2022版高考数学 3-2-1精品系列 专题11 概率与统计 文

2022版高考数学3-2-1精品系列专题11概率与统计文（教师版）2022考纲解读考纲原文：统计（1）随机抽样①理解随机抽样的必要性和重要性.②会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.　　（2）用样本估计总体　①了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.　②理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.③能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.　④会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.　⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.（3）变量的相关性　①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.概率（1）事件与概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.②了解两个互斥事件的概率加法公式.（2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式.　　②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.（3）随机数与几何概型　　①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.　　②了解几何概型的意义.概率与统计　（1）概率①理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.　②理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.　　③了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.　④理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.⑤利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.（2）统计案例　了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.　（1）独立性检验　了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.　（2）回归分析　了解回归的基本思想、方法及其简单应用.\n考纲解读：大纲中要求学生会用排列组合的知识计算一些等可能事件的概率，标准中只要求能用列举法计算一些等可能事件的概率，不要求用排列组合知识求解。随机抽样常以选择、填空题考查分层抽样，难度较低.在用样本估计总体中，会读图、识图，会从频率分布直方图中分析样本的数字特征（众数、中位数、平均数等）；重视茎叶图；要重视线性回归方程，不仅会利用公式求，还要能分析其特点（正相关、负相关、回归方程过样本点中心）；重视独立性检验（2×2列联表）。【考点pk】名师考点透析考点一、随机事件的概率例1：袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球（I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。解：（I）一共有8种不同的结果，列举如下：（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）（Ⅱ）记“3次摸球所得总分为5”为事件A事件A包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A包含的基本事件数为3由（I）可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为【名师点睛】等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是.如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P（A）=.使用公式P（A）=计算时,确定m、n的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏.求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步骤：（1）先确定一次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少，即求出A.（2）再确定所研究的事件A是什么,事件A包括结果有多少,即求出m.（3）应用等可能性事件概率公式P=计算.\n例2：某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等.假定指针停在任一位置都是等可能的.当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券.（例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券.）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动.（I）若顾客甲消费了128元，求他获得优惠券面额大于0元的概率？（II）若顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率？【名师点睛】判断是否是几何概型，关键要判断试验的结果是不是无限个，每个试验的结果是不是等可能的。考点二互斥事件有一个发生的概率例3：某市有A、B两所示范高中响应政府号召，对该市甲、乙两个教育落后地区开展支教活动．经上级研究决定：向甲地派出3名A校教师和2名B校教师，向乙地派出3名A校教师和3名B校教师．由于客观原因，需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区．（Ⅰ）求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率；（Ⅱ）求互换后A校教师派往甲地区人数不少于3名的概率．解：（Ⅰ）记“互换后派往两地区的两校的教师人数不变”为事件E，有以下两种情况：\n①互换的是A校的教师，记此事件为，则；②互换的是B校的教师，记此事件为，则．则互换后派往两地区的两校的教师人数不变的概率为．（Ⅱ）令“甲地区A校教师人数不少于3名”为事件F，包括两个事件：“甲地区A校教师人数有3名”设为事件；“甲地区A校教师人数有4名”设为事件，且事件、互斥．则；．甲地区A校教师人数不少于3名的概率为【名师点睛】事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P（）=1.当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（）.对于n个互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式为P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）.概率加法公式仅适用于互斥事件，即当A、B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），否则公式不能使用.如果某事件A发生包含的情况较多，而它的对立事件（即A不发生）所包含的情形较少，利用公式P（A）=1－P（）计算A的概率则比较方便.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.考点三、相互独立事件同时发生的概率例4：一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分。没有击中记分0分，每次击中目标的概率乙每击中目标一次记20分，没有击中记0分，每次击中目标的概率为（I）求此人得20分的概率；（II）求甲乙两人得分相同的概率。解：（Ⅰ）甲得20分的概率为（Ⅱ）甲、乙两人得分相同为甲乙两人均为0分或均为20分【名师点睛】事件A与B的积记作A·B，A·B表示这样一个事件，即A与B同时发生.当A和B是相互独立事件时，事件A·B满足乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），还要弄清·，的区别.·表示事件与同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即，因此有·≠，但\n·=.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A与B来说，才能运用公式P（A·B）=P（A）·P（B）在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A和事件B互相独立时，才有P（A·B）=P（A）·P（B）.A、B中至少有一个发生：A+B.（1）若A、B互斥：P（A+B）=P（A）+P（B），否则不成立.（2）若A、B相互独立（不互斥）.法一：P（A+B）=P（A·B）+P（A·）+P（·B）；法二：P（A+B）=1－P（·）；法三：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）.某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化n次独立重复试验中某事件发生k次的概率Pn（k）=Cpk（1－p）n－k正好是二项式［（1－p）+p］n的展开式的第k+1项.考点四、抽样方法、总体分布的估计例5：为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2．（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；（2）估计该校学生身高在的概率；（3）从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190cm之间的概率。解：（1）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400．频率分布直方图如右图示：\n（2）由表1、表2知，样本中身高在的学生人数为：5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70，所以样本中学生身高在的频率-故由估计该校学生身高在的概率．（3）样本中身高在180185cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④样本中身高在185190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥从上述6人中任取2人的树状图为：故从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率．【名师点睛】1.简单随机抽样：一般地，设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.2.分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.分层抽样的步骤：（1）分层；（2）按比例确定每层抽取个体的个数；（3）各层抽样（方法可以不同）；（4）汇合成样本.3.总体：在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.4.频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.解决总体分布估计问题的一般程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除以组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率（频率=）；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估计.【三年高考】10、11、12高考试题及其解析12高考试题及其解析一、选择题\n1、（2022北京文）设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（　）（A）（B）（C）（D）【解析】这是道微综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式，概率.题目中表示区域如下图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积，因此P=[点评]与面积、体积、长度有关的概率问题属于几何概型.2、（2022湖北文）10.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（C）A．B．C．D．【解析】如图，不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S1,S2,两块阴影部分的面积分别为S3,S4，则S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=①,而S1+S3与S2+S3的和恰好为一个半径为a的圆，即S1+S3+S2+S3②.①-②得S3=S4,由图可知S3=,所以..由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率P=.【点评】\n本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.3、（2022安徽文）（10）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）5、（2022湖南文5）、某高校的大学生的体重ykg与身高xcm的线性相关方程是，则下列说法不正确的是（　　）A　y与x是正相关关系，B　该线性相关方程通过样本中心点，C　该校的大学生的身高每增长1cm,则他的体重大约增加0.85kg，D　该校一名身高为170cm的大学生的体重必定是58.79kg.【解析】由回归方程为=0.85x-85.71知随的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知，所以回归直线过样本点的中心（，），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确.6、（2022山东文）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数　　　(B)平均数　　　(C)中位数　　　(D)标准差【解析】样本数据都加2后所得数据的波动性并没有发生改变,所以标准差不变,故选D.\n7、（2022全国文）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A）－1（B）0（C）（D）1【命题意图】本题主要考查样本的相关系数，是简单题.【解析】有题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D.8、（2022湖北文）2容量为20的样本数据，分组后的频数如下表则样本数据落在区间[10,40]的频率为()A0.35B0.45C0.55D0.65【解析】由频率分布表可知：样本数据落在区间内的頻数为2+3+4=9，样本总数为，故样本数据落在区间内频率为.故选B.【点评】本题考查频率分布表的应用，频率的计算.对于頻数、频率等统计问题只需要弄清楚样本总数与各区间上样本的个数即可，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率.来年需注意频率分布直方图与频率分布表的结合考查.9、（2022陕西文）3.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56B．46，45，53C．47，45，56D．45，47，53\n11、（2022江西文）6.小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为A.30％B.10％C.3％D.不能确定【答案】C【解析】本题是一个读图题，图形看懂结果很容易计算.二、填空题1、（2022上海文）11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为.【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.2、（2022重庆文）（15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）。【解析】随意安排6节课的方法数为\n而至少间隔一节课包含两种情形，即只间隔一节课或间隔2节与1节，其方法数皆为所以其概率为[点评]考查排列数公式及概率，由于条件中含有“至少”字眼，所以即可分类讨论正面解决，也可从对立事件入手反面求解；又由“间隔”字眼可知，排列方法数的求解可用“插空法”，属难题.由此看出，排列组合应用题的复习应着重原理的分析与方法的夯实，不宜过分沉溺于偏题、怪题.3、（2022浙江文）12.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是___________。【解析】若使两点间的距离为，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为.【命题意图】本题主要了以正方形中某些点为背景的随机事件的概率问题。0891　0354、（2022湖南文13）、已知某样本的数据是整数且它的茎叶图是：则该样本的方差是＿＿＿＿＿＿。【解析】，.【点评】本题考查统计中的茎叶图方差等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力.5、（2022广东文）由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于，则这组数据为__________。（从小到大排列）【解析】这组数据为不妨设得：①如果有一个数为或；则其余数为，不合题意②只能取；得：这组数据为6、（2022山东文）右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为，，，，，.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.【解析】最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.【答案】9　7、（2022湖北文）11.一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人。现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有______人。\n9、（2022福建文）14.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_______。【解析】【答案】12三、解答题1、（2022湖南文17）、某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示。已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％。（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率。（将频率视为概率）【解析】（Ⅰ）由已知得，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:(分钟).（Ⅱ）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得\n.是互斥事件，.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，知从而解得，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.2、（2022山东文）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.解：(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为.(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为.3、（2022广东文）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数。\n4、（2022全国文）18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式。（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920网]频数10201616151310(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.【解析】（Ⅰ）当日需求量时，利润=85；当日需求量时，利润，∴关于的解析式为；（Ⅱ\n）(i)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的平均利润为=76.4；(ii)利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率，是简单题.5、（2022北京文）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中，.当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值.（注：方差，其中为的平均数）6、（2022安徽文）（18）（本小题满分13分）若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时，则视为合格品，否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格\n品。计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm）,将所得数据分组，得到如下频率分布表：分组频数频率[-3,-2)0.1[-2,-1)8（1,2]0.5（2,3]10（3,4]合计501（Ⅰ）将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置；（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率；（Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品。据此估算这批产品中的合格品的件数。【解析】（I）分组频数频率[-3,-2)0.1[-2,-1)8（1,2]0.5（2,3]10（3,4]合计501（Ⅱ）不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率为（Ⅲ）合格品的件数为（件）答：（Ⅱ）不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率为（Ⅲ）合格品的件数为（件）7、（2022陕西文）19（本小题满分12分）假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率。【解析】\n点评：此题主要考察随机事件，随机事件的概率，用频率估计概率，考察数据处理能力和运算能力.8、（2022重庆文）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响。（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率。9、（2022天津文）（15题）（本小题满分13分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，（1）列出所有可能的抽取结果；（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。【解析】（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目之比为得：从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为（2）（i）设抽取的6所学校中小学为，中学为，大学为\n；抽取2所学校的结果为：，共种；（ii）抽取的2所学校均为小学的结果为：共种，抽取的2所学校均为小学的概率为10、（2022四川文）17、(本小题满分12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和。（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；（Ⅱ）求系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。【解析】（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1-P（C）=1-P=，解得P=…6分（2）设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D,那么P(D)=答：检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为.……12分.11、（2022福建文）18.(本题满分12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（I）求回归直线方程=bx+a，其中b=-20，a=-b；（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）【解析】本题考查的知识点为线性回归中回归直线的求解及二次函数的最值。（I）\n（II）工厂获得利润当时，（元）12、（2022江西文）18.（本小题满分12分）如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0,1,0,）B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点。（I）求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；（II）求这3点与原点O共面的概率。(Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计\n男女合计(Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。0.050.013.8416.635附【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将列联表中的数据代入公式计算，得…3分因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.……6分(Ⅱ)由频率分布直方图知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能的结果所组成的基本事件空间为={{，}，{，}，{，}，{，}，{，},{，}，{，}，{，}，{，}，{，}}.其中表示男性，=1,2,3，表示女性，=1,2.由10个基本事件组成，而且这些基本事件出现是等可能的，用A表示“任选3人中，至少有2人是女性”这一事件，则A={{，}，{，},{，}，{，}，{，}，{，}，{，}}，事件A由7个基本事件组成，∴.【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、古典概型，考查分析解决问题的能力、运算求解能力，难度适中。准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键。求概率时列举基本事件一定要做到不重不漏，此处极容易出错。14、（2022全国大纲版文）（20）（本小题满分12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在平前，一方连续发球次后，对方再连续发球次，依次轮换。每次发球，胜方得分，负方得分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。（Ⅰ）求开始第次发球时，甲、乙的比分为比的概率；（Ⅱ）求开始第次发球时，甲得分领先的概率。\n【命题意图】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解。首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析，讨论，并结合独立事件的概率求解结论。11年高考试题及解析1、（全国文6）.有三个兴趣小组，甲乙两个同学各自参加其中一个小组、每个同学参加各小组可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）ABCD6.解析：A因为甲乙两位同学参加同一个小组有3种方法，两位同学个参加一个小组共有种方法；所以，甲乙两位同学参加同一个小组的概率为点评：本题考查排列组合、概率的概念及其运算和分析问题、解决问题的能力。2、（浙江文8）.从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】：无白球的概率是，至少有1个白球的概率为\n，故选D3、（湖北文13）.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为（结果用最简分数表示）解析：因为30瓶饮料中未过期饮料有30-3=27瓶，故其概率为.4、（重庆文14）从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为解析：【命题意图】本题考查组合计算和等可能事件的概率计算，是中档题.【解析】10位同学任选3人共有种选法,其中含甲不含乙共有种选法，故所选3位中有甲但没有乙的概率为=.【答案】5、（上海文13）．机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是（默认每月天数相同，结果精确到）。解析：取9个同学不在同一月出生的概率，至少有2个同学在同一月出生的概率是6、（福建文7）.图，矩形ABCD中，点E为边CD的重点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于A．B.C.D.【解析】这是一几何概型,所求概率为,故选C.7、（安徽文9).从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（A）(B)(C)(D)【答案】D【命题意图】本题考查古典概型的概率问题.属中等偏难题.【解析】通过画树状图可知从正六边形的6个顶点中随机选\n择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中能构成矩形3个，所以是矩形的概率为.故选D.【解题指导】：列举法是解决排列组合问题的最直接和最有效的办法。8、（重庆文4）．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）12512012210513011411695120134则样本数据落在内的频率为A．0.2B．0.3C．0.4D．0.510、（上海文10）课题组进行城市农空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为、、.若用分层抽样抽取个城市，则丙组中应抽取的城市数为【解析】11、（湖北文5）．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12]内的频数为A.18B.36C.54D.72解析：根据频率分布直方图，可知样本点落在[10，12）内频率为，故其频数为，所以选B.12、（湖北文11）.\n某市有大型超市200家、中型超市400家，小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市家.解析：应抽取中型超市（家）.13、（四川文2）.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：24918111273根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占（A）(B)(C)(D)解析：大于或等于31.5的数据所占的频数为12+7+3=22，该数据所占的频率约为.14、(浙江文13).某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某此数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）。根据频率分布直方图3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是____【答案】60015、（广东文13）．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y0．40．50．60．60．4小李这5天的平均投篮命中率为，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为．【解析】0.5;0.53由题得小李这5天的平均投篮命中率为16、（山东文8）.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表\n广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(A)63.6万元(B)65.5万元(C)67.7万元(D)72.0万元【答案】B【解析】由表可计算,,因为点在回归直线上,且为9.4，所以,解得,故回归方程为,令x=6得65.5,选B.17、（陕西文9）.设···，是变量和的次方个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（）(A)直线过点（B）和的相关系数为直线的斜率（C）和的相关系数在0到1之间（D）当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同【答案】A【解析】：由得又，所以则直线过点，故选A18、（湖南文5）．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由\n附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828参照附表，得到的正确结论是（）A、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C、在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D、在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”20、（辽宁文14）.调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：=0.254x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_______万元。答案：0.254解析：由线性回归直线斜率的几何意义可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元。21、（江西文7）.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（）A.B.\nC.D.【解析】计算可以得知，中位数为5.5，众数为5所以选D22、（江西文8）.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x（cm）174176176176178儿子身高y（cm）175175176177177则y对x的线性回归方程为A.y=x-1B.y=x+1C.y=88+D.y=17623、（陕西文20）.（本小题满分13分）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：（Ⅰ）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;（Ⅱ ）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;时间（分钟）选择612181212选择0416164（Ⅲ ）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径。解（Ⅰ）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，用频率估计相应的概率为0.44.（Ⅱ ）选择的有60人，选择的有40人，故由调查结果得频率为：时间（分钟）\n的频率0.10.20.30.20.2的频率00.10.40.40.1（ Ⅲ ），，分别表示甲选择和时，在40分钟内赶到火车站；，分别表示乙选择和时，在50分钟内赶到火车站。由（Ⅱ）知 =0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5，甲应选择=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，=0.1+0.4+0.4=0.9，∴乙应选择.24、（四川文17）.（本小题共12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲乙两人独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时.（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率.解析：（Ⅰ）甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率的分别是，，故甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率都是.（Ⅱ）设“甲、乙两人每次租车都不超过两小时”为事件A,“甲、乙两人每次租车一人不超过两小时，另一个人在两小时以上且不超过三小时还车”为事件B,此时，所付的租车费用之和2元；“甲、乙两人每次租车都在两小时以上且不超过三小时还车”为事件C，此时，所付的租车费用之和4元；甲、乙两人每次租车一人不超过两小时，另一个人在三小时以上且不超过四小时还车”为事件D，此时，所付的租车费用之和4元；则,,，\n.因为事件A,B,C,D互斥，故甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率=.所以甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率.25、（广东文17）．（本小题满分13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用表示编号为的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩7076727072（1）求第6位同学成绩，及这6位同学成绩的标准差；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间中的概率．【解析】26、（山东文18）.（本小题满分12分）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.【解析】(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2,乙男)、(甲男1,乙女1)、(甲男1,乙女2)、(甲男2,乙女1)、(甲男2,乙女2)、(甲女,乙女1)、(甲女,乙女2)、(甲女,乙男)，共9种；选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2,乙男)、(甲女1,乙女1)、(甲女1,乙女2)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为.（2）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2,乙男)、(甲男1,乙女1)、(甲男1,乙女2)、(甲男2,乙女1)、(甲男2,乙女2)、(甲女,\n乙女1)、(甲女,乙女2)、(甲女,乙男)、(甲男1,甲男2)、(甲男1,甲女)、(甲男2,甲女)、(乙男,乙女1)、(乙男,乙女2)、(乙女1,乙女2)，共15种；选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1,甲男2)、(甲男1,甲女)、(甲男2,甲女)、(乙男,乙女1)、(乙男,乙女2)、(乙女1,乙女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为.27、（全国文19).(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；(Ⅱ)求该地的3位车主中恰有一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。28、（浙江文19）.（本小题满分12分）某种产品以其质量指标值衡量，质量指标越大越好，且质量指标值大于102的产品为优质产品，现在用两种新配方（A配方、B配方）做试验，各生产了100件，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：A配方的频数分布表指标值分组频数82042228B配方的频数分布表指标值分组频数41242328（1）分别估计使用A配方，B配方生产的产品的优质品的概率；\n（2）已知用B配方生产一件产品的利润与其质量指标的关系为：估计用B配方生产上述产品平均每件的利润。分析：用事件所在区间的频率估计值计算概率，再用题设利润表达式求利润。解：（Ⅰ）由试验结果知：使用A配方生产的优质品的概率为；使用B配方生产的优质品的概率为(Ⅱ)有已知条件得，用B配方生产的利润大于0,；当且仅当其质量指标值，由试验结果知：的频率为0.96；所以用B配方生产一件产品利润大于0的概率估值为0.96；因此，用B配方生产一件产品利润为点评：此题考查统计条件下事件的概率和利润，要熟练掌握概率统计的概念及其概率的计算，同时要学会分析问题和解决问题。29、（湖南文18）．（本题满分12分）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5；已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．（I）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．解：（I）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率\n（II）故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为．30、（福建文19）.（本小题满分12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；（11）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3，等级系数为5的2件日用品记为y1,y2，现从x1,x2,x3,y1,y2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.31\n、（辽宁文19）.（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验。选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙。（I）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据x1，x2，…，xa的样本方差，其中为样本平均数。32、（北京文16）.（本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率。\n（注：方差其中为，，的平均数）【解析】：（Ⅰ）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为33、（天津文15）.（本小题满分13分）编号分别为的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:区间人数(Ⅱ)从得分在区间内的运动员中随机抽取2人,(i)用运动员编号列出所有可能的抽取结果;(ii)求这2人得分之和大于50的概率.【解析】(Ⅰ)4,6,6.\n(Ⅱ)(i)解:得分在区间内的运动员编号为.从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:,,,,,,,,,,,,,,,共15种.(ii)解:“从得分在区间内的运动员中随机抽取2人,这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有:,,,,,共5种.所以P(B)=.【命题意图】本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识,考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力.34、（安徽文20）（本小题满分10分）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20222022202220222022需求量（万吨）236246257276286（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程;（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2022年的粮食需求量。温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.【命题意图】：本题考察回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法，数据处理的基本方法和能力，，考察运用统计知识解决简单实际应用问题能力和运算求解能力。【解析】：（Ⅰ）由所给数据可以看出，年需求量与年份之间的是近似直线上升，为此对数据预处理如下表：年份-2022-4-2024需求量-257-21-1101929对预处理后的数据，容易算得=0，=3.2，\n，所求的回归直线方程为即（Ⅱ）当x=2022时，（万吨）答：该地2022年的粮食需求量为299.2万吨。【解题指导】：求回归直线方程的思维含量不高，但对数据处理和运算能力要求非常高，本题若不先对数据进行预处理，出错的可能性很大。此外还要说明一点：试卷开头“考生注意事项”部分已经提示：“若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算.”做卷时要注意这些细节。35、（江西文16）.(本小题满分12分）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．（1）求此人被评为优秀的概率；（2）求此人被评为良好及以上的概率．36、（重庆文17）．（本小题满分13分，（I）小问6分，（II）小问7分）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（I）没有人申请A片区房源的概率；（II）每个片区的房源都有人申请的概率。\n【命题意图】本题考查应用排列组合知识和两个计数原理求等可能事件的概率、独立重复试验，考查运用概率知识分析解决问题能力，是中档题.【解析】(Ⅰ)(法1)设事件A表示“没有人申请A片区房源”所有可能的申请方式有种，其中没有人申请A片区房源方式有种，则没有人申请A片区房源的概率为==.（法2）设“申请A片区房源”为事件A，∵每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，∴=,对每位申请房源作为一次试验，应为每人申请房源相互独立，4人申请房源可以看成4次独立重复试验，故没人申请A片房源的概率为==；(Ⅱ)记“每个片区的房源都有人申请”为事件B,所有可能的申请方式有种，其中每个片区的房源都有人申请的方式有种，∴每个片区的房源都有人申请的概率为==.2022年高考试题及解析一、选择题1．(2022年高考北京卷文科3)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是（A）(B)（C）(D)2．(2022年高考江西卷文科9)有位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少每一位同学能通过测试的概率为A．B．C．D．【答案】D【命题意图】主要考察对立事件的概率【解析】每位同学不能通过的概率为，所有同学都不能通过的概率为\n，至少有一位同学能通过的概率为。3．(2022年高考安徽卷文科10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（A）（A）（A）（A）【答案】C【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件。两条直线相互垂直的情况有5种（4组邻边和对角线）包括10个基本事件，所以概率等于.【方法技巧】对于几何中的概率问题，关键是正确作出几何图形，分类得出基本事件数，然后得所求事件保护的基本事件数，进而利用概率公式求概率.4．(2022年高考山东卷文科6)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A）92,2(B)92,2.8(C)93,2(D)93,2.8【答案】B【解析】由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为90+=92；方差为2.8，故选B。【命题意图】本题考查平均数与方差的求法，属基础题。5．(2022年高考福建卷文科9)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和92【答案】A【解析】由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，所以其中位数为91.5，平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，故选A。【命题意图】本题考查茎叶图的基础知识，考查同学们的识图能力，考查中位数与平均数的求法。6．(2022年重庆文5)某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（A）7（B）15（C）25（D）35【答案】B【解析】青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:5:3，所以样本容量为.7．(2022年四川文4)一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.\n为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是（A）12,24,15,9（B）9,12,12,7（C）8,15,12,5（D）8,16,10,6答案：D解析：因为，故各层中依次抽取的人数分别是，，，。二、填空题：1．(2022年福建文14)将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于。【命题意图】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键。2．（2022年高考江苏卷试题3）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是___.【答案】[解析]考查古典概型知识。3.(2022年全国高考宁夏卷13）设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间上的均匀随机数和，由此得到N个点，再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为。【答案】解析：的几何意义是函数的图像与轴、直线和直线所围成图形的面积，根据几何概型易知．4．（2022年上海春9)连续掷两次骰子，出现点数之和等于4的概率为（结果用数值表示）\n答案：。解析：点数和为的结果为（1，3），（2，2），（3，1）共3个，而总的试验结果为36个，由古典概型概率计算公式可得。5．（2022年江苏4）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。【答案】30[解析]考查频率分布直方图的知识。100×（0.001+0.001+0.004）×5=306．（2022年上海春6)某社区对居民进行上海世博会知晓情况的分层抽样调查。已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人。若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是。答案：80。解析：由题可知抽取的比例为，故中年人应该抽取人数为。7．(2022年高考浙江卷文科11)在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是、\n解析：45；46，本题主要考察了茎叶图所表达的含义，以及从样本数据中提取数字特征的能力，属容易题。8．(2022年浙江文17)在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，在APMC中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满足向量的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为。解析：由题意知，G点共有16种取法，而只有E为P、M中一点，F为Q、N中一点时，落在平行四边形内，故符合要求的G的只有4个，因此概率为，本题主要考察了平面向量与古典概型的综合运用，属中档题。9．（2022年上海文10）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为（结果用最简分数表示）。解析：考查等可能事件概率“抽出的2张均为红桃”的概率为10．（2022年辽宁文）三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为。解析：题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：，概率为：K^S*5U.C#11.(2022年宁夏文14)设函数为区间上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有，可以用随机模拟方法计算由曲线及直线，，所围成部分的面积，先产生两组每组个，区间上的均匀随机数和，由此得到V个点。再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方法可得S的近似值为___________\n12．（2022年重庆文14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________.【解析】加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率.13．（2022年高考湖北卷文科13）一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这咱新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）。【解析】分情况讨论:若共有3人被治愈，则；若共有4人被治愈，则，故至少有3人被治愈概率.14．（2022年高考湖南卷文科11）在区间[-1,2]上随即取一个数x，则x∈[0,1]的概率为【答案】【命题意图】本题考察几何概率，属容易题。三、解答题：1．（2022年山东文19）（本小题满分12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求的概率.\n2．（2022年天津文18）（本小题满分12分）有编号为,,…的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品。（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个.（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求这2个零件直径相等的概率。【命题意图】本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力。【解析】（Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个.设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P（A）==.（Ⅱ）（i）解：一等品零件的编号为.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：,,,,,,共有15种.(ii)解：“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B）的所有可能结果有：，，共有6种.所以P(B)=.3．(2022年高考江西卷文科18)（本小题满分12分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．（1）求走出迷宫时恰好用了l小时的概率；（2）求走出迷宫的时间超过3小时的概率．\n5．（2022年全国Ⅰ文19）(本小题满分12分)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．解：(Ⅰ)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用则D=A+B·C,===0.25+0.5×0.3=0.40.6．（2022年高考江苏卷试题22）（本小题满分10分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。[解析]本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，\nP（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。由此得X的分布列为：X1052-3P0.720.180.080.02（2）设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有件。由题设知，解得，又，得，或。所求概率为答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。7.(2022年宁夏19）(本小题12分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：是否需要志愿性别男女需要4030不需要160270（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(II)能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(III)根据(II)的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附：解：（Ⅰ）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为(II)。由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．8．(2022年重庆文17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，……，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.\n9．(2022年四川文17）（满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.5.【两年模拟】2022名校模拟题及其答案【山东省曲阜师大附中2022届高三9月检测】一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A．B．C．D．【答案】C【山东省兖州市2022届高三入学摸底考试】下表是某工厂1~4月份用电量（单位：万度）的一组数据：月份x1234用电量y4．5432．5\n由散点图可知，用电量y与月份x间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则a=（）A．10.5B．5.25C．5.2D．5.15【答案】B【山东省兖州市2022届高三入学摸底考试】右图是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为（）A．3与3B．23与3C．3与23D．23与23【答案】D【四川省南充高中2022届高三第一次月考文】南高老校区有学生4500人，其中高三学生1500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为（）A．50B．100C．150D．20【答案】B【2022四川省成都市石室中学高三第一次月考】某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是则该单位员工总数为（）A．110B．100C．90D．80【答案】B【2022四川省成都市石室中学高三第一次月考】有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率（　）A．B．C．D．【四川绵阳市丰谷中学2022届高三第一次月考文】\n为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如下左图），已知图中从左到右的前3个小组的频率比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是。【答案】48【四川绵阳市丰谷中学2022届高三第一次月考文】南高老校区有学生4500人，其中高三学生1500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为（）A．50B．100C．150D．20[【答案】B【浙江省塘栖、瓶窑、余杭中学2022届高三上学期联考文】若有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是()(A)(B)(C)(D)【答案】B【浙江省塘栖、瓶窑、余杭中学2022届高三上学期联考文】(13)某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测的元件长度(单位：mm)数据绘制了频率分布直方图(如图)．若规定长度在[97，103)内的元件是合格品，则根据频率分布直方图估计这批产品的合格品率是．【答案】80%【湖南省雅礼中学2022届高三第三次月考文】雅礼中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体800名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查。现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数，即每16人抽取一个人，在1~16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33~48这16个数中应取的数是（）A．40B．39C．38D．37【答案】B【湖南省雅礼中学2022届高三第三次月考文】某公司为改善职工的出行条件，随机抽取50名职工，调查他们的居住地与公司的距离d（单位：千米）。若样本数据分组\n，由数据绘制的频率分布直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司的距离不超过4千米的人数为人。【答案】24【湖南省雅礼中学2022届高三第三次月考文】在边长为2的正三角形中，以A为圆心，为半径画一弧，分别交AB，AC于D，E。若在这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是。【答案】【江西省白鹭洲中学2022届高三第二次月考文】设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生但A不发生的概率要同，则事件A发生的概率P(A)是（）A、B、C、D、【答案】D【江西省白鹭洲中学2022届高三第二次月考文】一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．【答案】12【2022湖北省武汉市部分学校学年高三新起点调研测试】右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损。则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【湖北省部分重点中学2022届高三起点考试】在区间上随机抽取一个数x,\n的值介于0和之间的概率为（）A．B．C．D．【江苏省南通市2022届高三第一次调研测试】在闭区间[－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是【答案】【江苏省南通市2022届高三第一次调研测试】若的方差为3，则的方差为．【答案】27【上海市南汇中学2022届高三第一次考试(月考)】一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球（9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，从袋中随机摸出3球，则摸出的3球中至少有一个是白球的概率为【答案】解答题1、某中学高三（1）班有男同学30名，女同学10名，老师按照分层抽样的方法组建了一个人的校本教材自学实验小组．（Ⅰ）求小组中男、女同学的人数；（Ⅱ）从这个小组中先后选出2名同学进行测试，求选出的2名同学中恰有一名女同学的概率.【试题出处】2022年北京市房山区高三一模文科数学\n【解析】（Ⅰ）设小组中有名男同学，则所以小组中男、女同学的人数分别为3,1.5分（Ⅱ）把名男同学和名女同学分别记为，则选取两名同学的基本事件有，，，，，，，，，，共种，其中有一名女同学的基本事件有种,所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为……………13分2、《国家中长期教育改革和发展规划纲要》下设，，三个工作组，其分别有组员36，36，18人，现在意见稿已公布，并向社会公开征求意见，为搜集所征求的意见，拟采用分层抽样的方法从，，三个工作小组抽取5名工作人员来完成.（Ⅰ）求从三个工作组分别抽取的人数；（Ⅱ）搜集意见结束后，若从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，求这两名工作人员没有组工作人员的概率.【试题出处】2022年3月北京市东城区示范校联考高三数学文科试题【解析】（I）三个工作组的总人数为36+36+18=90，样本容量与总体中个体数的比为所以从三个工作组分别抽取的人数为2，2，1.------5分（II）设为从组抽得的2名工作人员，为从组抽得的工作人员，为从组抽得的工作人员，若从这5名工作人员中随机抽取2名，其所以可能的结果是：,共有10种，--9分其中没有组工作人员的结果是：有3种，-11分所以从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，此时这两名工作人员中没有A组工作人员的概率-13分3、一个袋子里装有编号为1，2，3，4，5的5个大小形状均相同的小球，从中任取两个小球．（I）请列举出所有可能的结果；（II）求两球编号之差的绝对值小于2的概率4、对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到\n统计数据如下：教师教龄5年以下5至10年10至20年20年以上教师人数8103018经常使用信息技术实施教学的人数24104（Ⅰ）求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率；（Ⅱ）在教龄10年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？【试题出处】2022年北京市丰台区高三一模文科数学【解析】（Ⅰ）该校教师人数为8+10+30+18=66，该校经常使用信息技术实施教学的教师人数为2+4+10+4=20．…2分设“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”为事件A，3分则，所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率是．（Ⅱ）设经常使用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为（i=1，2），教龄在5至10年的教师为（j=1，2，3，4），那么任选2人的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，共15个．……9分设“任选2人中恰有一人的教龄在5年以下”为事件B，…10分包括的基本事件为，，，，，，，共8个，…11分则．……13分所以恰有一人教龄在5年以下的概率是．5、某学校为了准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位：cm），跳高成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”。（1）求甲队队员跳高成绩的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员共抽取5人，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少？（3）从甲队178cm以上（包括178cｍ）选取两人，至少有一人在１８６ｃｍ以上（包括１８６ｃｍ）的概率为多少。【试题出处】河北省2022年普通高考模拟考试数学试题（文）【解析】（Ⅰ）中位数cm．………．．2分（Ⅱ）根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，用分层抽样的方法，每个运动员\n被抽中的概率是，所以选中的“合格”有人，“不合格”有人．……．．6分（Ⅲ）甲队178cm以上（包括178cm）的人数共6人，从中任取2人基本事件为：（178，181），（178，182），（178，184）（178，186）（178，191）（181，182），（181，184），（181，186），（181，191），（182，184），（182，186），（182，191），（184，186），（184，191），（186，191）共有15个；………8分其中至少一人在186cm以上（包括186cm）的事件为：（178，186）（178，191），（181，186），（181，191），（182，186），（182，191），（184，186），（184，191），（186，191），共有9个；……．．10分则至少有一人在186cm以上（包括186cm）的概率为……．．12分6、为了检测某批棉花的质量，质检人员随机抽取6根，其平均纤维长度为25mm。用表示第n根棉花的纤维长度，且前5根棉花的纤维长度如下表：（1）求X6及这6根棉花的标准差s；（2）从这6根棉花中，随机选取2根，求至少有1根的长度在区间（20，25）内的概率。【试题出处】唐山市2022届高三上学期期末考试数学试题（文）【解析】（Ⅰ）由题意，＝25，X6＝40．2分s2＝＝49，s＝7．…5分（Ⅱ）从这6根棉花中，随机选取2根用无序数组(Xi，Xj)（i，j＝1，2，3，4，5，6，i≠j）表示，可能出现的结果为(X1，X2)，(X1，X3)，(X1，X4)，(X1，X5)，(X1，X6)，(X2，X3)，(X2，X4)，(X2，X5)，(X2，X6)，(X3，X4)，(X3，X5)，(X3，X6)，(X4，X5)，(X4，X6)，[.Com](X5，X6)；2根的长度都不在区间(20，25)内的结果为(X1，X2)，(X1，X4)，(X1，X6)，(X2，X4)，(X2，X6)，(X4，X6)．9分2根的长度都不在区间(20，25)内概率P＝＝，至少有1根的长度在区间(20，25)内的概率为1－P＝…12分7、一个袋中装有4个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1、2、3、4，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取1个球，摸到球的编号分别为在一次抽取中：（Ⅰ）若两人抽取的编号都相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；（Ⅱ）求丙抽取的编号能使方程成立的概率.【试题出处】江西省宜春市2022届高三上学期期末统考试卷数学(文)【解析】（Ⅰ）甲、乙依次摸到球的编号记为，则基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）一共4×4=16种，甲、乙两人成为“好朋友”的基本事件有（1，1）、（2，2）、（3，3）、（4，4）共4种，故甲、乙两人成为“好朋友”的概率\n………6分（Ⅱ）甲、乙、丙依次摸到球的编号记为，则基本事件有4×4×4=64种。若丙抽取的编号时，则分别为（1，3）、（2，2）、（3，1），若丙抽取的编号时，则分别为（1，1），若丙抽取的编号时，方程不成立综上：丙抽取的编号能使方程成立基本事件有4种，∴所求概率……12分8、我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如下表：（Ⅱ）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩在分以上的人数；（Ⅲ）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分的概率．【试题出处】2022年北京市石景山区高三一模文科数学\n9、某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.【试题出处】\n2022年北京市海淀区高三一模文科数学【解析】（Ⅰ）由直方图可得.所以.（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：.…9分因为.所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.…13分10、山东省《体育高考方案》于2022年2月份公布，方案要求以学校为单位进行体育测试，某校对高三1班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若90～100分数段的人数为2人.(Ⅰ)请估计一下这组数据的平均数M；(Ⅱ)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“帮扶组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率.11、某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：\n（1）在35~50岁年龄段的专业技术人员中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（2）在这个公司的专业技术要员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为求的值。【试题出处】河南2022~2022学年度高三年级第一次模拟考试数学试题（文）【解析】用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本,设抽取学历为本科的人数为m，∴=,解得m=3……2分∴抽取了学历为研究生2人，学历为本科3人，分别记作S1、S2；B1、B2、B3.从中任取2人的所有基本事件共10个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2)(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3).其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2)…………4分∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为.……6分（Ⅱ）依题意,得，解得N=78.…8分∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10=20,∴.…10分解得x=40,y=5.………12分553232A12、如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，得分记为（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．（Ⅰ）请列出一个家庭得分的所有情况；（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的总得分为参与游戏的两人所得分数之和，且总得分为偶数的家庭可以获得一份奖品．请问一个家庭获奖的概率为多少？【试题出处】北京市朝阳区2022-2022学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类）【解析】（Ⅰ）由题意可知，一个家庭的得分情况共有9种，分别为，．…7分（Ⅱ）记事件A：一个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分情况包括，共5种，……11分所以．所以一个家庭获奖的概率为．……………13分\n13、继“三鹿奶粉”，“瘦肉精”，“地沟油”等事件的发生之后，食品安全问题屡屡发生，引起了国务院的高度重视.为了加强食品的安全，某食品安检部门调查一个海水养殖场的养殖鱼的有关情况，安检人员从这个海水养殖场中不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的重量（单位：kg），并将所得数据进行统计得下表.若规定超过正常生长的速度为1.0～1.2kg/年的比重超过15%，则认为所饲养的鱼有问题，否则认为所饲养的鱼没有问题。鱼的质量鱼的条数320353192（Ⅰ）根据数据统计表，估计数据落在[1.20,1.30）中的概率约为多少，并判断此养殖场所饲养的鱼是否存在问题?（Ⅱ）上面捕捞的100条鱼中间，从重量在和[的鱼中，任取2条鱼来检测，求恰好所取得鱼重量和[各有1条的概率.【试题出处】肇庆市中小学教学质量评估2022—2022学年第一学期统一检测题高三数学（文科）【解析】（Ⅰ）捕捞的100条鱼中间，数据落在的概率约为；（1分）数据落在的概率约为；（2分）所以数据落在[1.20,1.30）中的概率约为（4分）由于％％％（5分）故饲养的这批鱼没有问题.（6分）（Ⅱ）重量在的鱼有3条，把这3条鱼分别记作重量在的鱼有2条，分别记作：那么所有的可能有：共10种，（9分）而恰好所取得鱼重量在和各有1条有：共6种，（11分）所以恰好所取得鱼重量在和各有1条的概率为.（12分）14、2000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示.问；（Ⅰ）时速在的汽车大约有多少辆？（Ⅱ）如果每个时段取中值来代表这个时段的平均速度，如时速在的汽车其速度视为55，请估算出这2000辆汽车的平均速度.\n15、某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示．（I）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组\n分别为:第3组:人.第4组:人.第5组:人,所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.…………………8分（Ⅲ）设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为,第5组的1位同学为,[来则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的有:共9种．所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为……12分16、某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？【试题出处】2022年北京市东城区高三一模文科数学\n17、2022年春晚歌舞类节目成为春晚顶梁柱，尤其是不少创意组合都被网友称赞很有新意。王力宏和李云迪的钢琴PK，加上背景板的黑白键盘，更被网友称赞是行云流水的感觉。某网站从2022年1月23号到1月30做了持续一周的在线调查，共有n人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示。序号年龄分组组中值频数（人数）频率（f）1[20,25)22.5xs2[25,30)27.5800t3[30,35)32.5y0.404[35,40)37.516000.325[40,45)42.5z0.04（Ⅰ）求n及表中x,y,z,s,t的值（Ⅱ）为了对数据进行分析，采用了计算机辅助计算，分析其中一部分计算，见算法流程图，求输出的S值，并说明S的统计意义。（Ⅲ）从年龄在[20,30）岁人群中采用分层抽样法抽取6人参加元宵晚会活动，其中选取2人作为代表发言，求选取2名代表中恰有1人年龄在[25,30）岁的概率。【试题出处】湖北省八校2022届高三第二次联考数学（文）试题【解析】（1）依题意则有n==5000,x=5000-(800+2000+1600+200)=400,y=5000×0.40=2000,z=5000×0.04=200,s==0.08,t==0.16…………4分(2)依题意则有S＝22.5×0.08+27.5×0.16+32.5×0.40+37.5×0.32+42.5×0.04=32.9;………5分S的统计意义即是指参加调查者的平均年龄。……6分（3）∵[20,25)年龄段与[25,30)年龄段人数的比值为，………………8分\n∴采用分层抽样法抽取6人中年龄在[20,25)岁的有2人，年龄在[25,30)岁的有4人，设在[25,30)岁的4人分别为a,b,c,d,在[20,25)岁中的2人为m,n；选取2人作为代表发言的所有可能情况为（a,b）,(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n)共有15种，其中恰有1人在年龄[25,30)岁的代表有（a,m）,(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n)共8种………12分故概率………13分18、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050（１）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？（２）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率.（３）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，计算出，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【试题出处】广东省韶关市2022届高三第一次调研考试数学（文）试题【解析】（１）在喜欢打蓝球的学生中抽６人，则抽取比例为∴男生应该抽取人…４分（２）在上述抽取的6名学生中,女生的有2人，男生4人。女生2人记；男生4人为，则从6名学生任取2名的所有情况为:、、、、、、、、、、、、、、共15种情况，其中恰有1名女生情况有：、、、、、、、，共8种情况，故上述抽取的６人中选２人，恰有一名女生的概率概率为.……….８分（３）∵，且，那么，我们有的把握认为是否喜欢打蓝球是与性别有关系的……….１２分19、甲、乙两班各派三名同学参加青奥知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分．假设甲班三名同学答对的概率都是，乙班三名同学答对的概率分别是，，，且这六个同学答题正确与否相互之间没有影响．\n（1）用X表示甲班总得分，求随机变量X的概率分布和数学期望；（2）记“两班得分之和是30分”为事件A，“甲班得分大于乙班得分”为事件B，求事件A，B同时发生的概率．20、已知一口袋中共有4只白球和2只红球（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．【试题出处】江苏省南通市2022届高三数学模拟试题【解析】（1）X的可能取值为4、5、6.P(X=4)=，P(X=5)=，P(X=6)=X的分布列为P456X5分(2)设“6次取球后恰好被停止”为事件A\n则6次取球后恰好被停止的概率为10分2022名校模拟题及其答案一、选择题1（北京四中2022届高三上学期开学测试理科试题）一组抛物线，其中为2,4,6,8中任取的一个数，为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（）　　A．　　　B．　　　C．　　　D．答案B.2（成都市玉林中学2022—2022学年度）在重庆召开的“市长峰会”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A.B.C.D.答案C.3(福建省福州八中2022届高三文)在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆（图中阴影部分）中的概率是A．B．C．D．答案C.4（河北省唐山一中2022届高三文）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．答案B.5(广东省河源市龙川一中2022届高三理）在区间[0，]上随机取一个数x，则事件\n“”发生的概率为（）A．B．C．D．8、(2022·黄冈期末)在正方体的顶点中任选3个顶点连成的所有三角形中，所得的三角形是直角三角形但非等腰直角三角形的概率是（C）A、B、C、D、9.(2022·锦州期末)某射手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别是0.24、0.28、0.19，则这名射手在一次射击中，击中的环数不够9环的概率是(D)（A）0.29（B）0.71（C）0.52（D）0.4810（2022·温州十校期末联考）一个袋中装有大小相同的3个红球，1个白球，从中随机取出2个球，则取出的两个球不同色的概率是（C）（A）（B）（C）（D）\n11(2022·锦州期末)在样本的频率分布直方图中,共有9个小长方形,若第一个长方形的面积为0.02,前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160,则中间一组（即第五组）的频数为(C)（A）12（B）24（C）36（D）4812（2022·九江七校二月联考）右图是年“唱响九江”电视歌手大奖赛中，七位专家评委为甲乙甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m,n为数字～中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则一定有（B）A．B．C．的大小与的值有关D.的大小与m,n的值都有二、填空题1（河南省郑州市四十七中2022届高三第三次月考文）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为________。答案76.202204012（2022嘉禾一中）某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10：8：7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率为0．2，则该单位青年职员的人数为____________．答案400，3（成都市玉林中学2022—2022学年度）某校有高中生1200人，初中生900人，老师120人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本；已知从初中生中抽取人数为60人，那么=。\n答案．148。解：4（江苏省泰州中学2022年高三文）如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则抽取的学生人数是.答案40.5(山东省实验中学2022届高三数学文理）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为_______.分数54321人数2010303010答案。6、(2022·黄冈期末)已知某校有学生100人，其中男生60人，女生40人，为了了解这100名学生与身体状况有关的某项指标，今决定采用分层抽样的方法，抽取一个容量为40的样本，则女生张某被抽中的概率。8(广东省佛山2022年2月联考理)一个总体分为A、B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为30的样本，已知B层中每个个体被抽到的概率都是，则总体中的个体数为360。\n9(2022·丰台期末)某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如右图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为85，3.2．三、解答题1（浙江省杭州宏升高复学校2022届高三上学期第三次月考文）（本题14分）从装有编号分别为a,b的2个黄球和编号分别为c,d的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：(Ⅰ)第1次摸到黄球的概率；(Ⅱ)第2次摸到黄球的概率.解：(Ⅰ)第1次摸球有4个可能的结果：a，b，c，d，其中第1次摸到黄球的结果包括：a，b,故第1次摸到黄球的概率是.4分(Ⅱ)先后两次摸球有12种可能的结果：（a，b）（a，c）（a，d）（b，a）（b，c）（b，d）（c，a）（c，b）（c，d）（d，a）（d，b）（d，c），其中第2次摸到黄球的结果包括：（a，b）(b，a)（c，a）（c，b）（d，a）（d，b），故第2次摸到黄球的概率为.10分2（河北省唐山一中2022届高三文）(本题满分12分)甲、乙两位乒乓球选手，在过去的40局比赛中，甲胜24局.现在两人再次相遇.⑴打满3局比赛，甲最有可能胜乙几局，说明理由；⑵采用“三局两胜”或“五局三胜”两种赛制，哪种对甲更有利，说明理由.（注：计算时，以频率作为概率的近似值.“三局两胜”就是有一方胜局达到两局时，就结束比赛；“五局三胜”就是有一方胜局达到三局时，就结束比赛）解：比赛一局，甲胜的概率约为p=.……1分⑴甲胜k(k=0,1,2,3)局的概率为.……2分则，…5分因为甲P3(2)最大，所以甲最有可能胜两局；………6分⑵三局两胜制：甲胜的概率为P1=，………………8分五局三胜制：甲胜的概率为P2=，……11分因为P2>P1，所以采用“五局三胜制”对甲有利.…12分3（2022·三明三校一月联考）（本小题满分12分）已知实数、－，（1）\n求直线不经过第一象限的概率；（2）求直线与圆有公共点的概率。4(2022·杭州一检)（本题满分14分）一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1,2,3,4,5．（1）从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回．求取出的两个球上编号之积为奇数的概率;（2）若在袋中再放入其他5个相同的球，测量球的弹性，经检测这10个的球的弹性得分如下：8．7,9．1,8．3，9．6,9．4，8．7,9．7，9．3,9．2,8．0,把这10个球的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值不超过0．5的概率．解：（1）设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件,共包含20个基本事件；其中，包含6个基本事件．则．（2）样本平均数为,\n11分设B表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率”，则包含6个基本事件，所以．5（2022嘉禾一中）（本小题满分12分）从甲地到乙地一天共有A、B两班车，由于雨雪天气的影响，一段时间内A班车正点到达乙地的概率为0．7，B班车正点到达乙地的概率为0．75。（1）有三位游客分别乘坐三天的A班车，从甲地到乙地，求其中恰有两名游客正点到达的概率（答案用数字表示）。（2）有两位游客分别乘坐A、B班车，从甲地到乙地，求其中至少有1人正点到达的概率（答案用数字表示）。解：（1）坐A班车的三人中恰有2人正点到达的概率为P3（2）=C0．72×0．31=0．441……（6分）（2）记“A班车正点到达”为事件M，“B班车正点到达冶为事件N则两人中至少有一人正点到达的概率为P=P（M·N）+P（M·）+P（·N）6（.(2022·东莞期末)（本小题满分分）为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：（1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；（2）用简单随机抽样方法从这条道路中抽取条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过的概率.解：（1）6条道路的平均得分为∴该市的总体交通状况等级为合格.（2）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过”.从条道路中抽取条的得分组成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件．事件包括，，，，，，共\n个基本事件，∴．答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为.7（攀枝花市）一个袋中有4个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个。（I）求连续取两次都是白球的概率；（II）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，求连续取两次分数之和大于1分的概率。8（广东省中山市2022届二模考文）(13分)今年国庆节期间,上海世博会中国馆和美国馆异常火爆，10月1日中国馆内有2个广东旅游团和2个湖南旅游团，美国馆内有2个广东旅游团和3个湖南旅游团.现从中国馆中的4个旅游团选出其中一个旅游团，与从美国馆中的5个旅游团中选出的其中一个旅游团进行互换.（1）求互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率；（2）求互换后中国馆内广东旅游团数的期望.解．（Ⅰ）令互换后中国馆恰有2个广东旅游团，①互换的都是广东旅游团，则此时中国馆恰有2个广东旅游团事件的概率---2分②互换的都是湖南旅游团，则此时中国馆恰有2个广东旅游团事件的概率----4分又，互斥，则------5分答：互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率为.--------------6分\n（Ⅱ）设互换后中国馆内广东旅游团数为，则的取值为-------------7分，，所以的分布列为：123P]所以12分答：互换后中国馆内广东旅游团数的期望-----13分9（广西北海二中2022届高三12月月考试题理）（本题满分12分）在本次考试中共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：‘每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分。’某考生每道题都给出一个答案。某考生已确定有9道题的答案是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：（Ⅰ）选择题得60分的概率；（Ⅱ）选择题所得分数的数学期望答案解：（1）得分为60分，12道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为，有1道题答对的概率为，还有1道答对的概率为，所以得分为60分的概率为：，。5分（2）依题意，该考生得分的范围为｛45，50，55，60｝.，。。。。。。6分得分为45分表示只做对了9道题，其余各题都做错，所以概率为，。。。。。。7分得分为50分的概率为：，。。。。。。8分同理求得得分为55分的概率为：，9分得分为60分的概率为：，10分所以得分的分布列为45505560\n数学期望。。。。。。12分10（湖北省南漳县2022年高三第四次月考文）(本小题满分12分)不透明盒中装有10个形状大小一样的小球，其中有2个小球上标有数字1，有3个小球上标有数字2，还有5个小球上标有数字3．取出一球记下所标数字后放回，再取一球记下所标数字，共取两次．设两次取出的小球上的数字之和为ξ．(Ⅰ)求随机变量ξ的分布列；(Ⅱ)求随机变量ξ的期望Eξ．11(四川泸州2022届一模文)某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E运至销售城市F，已知从城市E到城市F有两条公路．统计表明：汽车走公路Ⅰ堵车的概率为，不堵车的概率为；走公路Ⅱ堵车的概率为，不堵车的概率为，若甲、乙两辆汽车走公路Ⅰ，第三辆汽车丙由于其他原因走公路Ⅱ运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响．(1)求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率；(2)求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率．18．解：记“汽车甲走公路Ⅰ堵车”为事件A，“汽车乙走公路Ⅰ堵车”为事件B，“汽车丙走公路Ⅱ堵车”为事件C.(1)甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为P1＝P(A·)＋P(·B)＝×＋×＝.(2)甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为P2＝P(A·B·)＋P(A·\n·C)＋P(·B·C)＋P(A·B·C)＝××＋××＋××＋××＝.K]12．（南京九校联合体2022届高三学情分析）（本小题满分14分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x(°C)1011131286就诊人数y(个)222529261612该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验．(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(5分)(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程；(6分)(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(3分)(参考公式:)\n【一年原创】一选择题1问题：①某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了了解购买力的某项指标，要从中抽出一个容量为100户的样本；②从10名学生中抽出3人参加座谈会.方法：Ⅰ随机抽样法；Ⅱ系统抽样法；Ⅲ分层抽样法.问题与方法配对正确的是A．①Ⅲ，②ⅠB．①Ⅰ，②ⅡC．①Ⅱ，②ⅢD．①Ⅲ，②Ⅱ【答案解析】A2.我市某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为720的样本进行某项调查，则高二年级应抽取的学生数为（A）A．180B．240C．480D．720[3．某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查。经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为（C）A．180B．400C．450D．20004．从2011名学生中选出50名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：现用简单随机抽样从2011人中剔除11人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2011人中，每人入选的概率A．都相等，且为B．都相等，且为C．均不相等D．不全相等解析：每人入选的概率相等．概率为×＝，故选B.5某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为A．24B．18C．16D．12【答案】C6设集合，，,若，则b=c的概率是（C）ABCD7下图是甲、乙两名射击运动员各射击10次后所得到的成绩的茎叶图(茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字)，由图可知下列说法正确的为(　A　)\nA．甲、乙中位数的和为18.2，乙稳定性高B．甲、乙中位数的和为18.2，甲稳定性高C．甲、乙中位数的和为17.8，甲稳定性高D．甲、乙中位数的和为17.8，乙稳定性高（第5题图）8．如图，在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆,它落在阴影部分内接正三角形上的概率是（）A．B．C．D．【答案】D9某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是A．B．C．D．解析：转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率．答案：D10．在棱长为2的正方体中，点为底面的中心，在正方体内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为（B）A．B．C．D．二、填空题：1．某校高三有1000个学生，高二有1200个学生，高一有1500个学生．现按年级分层抽样，调查学生的视力情况，若高一抽取了75人，则全校共抽取了_____人．1852.某校举行2022年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为，．【答案】85，【解析】由茎叶图知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为所以由公式容易得出平均数为85，方差为。4．\n左口袋里装有3个红球，2个白球，右口袋里装有1个红球，4个白球．若从左口袋里取出1个球装进右口袋里，掺混好后，再从右口袋里取出1个球，这个球是红球的概率为________．5．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，则刚好构成直角三角形的概率为________．解析：∵直角三角形的斜边是圆的直径，而圆周上的10个等分点能组成5条直径，∴直角三角形的个数为5C＝40(个)．而每3个点能构成的三角形有C＝120(个)，∴所求概率为P＝＝.三、解答题：1．了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为，，,，,频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在之间的工人有6位．（Ⅰ）求；（Ⅱ）工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机的选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是多少？解：（Ⅰ）根据直方图可知产品件数在内的人数为，则（位）．（Ⅱ）根据直方图可知产品件数在，，组内的人数分别为2，4.设这2位工人不在同一组为A事件，则．2．一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600\n按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.（Ⅰ）求z的值.（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.3．为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B,C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B，C区中分别有18，27，18个工厂（Ⅰ）求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数；（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。解（Ⅰ）工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为，所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2.（Ⅱ）设为在A区中抽得的2个工厂，为在B区中抽得的3个工厂，为在C区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有：种，随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有，\n,同理还能组合5种，一共有11种。所以所求的概率为【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。4．（本小题满分12分）已知直线：，直线：，其中，．（Ⅰ）求直线的概率；（Ⅱ）求直线与的交点位于第一象限的概率．解：（本小题主要考查概率、解方程与解不等式等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（Ⅰ）直线的斜率，直线的斜率．设事件为“直线”．，的总事件数为，，…，，，，…，，…，，共36种．若，则，即，即．满足条件的实数对有、、共三种情形．所以．答：直线的概率为．（Ⅱ）设事件为“直线与的交点位于第一象限”，由于直线与有交点，则．联立方程组解得因为直线与的交点位于第一象限，则即解得．，的总事件数为，，…，，，，…，，…，，共36种．满足条件的实数对\n有、、、、、共六种．所以．答：直线与的交点位于第一象限的概率为．5.某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.（Ⅰ）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为人,……………1分第3组的频率为,………2分频率分布直方图如右:………………………………5分（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:人,…………6分第4组:人,…………7分第5组:人,…………8分所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。（Ⅲ）设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为,第5组的1位同学为,则从六位同学中抽两位同学有15\n种可能如下:，，，，，…10分其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的有:9中可能,……11分所以其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为………12分6.某市教育局规定：初中升学须进行体育考试，总分30分，成绩计入初中毕业升学考试总分，还将作为初中毕业生综合素质评价“运动和健康”的实证材料．为了解九年级学生的体育素质，某校从九年级的六个班级共420名学生中按分层抽样抽取60名学生进行体育素质测试．（Ⅰ）若九(1)班现有学生70人，按分层抽样，求九(1)班应抽取学生多少人？（Ⅱ）如图是九年级(1)、(2)班所抽取学生的体育测试成绩的茎叶图，根据茎叶图估计九(1)、九(2)班学生体育测试的平均成绩；（Ⅲ）已知另外四个班级学生的体育测试的平均成绩：17．3,16.9,18.4,19.4.若从六个班级中任意抽取两个班级学生的平均成绩作比较，求平均成绩之差的绝对值不小于1的概率．【考点预测】2022高考预测预测2022年高考中，本节的内容还是一个重点考查的内容，因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，排列、组合、概率、统计都将是重点考查内容，至少会考查其中的两种类型。（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。复习建议在复习中，要注意理解变量的多样性，深化函数的思想方法在实际问题中的应用，充分注意一些概念的实际意义，理解概率中处理问题的基本思想方法，掌握所学概率知识的实际应用.1.把握基本题型\n应用本章知识要解决的题型主要分两大类：一类是古典概型、几何概型等基本概率的求法；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体，特别是频率分布表与频率分布直方图、平均数与方差等.作为本章知识的一个综合应用，教材以实习作业作为一节给出，应给予足够的重视.2.强化双基训练主要是培养扎实的基础知识，迅捷准确的运算能力，严谨的判断推理能力.3.强化方法选择特别在教学中要掌握思维过程，引导学生发现解决问题的方法，达到举一反三的目的，还要进行题后反思，使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、网络化的有机体系.4.培养应用意识要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验，找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练，以培养利用所学知识解决实际问题的能力.【母题特供】母题一：金题引路：相关人员数抽取人数公务员32教师48自由职业者644某地为了建立幸福指标体系，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）．⑴求研究小组的总人数；⑵若从研究小组的公务员和教师中随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人来自公务员的概率．解：⑴依题意，，解得，研究小组的总人数为（人）（或）⑵设研究小组中公务员为、，教师为、、，从中随机选人，不同的选取结果有：、、、、、、、、、……8分，共种，其中恰好有1人来自公务员的结果有：、、、、、……10分，共种，所以恰好有1人来自公务员的概率为．母题二：金题引路：\n某班主任统计本班50名学生放学回家后学习时间的数据，用条形图表示（如图）。(1)求该班学生每天在家学习时间的平均值；(2)该班主任用分层抽样方法（按学习时间分五层）选出10个学生谈话，求在学习时间为1个小时的学生中选出的人数；(3)假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率.解：（1）平均学习时间为小时4分（2）7分（3）设甲开始学习的时刻为，乙开始学习的时刻为，试验的全部结果所构成的区域为，面积.事件A表示“22时甲、乙正在学习”，所构成的区域为，面积为，这是一个几何概型，所以12分o母题四：金题引路：随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;（Ⅱ）计算甲班的样本方差（Ⅲ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.\n母题五：金题引路：为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；[（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，还喜欢打羽毛球，还喜欢打乒乓球，还喜欢踢足球，现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的8位女生中各选出1名进行其他方面的调查，求和不全被选中的概率．下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)列联表补充如下：----------3分喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生２０５２５\n女生１０１５２５合计３０２０５０（2）∵∴有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关.（3）从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下：，，，，，，，基本事件的总数为18，用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，由于由,3个基本事件组成，所以由对立事件的概率公式得.