为（　　）A．16B．8C．4D．212．如图，A1，A2为椭圆+＝1的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1，A2的三点，直线QA1，QA2，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|2+|OT|2＝（　　）A．5B．3+C．9D．14二．填空题（共4小题）13．函数y＝sinx﹣cosx的图象可由函数y＝sinx+cosx的图象至少向右平移　　个单位长度得到．14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝　　m． 15．已知F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为　　．16．已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则的取值范围为　　．三．解答题（共6小题）17．某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年100户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600），[600，700），[700，800），[800，900]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中m的值并估计居民月均用电量的中位数；（Ⅱ）现从第8组和第9组的居民中任选取2户居民进行访问，则两组中各有一户被选中的概率．18．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． （1）求；（2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．19．已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+4（a∈R）．（1）关于x的不等式f（x）≤4﹣2a的解集恰好为[2，5]，求a的值；（2）若对任意的x∈[1，4]，f（x）+a+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值大小．21．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2n+1+2（n∈N*）．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn＝，若Tn＝b1+b2+b3+…+bn，求Tn．22．已知椭圆+＝1的离心率e＝． （1）若＝3，求椭圆方程；（2）直线l过点C（﹣1，0）交椭圆于A、B两点，且满足：＝3，试求△OAB面积的最大值． 2023届高二实验班数学（理）答案一．选择题（共12小题）1．D；2．B；3．D；4．D；5．C；6．B；7．D；8．C；9．D；10．B；11．A；12．D；二．填空题（共4小题）13．；14．100；15．8；16．[2，]；三．解答题（共6小题）17.解：（Ⅰ）1﹣100×（0.0004+0.0008+0.0021+0.0025+0.0006+0.0004+0.0002）＝2m×100，∴m＝0.0015．设中位数是x度，前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25＝0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21＝0.48＜0.5，所以400＜x＜500，，故x＝408，即居民月均用电量的中位数为408度．（Ⅱ）第8组的户数为0.0004×100×100＝4，分别设为A1，A2，A3，A4，第9组的户数为0.0002×100×100＝2，分别设为B1，B2，则从中任选出2户的基本事件为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共15种．其中两组中各有一户被选中的基本事件为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共8种．所以第8，9组各有一户被选中的概率．18．解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵＝＝2，∴BD＝2DC，∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD中，＝，∴sin∠B＝，在△ADC中，＝，∴sin∠C＝；∴＝＝．…6分（2）由（1）知，BD＝2DC＝2×＝．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，∴＝＝2，∴AB＝2AC，令AC＝x，则AB＝2x，∵∠BAD＝∠DAC，∴cos∠BAD＝cos∠DAC，∴由余弦定理可得：＝，∴x＝1，∴AC＝1，∴BD的长为，AC的长为1．19．解：（1）f（x）≤﹣2a+4，即x2﹣（a+2）x+2a≤0，即为（x﹣a）（x﹣2）≤0，当a＞2时，不等式解集为{x|2≤x≤a}；当a＝2时，不等式解集为{x|x＝2}；当a＜2时，不等式解集为{x|a≤x≤2}．又解集恰好为[2，5]，所以a＝5；（2）对任意的x∈[1，4]，f（x）+a+1≥0恒成立，即x2﹣（a+2）x+5+a≥0恒成立，即对任意的x∈[1，4]，a（x﹣1）≤x2﹣2x+5恒成立．①x＝1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R； ②当x∈（1，4]时，，由1＜x≤4，可得0＜x﹣1≤3，所以，当且仅当时，即x﹣1＝2，x＝3时取“＝”，所以a≤4．综上可得a的取值范围是（﹣∞，4]．20．解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°∴AA1⊥AB，∵三角形ABC中AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，∴由正弦定理得＝，∠ACB＝30°∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC；∵AA1∩AC＝A∴AB⊥面A1CA；∵A1C⊂面A1CA；∴AB⊥A1C；（2）（理）如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，由三垂线定理知BD⊥A1C，∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角．在Rt△AA1C中，AD＝＝，在Rt△BAD中，tan∠ADB＝＝，∴cos∠ADB＝，即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为 21解：（1）∵Sn＝2an﹣2n+1+2，①∴当n＞1时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2n+2，②①﹣②得：an＝2an﹣2an﹣1﹣2n，∴an﹣2an﹣1＝2n，∴﹣＝1，∵S1＝2a1﹣2，∴a1＝2，∴＝1，∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴＝1+（n﹣1）×1＝n，∴an＝n•2n；（2）bn＝＝n•（）n．Tn＝1•+2•（）2+3•（）3+•••+（n﹣1）（）n﹣1+n•（）n①，∴Tn＝1•（）2+2•（）3+•••+（n﹣1）（）n+n•（）n+1②，①﹣②得：Tn＝+（）2+•••+（）n﹣n•（）n+1∴Tn＝1++（）2+•••+（）n﹣1﹣n•（）n＝﹣n•（）n＝2﹣（2+n）（）n．22．解：（1）e＝＝，＝3，可得a＝，c＝，b＝1，即有椭圆的方程为+y2＝1； （2）设过点C（﹣1，0）的直线l的方程为x＝my﹣1，由＝，可设c＝t，a＝3t，b＝t，t＞0，代入椭圆方程x2+3y2＝9t2可得，（3+m2）y2﹣2my+1﹣9t2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2＝，y1y2＝，即有|AB|＝＝•，＝•，点O到直线l的距离d＝．即有S△OAB＝d|AB|＝，由＝3，可得y1＝﹣3y2，代入韦达定理，可得9t2＝，则△OAB面积为＝≤＝，当且仅当m＝±时，△OAB的面积取得最大值．