2022版高考数学 3-2-1精品系列 专题11 概率与统计 理

2022版高考数学3-2-1精品系列专题11概率与统计理（教师版）【考点定位】2022考纲解读和近几年考点分布（3）变量的相关性　①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.概率（1）事件与概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.②了解两个互斥事件的概率加法公式.（2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式.　　②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.（3）随机数与几何概型　　①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.　　②了解几何概型的意义.概率与统计　（1）概率①理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.　②理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.　　③了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.　④理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.⑤利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.\n（2）统计案例　了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.　（1）独立性检验　了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.　（2）回归分析　了解回归的基本思想、方法及其简单应用.概率与统计问题是每年高考必考内容.理科考查等可能事件的概率计算公式,互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概率乘法公式,事件在n次独立重复试验种恰好发生k次的概率计算公式、离散型随机变量分布列和数学期望、方差等基本公式的应用，‘试题多为课本例题,习题拓展加工的基础题或中档题.只要我们理解和掌握五个概率公式及其应用,夯实基础,借助排列组合知识和化归转化思想方法,就能顺利解答高考概率与统计试题.最多的概率与统计问题的分值占整个卷面分值的12%，且本部分题多为中低档题。从而可以看出近几年高考中概率与统计所占地位的重要性。【考点pk】名师考点透析考点一、随机事件的概率例1：某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：（I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；解：（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为．（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为．【名师点睛】等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是.如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P（A）=.使用公式P（A）=计算时,确定m、n的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏.求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步骤：（1）先确定一次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少，即求出A.（2）再确定所研究的事件A是什么,事件A包括结果有多少,即求出m\n.（3）应用等可能性事件概率公式P=计算.例2：设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【名师点睛】判断是否是几何概型，关键要判断试验的结果是不是无限个，每个试验的结果是不是等可能的。考点二互斥事件有一个发生的概率例3：例3：某市有A、B两所示范高中响应政府号召，对该市甲、乙两个教育落后地区开展支教活动．经上级研究决定：向甲地派出3名A校教师和2名B校教师，向乙地派出3名A校教师和3名B校教师．由于客观原因，需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区．（Ⅰ）求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率；（Ⅱ）求互换后A校教师派往甲地区人数不少于3名的概率．解：（Ⅰ）记“互换后派往两地区的两校的教师人数不变”为事件E，有以下两种情况：①互换的是A校的教师，记此事件为，则；②互换的是B校的教师，记此事件为，则．则互换后派往两地区的两校的教师人数不变的概率为．（Ⅱ）令“甲地区A校教师人数不少于3名”为事件F，包括两个事件：“甲地区A校教师人数有3名”设为事件；“甲地区A校教师人数有4名”设为事件，且事件、互斥．则；．甲地区A校教师人数不少于3名的概率为【名师点睛】事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P（）=1.当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（）.对于n个互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式为P（A1+A2+…\n+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）.概率加法公式仅适用于互斥事件，即当A、B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），否则公式不能使用.如果某事件A发生包含的情况较多，而它的对立事件（即A不发生）所包含的情形较少，利用公式P（A）=1－P（）计算A的概率则比较方便.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.考点三、相互独立事件同时发生的概率例4：例4：一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分。没有击中记分0分，每次击中目标的概率乙每击中目标一次记20分，没有击中记0分，每次击中目标的概率为（I）求此人得20分的概率；（II）求甲乙两人得分相同的概率。【名师点睛】事件A与B的积记作A·B，A·B表示这样一个事件，即A与B同时发生.当A和B是相互独立事件时，事件A·B满足乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），还要弄清·，的区别.·表示事件与同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即，因此有·≠，但·=.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A与B来说，才能运用公式P（A·B）=P（A）·P（B）..在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A和事件B互相独立时，才有P（A·B）=P（A）·P（B）.A、B中至少有一个发生：A+B.（1）若A、B互斥：P（A+B）=P（A）+P（B），否则不成立.（2）若A、B相互独立（不互斥）.法一：P（A+B）=P（A·B）+P（A·）+P（·B）；法二：P（A+B）=1－P（·）；法三：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）.某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化n次独立重复试验中某事件发生k次的概率Pn（k）=Cpk（1－p）n－k正好是二项式［（1－p）+p］n的展开式的第k+1项.考点四、离散型随机变量的分布列例5：在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）\n求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为，求随机变量的分布列和期望.【名师点睛】1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，它常用希腊字母ξ、η等表示.（1）离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量.（2）若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量.2.离散型随机变量的分布列（1）概率分布（分布列）.设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，xi，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率P（ξ=xi）=pi，则称表ξx1x2…xi…Pp1p2…pi…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.（2）二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P（ξ=k）=Cpkqn－k.其中k=0，1，…，n，q=1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPCp0qnCp1qn－1…Cpkqn－k…Cpnq0我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n，p），其中n、p为参数，并记Cpkqn－k=b（k；n，p）.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率和.求离散型随机变量的分布列必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率.求一些离散型随机变量的分布列，在某种程度上就是正确地求出相应的事件个数，即相应的排列组合数，所以学好排列组合是学好分布列的基础与前提.考点五、离散型随机变量的期望与方差例6：2022年3月11日日本发生9.0级地震后，某国派遣了由9名医护人员和27名搜救人员组成的救援队到日本救援，谁知日本福岛核电站连续爆炸，使该救援队的医护人员和的搜救人员遭轻微核辐射.（Ⅰ）在该救援队中随机抽查3名救援队员，求恰有1\n名遭轻微核辐射的医护人员且至多1名遭轻微核辐射的搜救人员的概率；（Ⅱ）在该救援队中随机抽查3名医护人员，设其中遭轻微核辐射的人数为随机变量，求的分布列及数学期望．解：（I）设“所抽查的3人中，恰有1名遭轻微核辐射的医护人员，至多1名遭轻微核辐射的搜救人员”为事件，“所抽查的3人中，恰有1名遭轻微核辐射的医护人员，0名遭轻微核辐射的搜救人员”为事件，“所抽查的3人中，恰有1名遭轻微核辐射的医护人员，1名遭轻微核辐射的搜救人员，1名正常的救援队员”为事件．则…4分．∴在该救援队中随机抽查3名救援队员，恰有1名遭轻微核辐射的医护人员且至多1名遭轻微核辐射的搜救人员的概率是（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3．,，，（每个1分）．的分布列为：0123　　　∴．【名师点睛】1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑xipi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.2.方差：称Dξ=∑（xi－Eξ）2pi为随机变量ξ的均方差，简称方差.叫标准差，反映了ξ的离散程度.3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）.（2）若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）.对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率.考点六、抽样方法、总体分布的估计例7：为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2．表1:男生身高频数分布表\n表2：:女生身高频数分布表（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；（2）估计该校学生身高在的概率；（3）从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190cm之间的概率。解：（1）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400．频率分布直方图如右图示：（2）由表1、表2知，样本中身高在的学生人数为：5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70，所以样本中学生身高在的频率-故由估计该校学生身高在的概率．（3）样本中身高在180185cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④样本中身高在185190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥从上述6人中任取2人的树状图为：故从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率．【名师点睛】1.简单随机抽样：一般地，设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.2.分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.分层抽样的步骤：（1）分层；（2）按比例确定每层抽取个体的个数；（3）各层抽样（方法可以不同）；（4）汇合成样本.3.总体：在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.\n4.频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.解决总体分布估计问题的一般程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除以组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率（频率=）；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估计.【三年高考】10、11、12高考试题及其解析12高考试题及其解析一、选择题．（2022年高考（辽宁理））在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形,领边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为（　　）A．B．C．D．．（2022年高考（湖北理））如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（　　）A．B．C．D．【解析】令,扇形OAB为对称图形,ACBD围成面积为,围成OC为,作对称轴OD,则过C点.即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积,.在扇形OAD中为扇形面积减去三角形OAC面积和,,,扇形OAB面积,选A.．（2022年高考（广东理））(概率)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是（　　）\nA．B．C．D．【解析】:两位数共有90个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个,个位数为0的有5个,所以概率为.．（2022年高考（北京理））设不等式组表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（　　）A．B．C．D．【解析】题目中表示的区域表示正方形区域,而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此,故选D【考点定位】本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公式、概率.．（2022年高考（上海理））设,.随机变量取值、、、、的概率均为0.2,随机变量取值、、、、的概率也为0.2.若记、分别为、的方差,则（　　）A．>.B．=.C．<.D．与的大小关系与、、、的取值有关.【解析】=t,++++)=t,++++];记,,,,同理得,只要比较与有大小,\n,所以,选A.[评注]本题的数据范围够阴的,似乎为了与选项D匹配,若为此范围面困惑,那就中了阴招!稍加计算,考生会发现和相等,其中的智者,更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值,故比第一组更“集中”、更“稳定”,根据方差的涵义,立得>而迅即攻下此题.二、填空题．（2022年高考（上海理））三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示).【解析】设概率则,求k,分三步:①选二人,让他们选择的项目相同,有种;②确定上述二人所选择的相同的项目,有种;③确定另一人所选的项目,有种.所以,故.．（2022年高考（上海春））某校要从名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).【解析】．（2022年高考（江苏））现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____.【解析】∵以1为首项,为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是.．（2022年高考（新课标理））某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________\n【解析】使用寿命超过1000小时的概率为三个电子元件的使用寿命均服从正态分布得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为三、解答题．（2022年高考（天津理））现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:(Ⅲ)用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.【解析】依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件,则.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为.[(2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件,则,由于与互斥,故所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)的所有可能的取值为,由于与互斥,与互斥,故所以的分布列为024\n随机变量的数学期望.【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点,近年来都通过概率问题来考查,且常考常新,对于此类考题,要注意认真审题,从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型,独立事件、互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应用性问题,理解是基础,转化是关键.．（2022年高考（新课标理））某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进枝玫瑰花,求当天的利润(单位:元)关于当天需求量(单位:枝,)的函数解析式.(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进枝玫瑰花,表示当天的利润(单位:元),求的分布列,数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.【解析】(1)当时,当时,得:(2)(i)可取,,的分布列为，(ii)购进17枝时,当天的利润为，得:应购进17枝．（2022年高考（浙江理））\n已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)求X的数学期望E(X).【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点.(Ⅰ)X的可能取值有:3,4,5,6.;;;.故,所求X的分布列为X3456P(Ⅱ)所求X的数学期望E(X)为:E(X)=.．（2022年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.(Ⅰ)求甲获胜的概率;(Ⅱ)求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望【解析】设分别表示甲、乙在第次投篮投中,则,,\n综上知,有分布列123从而,(次)【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式.．（2022年高考（四川理））某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和,系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和.(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求的值;(Ⅱ)设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望.【解析】(1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1-P(C)=1-P=,解得P=4分(2)由题意,P(=0)=，P(=1)=P(=2)=，P(=3)=\n所以,随机变量的概率分布列为:0123P故随机变量X的数学期望为:E=0.[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.．（2022年高考（陕西理））某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求的分布列及数学期望.【解析】(1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1-P(C)=1-P=,解得P=4分(2)由题意,P(=0)=，P(=1)=P(=2)=，P(=3)=所以,随机变量的概率分布列为:0123P故随机变量X的数学期望为:E=0.[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.:设表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得的分布列如下:123450.10.40.30.10.1(1)表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A对应三种情形:\n①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以(2)解法一所有可能的取值为，对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以，对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟.所以，对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,所以所以的分布列为0120.50.490.01解法二所有可能的取值为，对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以，对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,所以，所以的分布列为0120.50.490.01．（2022年高考（山东理））先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;(Ⅱ)求该射手的总得分的分布列及数学期望.【解析】:(Ⅰ);(Ⅱ)\n,X012345PEX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.．（2022年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;[将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望和方差.附:\n【解析】(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下:由2×2列联表中数据代入公式计算,得:因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为,由题意,,从而X的分布列为:【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望和方差,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键.．（2022年高考（江西理））如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V的分布列及数学期望.\n【解析】(1)从6个点中随机地选取3个点共有种选法,选取的3个点与原点O在同一个平面上的选法有种,因此V=0的概率(2)V的所有可能值为,因此V的分布列为V0P由V的分布列可得:EV=【点评】本题考查组合数,随机变量的概率,离散型随机变量的分布列、期望等.高考中,概率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体,考查统计学中常见的数据特征:如平均数,中位数,频数,频率等或古典概型;二、以应用题为载体,考查条件概率,独立事件的概率,随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查.．（2022年高考（江苏））设为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,.(1)求概率;(2)求的分布列,并求其数学期望.【解析】(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰有3条棱,∴共有对相交棱.∴.(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,∴,.∴随机变量的分布列是:01∴其数学期望.\n．（2022年高考（湖南理））某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)302510结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(Ⅰ)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2钟的概率.(注:将频率视为概率)【解析】(1)由已知,得所以该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得的分布为X11.522.53PX的数学期望为.(Ⅱ)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2钟”,为该顾客前面第位顾客的结算时间,则.由于顾客的结算相互独立,且的分布列都与X的分布列相同,所以.故该顾客结算前的等候时间不超过2钟的概率为.【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%知\n从而解得,计算每一个变量对应的概率,从而求得分布列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得该顾客结算前的等候时间不超过2钟的概率.．（2022年高考（湖北理））根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:降水量X工期延误天数02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求:(Ⅰ)工期延误天数的均值与方差;(Ⅱ)在降水量X至少是的条件下,工期延误不超过6天的概率.【解析】(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有:,..所以的分布列为026100.30.40.20.1于是,;.故工期延误天数的均值为3,方差为.(Ⅱ)由概率的加法公式,又.由条件概率,得.故在降水量X至少是mm的条件下,工期延误不超过6天的概率是.．（2022年高考（广东理））(概率统计)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:\nSKIPIF1<0、、、、、.(Ⅰ)求图中的值;(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望.【解析】(Ⅰ)由,解得.(Ⅱ)分数在、的人数分别是人、人.所以的取值为0、1、2.,,,所以的数学期望是.．（2022年高考（福建理））受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计书数据如下:品牌甲乙首次出现故障时间年轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)123\n将频率视为概率,解答下列问题:(I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;(II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为,生产一辆乙品牌轿车的利润为,分别求的分布列;(III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.【解析】:(1)设“品牌轿车甲首次出现故障在保修期内”为事件,则.(2)依题意的分布列分别如下:123(3)由(2)得,所以应生产甲品牌的轿车.．（2022年高考大纲理）乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为,各次发球的胜负结果相互独立,.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(2)表示开始第4次发球时乙的得分,求的期望.【解析】:记为事件“第i次发球,甲胜”,i=1,2,3,则，.(Ⅰ)事件“开始第次发球时,甲、乙的比分为比”为,由互斥事件有一个发生的概率加法公式得.即开始第次发球时,甲、乙的比分为比的概率为0.352(Ⅱ)由题意.;\n=0.408;;所以【点评】首先从试题的选材上来源于生活,同学们比较熟悉的背景,同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用,以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情景比较亲切,容易入手,但是在讨论情况的时候,容易丢情况.．（2022年高考（北京理））近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,其中,.当数据的方差最大时,写出的值(结论不要求证明),并求此时的值.(注:方差,其中为的平均数)【解析】(1)由题意可知:(2)由题意可知:(3)由题意可知:,因此有当,,时,有.【考点定位】此题的难度集中在第三问,其他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不要求证明,即不要求说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻.．（2022年高考（安徽理））某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道类试题和一道类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有道试题,其中有道类型试题和道类型试题,以表示两次调题工作完成后,试题库中类试题的数量.(Ⅰ)求的概率;(Ⅱ)设,求的分布列和均值(数学期望).\n答:(Ⅰ)的概率为(Ⅱ)求的均值为11年高考试题及解析1、（陕西理10）．甲乙两人一起去“2022西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】：各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览有种，且等可能，最后一小时他们同在一个景点有种，则最后一小时他们同在一个景点的概率是，故选D2、（江苏5）.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______答案：解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。3、（广东理6）.甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A.B.C.D.\n【解析】D.由题得甲队获得冠军有两种情况，第一局胜或第一局输第二局胜，所以甲队获得冠军的概率所以选D.4、（浙江理9）.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（A）（B）（C）（D）5、（浙江理15）.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记为该毕业生得到面试得公司个数。若，则随机变量的数学期望【答案】【解析】：，的取值为0，1，2，3，，故6、（课标卷理4）.有三个兴趣小组，甲乙两个同学各自参加其中一个小组、每个同学参加各小组可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）ABCD7、（湖南理15）.如图4，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“\n豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）;（2）.解析：（1）是几何概型：；（2）是条件概率：.评析：本小题主要考查几何概型与条件概率的计算.8、（湖北理5）．已知随机变量服从正态分布，且，则A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2解析：由正态分布规律可知，则，故，所以选C.9、（湖北理7）．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连成一个系统.当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576解析：系统正常工作概率为，所以选B.10、（湖北理12）.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为（结果用最简分数表示）解析：因为30瓶饮料中未过期饮料有30-3=27瓶，故其概率为.11、（福建理4）.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于A.B.C.D.\n12、（福建理13）.何种装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。【解析】：随机取出2球有，取出的2个球颜色不同有，所取出的2个球颜色不同的概率13、（辽宁理5）.从1.2.3.4.5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B︱A)=（）(A)(B)(C)(D)解析：由题意，P(A)=,P(AB)=,故P(B︱A)=.14、(辽宁理14).调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：=0.254x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_______万元.15、（北京理6）.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是A.75，25B.75，16C.60，25D.60，1616、（天津理9）．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________\n【答案】12【解析】本题考查分层抽样,由题意知,抽取比例为,所以抽取男运动员的人数为.17、（江西理6）.变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5);变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则A.B．C．D．【解析】由数据可以看出变量Y与X之间是正相关,变量V与U之间是负相关,所以,选C.18、（江西理12）.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为【解析】小波周末不在家看书包含两种情况:一是去看电影;二是去打篮球;所以小波周末不在家看书的概率为.19、（重庆理13）.将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为解析：。硬币投掷6次，有三类情况，①正面次数比反面次数多；②反面次数比正面次数多；③正面次数而后反面次数一样多；，③概率为，①②的概率显然相同，故①的概率为20、（陕西理9）．设，，，是变量x和y的n个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（A）x和y相关系数为直线l的斜率\n（B）x和y的相关系数在0到1之间（C）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同（D）直线过点22、（四川理1）.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5)2[15.5,19.5)4[19.5，23．5)9[23.5,27.5)18[27.5，31.5)1l[31.5，35.5)12[35.5．39.5)7[39.5,43.5)3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是()(A)(B)(C)（D）解析：大于或等于31.5的数据所占的频数为12+7+3=22，该数据所占的频率约为.23、（广东理13）.某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm.【解析】24、（山东理7）.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：\n广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(A)63.6万元(B)65.5万元(C)67.7万元(D)72.0万元【解析】由表可计算,,因为点在回归直线上,且为9.4，所以,解得,故回归方程为,令x=6得65.5,选B.25、（湖南理4）.通过随即询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得，.附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是A.在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B.在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C.由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”\n26、（上海理9）.马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案。解析：令则，27、（上海理12）随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是（默认每月天数相同，结果精确到）。解析：取9个同学不在同一月出生的概率，至少有2个同学在同一月出生的概率是28、（全国理18).(本小题满分12分)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求的期望。【解析】：设该车主购买乙种保险的概率为，由题：，解得（Ⅰ）设所求概率为，则故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率为0.8.(Ⅱ)甲乙两种保险都不购买的概率为1-0.8=0.2.设甲乙两种保险都不购买的车主数为，则B（100，0.2），答：该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率为0.8,的期望值是20。29、（四川理18）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有人独立来该租车点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上\n且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时.（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望；30、（山东理18）.（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.【解析】（Ⅰ）红队至少两名队员获胜的概率为=0.55.（Ⅱ）取的可能结果为0,1,2,3,则=0.1;++=0.35;=0.4;=0.15.所以的分布列为0123\nP0.10.350.40.15数学期望=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.31、（天津理16）.（本小题满分13分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在一次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.【解析】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件,则.（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B,则B=,又,且互斥,所以.（Ⅱ）由题意可知的所有可能取值为0,1,,2,P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,所以的分布列是012P的数学期望=+=.32、（江西理16）.某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则云工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的倍数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.（1）求X的分布列（2）求此员工月工资的期望\n所以新录用员工月工资的期望为2280元.33、（重庆理17）.（本小题满分13分。（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问8分.）某市公租房房屋位于A.B.C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中:（Ⅰ）若有2人申请A片区房屋的概率;（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的分布列与期望。解析：（Ⅰ）所有可能的申请方式有种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为（Ⅱ）的所有可能值为1,2,3.又，，综上知，的分布列为：123从而有34、（陕西理20）.（本小题满分13分）如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：\n时间（分钟）的频率0.10.20.30.20.2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望。（Ⅰ）知又由题意知，A，B独立，X的分布列为X012P0.040.420.5435、（广东理17）.（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345X169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；\n（2）当产品中的微量元素x，y满足≥175且y≥75，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.【解析】（1）由题得所以乙厂生产的产品数量为35件。（2）由题得乙厂生产的优等品的数量为件。（3）由题得所以随机变量的分布列为012P所以随机变量的均值=36、（课标卷理19）.（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组频数82042228B配方的频数分布表指标值分组频数41242328（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为\n从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）分析：利用统计数据和概率的意义求概率；由已知的利润函数为随机变量的值和相应的概率求数学期望。解：（Ⅰ）由试验结果知：使用A配方生产的优质品的概率为；使用B配方生产的优质品的概率为(Ⅱ)使用B配方生产的产品中，质量指标落入在区间的频率分别是0.04,0.54,0.42，因此，利润X的概率分布为：X-224P0.040.540.42所以，X的数学期望是点评：本题考查概率和统计的相关内容，主要把握统计的结果对应的是随机变量及其概率，运用概念求解，避免理解上的偏差。37、（湖南理18）.（本小题满分12分）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变）.设某天开始营业时由该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货.将频率视为概率.求当天商店不进货的概率；记为第二天开始营业时该商品视为件数，求的分布列和数学期望.\n由题意知，的可能取值为2，3.++故的分布列为所以的数学期望为.评析：本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法.求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法，以及互斥事件概率的求法.38、（福建理19）.（本小题满分13分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：5678P0.4ab0.1且的数字期望=6，求a，b的值；（II）为分析乙厂产品的等级系数X2\n，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望.（Ⅲ）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：（1）产品的“性价比”=；（2）“性价比”大的产品更具可购买性.【解析】：本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识、考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。解：（I）因为，所以，即又由的概率分布列得，即由解得（II）由已知得，样本的频率分布表如下：3456780．30．20．20．10．10．1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下：3456780．30．20．20．10．10．1所以=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8。（Ⅲ\n）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为=1，因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为=1.2据此，乙厂的产品更其可购买性。39、（辽宁理19）.（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据x1，x2，…，xa的样本方差，其中为样本平均数.解析：（I）X可能的取值为0,1,2,3,4,且即X的分布列为X01234PX的数学期望是：.（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：，.品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：，，\n由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.40、（北京理17）.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。（1）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望。（注：方差，其中为，，…，的平均数）【解析】：（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=同理可得所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021P==1941、（安徽理20）.（本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有\n高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；（Ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，所需派出人员数目的分布列为123P所需派出人员数目的均值（数字期望）是（Ⅲ）（方法一）由（Ⅱ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人时，所需派出人员数目的均值（数字期望）是按常理，优先派完成任务概率大的人，可减少所需派出人员的数目的均值。下面证明：对于的任意组合，都有…（＊）\n事实上△====所以（＊）式成立。（方法二）（i）可将（Ⅱ）中改写为，若交换前两人的顺序，则变为，由此可见，当时，交换前两人的顺序可减少所需派出人员的数目的均值。（ii）也可将（Ⅱ）中改写为，若交换后两人的顺序则变为，由此可见，保持第一个人不变，当时，交换后两人的顺序可减少所需派出人员的数目的均值。组合（i）（ii）可知，当时达到最小，即优先派完成任务概率大的人，可减少所需派出人员的数目的均值，这一结论也合乎常理。2022高考试题及解析一、选择题1.(2022年高考湖北卷理科4)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰于向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是A.B.C.D.【答案】C【解析】因为事件A，B中至少有一件发生与都不发生互为对立事件，故所求概率为，选C。2.(2022年全国高考宁夏卷6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（A）100（B）200（C）300（D）400【答案】B\n解析：根据题意显然有，所以，故．3．（2022年高考江西卷理科11）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测.方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为和.则A．B．C．D．以上三种情况都有可能【答案】B4．（2022年高考辽宁卷理科3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（A）(B)(C)(D)【答案】B5．（2022年高考山东卷理科5）已知随机变量Z服从正态分布N（0，）,若P(Z>2)=0.023,则P(-2≤Z≤2)=(A)0.477(B)0.625(C)0.954(D)0.977【答案】C【解析】因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于直线对称,又,所以,所以0.954,故选C.【命题意图】本题考查正态分布的基础知识,掌握其基础知识是解答好本题的关键.6．（2022年高考山东卷理科6）样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,,若该样本的平均值为1，则样本方差为(A)(B)(C)(D)2【答案】D【解析】由题意知,解得,所以样本方差为\n=2,故选D.【命题意图】本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差,属基础题,熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键.7.(2022年高考数学湖北卷理科6）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样疗法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第1营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次为A．26,16,8B.25,17,8C.25,16,9D.24,17,9【答案】B【解析】8．（2022年广东理7）已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且=0.6826，则p（X>4）=（）A、0.1588B、0.1587C、0.1586D0.1585【答案】B【解析】=0.3413，=0.5-0.3413=0.1587．二、填空题：1．（2022年福建理13）某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于。【答案】0.128【解析】【命题意图】2．（2022年安徽理15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和\n表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。①；②；③事件与事件相互独立；④是两两互斥的事件；⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关【解析】②④,易见是两两互斥的事件，而。【方法总结】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键.本题在是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化，可知事件B的概率是确定的.3.(2022年湖北理14）某射手射击所得环数的分布列如下：已知的期望，则y的值为．【答案】0.4【解析】由表格可知：联合解得.4.(2022年高考湖南卷理科11)在区间上随机取一个数x，则≤1的概率为________.【答案】【解析】P（≤1）＝【命题意图】本题考察几何概率，属容易题。5.(2022年安徽理15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和\n表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。①；②；③事件与事件相互独立；④是两两互斥的事件；⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关6．（2022年江苏3）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__.【答案】[解析]考查古典概型知识。7.(2022年全国高考宁夏卷13）设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间上的均匀随机数和，由此得到N个点，再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为。【答案】解析：的几何意义是函数的图像与轴、直线和直线所围成图形的面积，根据几何概型易知．8．（2022年陕西理13）从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为.\n【解析】本题属于几何概型求概率，∵，，∴所求概率为.9．（2022年高考上海市理科6）随机变量的概率分布率由下图给出：则随机变量的均值是【答案】8.210．（2022年上海理9）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（AB）=（结果用最简分数表示）【答案】11.(2022年重庆理13)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________．【答案】解析：由得12．（2022年上海春9)连续掷两次骰子，出现点数之和等于4的概率为（结果用数值表示）答案：。解析：点数和为的结果为（1，3），（2，2），（3，1）共3个，而总的试验结果为36个，由古典概型概率计算公式可得。13.(2022年天津理11)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示下图，中间一列的数字表示零件个数，两边的数字表示零件个数的位数。则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为和。【答案】24，23【解析】甲加工零件的平均数为=24；\n乙加工零件的平均数为。【命题意图】本题考查茎叶图的基础知识，属容易题。14.(2022年湖南理9)已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是_____g.15．（2022年高考江苏卷试题4）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。【答案】30[解析]考查频率分布直方图的知识。100×（0.001+0.001+0.004）×5=3016．（2022年北京理11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝。若要从身高在[120,130），[130，140),[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为。【答案】0.030;3【解析】由各个小组的频率之和为1，可得a=0.030;而三组身高区间的人数比为3:2:1，由分层抽样的原理不难得到140-150区间内的人数为3人。17．（2022年上海春高考6)某社区对居民进行上海世博会知晓情况的分层抽样调查。已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人。若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是。答案：80。解析：由题可知抽取的比例为，故中年人应该抽取人数为。三、解答题：1．（2022年山东理20）（本小题满分12分）某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有四个问题，规则如下：每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题\n分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；（Ⅱ）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学的.（Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件,则由于每题答题结果相互独立，因此（Ⅱ）由题意，随机变量的可能取值为：.由于每题答题结果相互独立，所以,\n因此随机变量的分布列为123P所以.【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。2．（2022年福建理16）（本小题满分13分）设是不等式的解集，整数。（1）记使得“成立的有序数组”为事件A，试列举A包含的基本事件；（2）设，求的分布列及其数学期望。【命题意图】本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想。【解析】（1）由得，即，由于整数且，所以A包含的基本事件为。（2）由于的所有不同取值为所以的所有不同取值为，且有，，，，故的分布列为0149P所以=。3.(2022年天津理18)(本小题满分12分)某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。(Ⅰ)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率：(Ⅱ)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率：(Ⅲ\n)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列。【命题意图】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为=，所以的分布列01236P4.（2022年安徽理21）（本小题满分13分）\n品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述。(Ⅰ)写出的可能值集合；(Ⅱ)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列；(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。本题考查离散型随机变量及其分布列，考查在复杂场合下进行计数的能力.通过设置密切贴近生产、生活实际的问题情境，考查概率思想在现实生活中的应用，考查抽象概括能力、应用与创新意识.容易举出使得的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子.(Ⅱ)可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的的值，在等可能的假定下，得到02468(Ⅲ)(ⅰ)首先，将三轮测试都有的概率记作，由上述结果和独立必假设，得.(ⅱ)由于是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.5．（2022年广东理17）(本\n小题满分12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,，（495,，…（510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．【解析】（1）重量超过505克的产品数量是件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；，，，Y的分布列为（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为。6.（2022年高考全国卷I理科18）(本小题满分12分)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望．【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.【解析】(Ⅰ)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用.则D=A+B·C,===0.25+0.5×0.3=0.40.(Ⅱ)，其分布列为：\n期望.7．（2022年高考四川卷理科17）（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数的分布列及数学期望解：显然甲、乙、丙三位同学是否中奖独立，所以甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是：（2）0123[P=8．（2022年高考江苏卷试题22）（本小题满分10分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。[解析]本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。由此得X的分布列为：X1052-3P0.720.180.080.02（2）设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有件。由题设知，解得，又，得，或。所求概率为答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。9．（2022年陕西理19）\n（本小题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：m]（Ⅰ）估计该小男生的人数；(Ⅱ)估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；(Ⅲ)从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间的概率。解（Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。(Ⅱ)有统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率故有f估计该校学生身高在170~180cm之间的概率(Ⅲ)样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10，身高在170~180cm之间的人数为4。设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间”，则]或10．(2022年北京理17)(本小题共13分)某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0123(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求，的值；(Ⅲ)求数学期望ξ。解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知，\n，（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率，（II）由题意知整理得，由，可得，.（III）由题意知===11．（2022年江西理18）（本小题满分12分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令表示走出迷宫所需的时间．(1)求的分布列；(2)求的数学期望．解：（1）的所有可能取值为：1，3，4，6，，，，所以的分布列为：1346P（2）（小时）12．（2022年辽宁理18）（本小题满分12分）为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。[（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表\n（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.表3：解：（Ⅰ）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为……4分（Ⅱ）（i）图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。……8分（ii）表3：\n由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积有差异”。13．（2022年高考浙江卷理科19）（本题满分14分）如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖。（Ⅰ）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%。记随机变量ξ 为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量ξ 的分布列及期望Eξ ；（Ⅱ）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量  η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η=2). 本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。(Ⅰ)解：由题意得ξ的分布列为ξ50％70％90％P则Εξ=×50％+×70％+90％=.（Ⅱ）解：由(Ⅰ)可知，获得1等奖或2等奖的概率为+=.由题意得η～（3，）则P（η=2）=()2(1-)=.14．(2022年全国2理20）（本小题满分12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．\n[【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力.（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）15.(2022年重庆理17)(本小题满分13分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分．)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读传讲”赛出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：(Ⅰ)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(Ⅱ)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．【命题意图】本小题主要考查等可能事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力.其中第（2）问是课本上常见的类型题.【解析】（Ⅰ）设A表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则表示“甲、乙的序号为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得.\n（Ⅱ）的所有可能值为0，1，2，3，4，且，.从而知有分布列01234所以，.16．(2022年宁夏19）(本小题12分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：是否需要志愿性别男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附：解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为（2）。由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【两年模拟】2022名校模拟题及其答案【浙江省宁波四中2022届高三上学期第三次月考理】某校有师生2000名，从中随机抽取200名调查他们的居住地与学校的距离，其中不超过1000米的共有10人，不超过2000米共有30人，由此估计该校所有师生中，居住地到学校的距离在\n米的有_____________人【答案】200【浙江省宁波四中2022届高三上学期第三次月考理】随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则________【答案】【四川省宜宾市高中2022届高三调研理】设某气象站天气预报准确率为，则在4次预报中恰有3次预报准确的概率是(A)0.2876(B)0.0729(C)0.3124(D)0.2916【答案】D【四川省绵阳南山中学2022届高三九月诊断理】在含有30个个体的总体中，抽取一个容量为5的样本，则个体a被抽到的概率为　　A．　　　　B．　　　　　C．　　　　D．【答案】B【江西省赣州市2022届上学期高三期末】一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为A.B.C.D.【答案】D【江西省赣州市2022届上学期高三期末】一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子，苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是A.B.C.D.【答案】A【河南省郑州市2022届高三第一次质量预测】如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是\nA．B.C.D.【答案】D【安师大附中2022届高三第五次模拟】设随机变量，且，则实数的值为（）A．4　B．6　C．8　　D．10【答案】A【广东省江门市2022年普通高中高三调研测试】将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为，记第二次出现的点数为，向量，，则和共线的概率为A．B．C．D．【答案】B【湖北省武昌区2022届高三年级元月调研】在区间[—1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）与圆相交的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【四川省成都市双流中学2022届高三9月月考理】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第6,7,8层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为，用表示5位乘客在第8层下电梯的人数，则随机变量的期望=.【答案】【四川省德阳市2022届高三第一次诊断理】设函数，若a是从—1，0，1，2三数中任取一个，b是从1，2，3，4五数中任取一个，那么恒成立的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【四川省德阳市2022届高三第一次诊断理】已知随机变量若，那么【答案】0.48【陕西省长安一中2022届高三开学第一次考试理】如图，是以为圆心，半径为\n1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（1）；（2）【答案】;【安徽省皖南八校2022届高三第二次联考理】据报道，德国“伦琴”（ROSAT）卫星将在2022年10月23日某时落在地球的某个地方，砸中地球人的概率约为，为了研究中学生对这件事情的看法，某中学对此事进行了问卷调查，共收到2000份有效问卷，得到如下结果。对卫星撞地球的态度关注但不担心关注有点担心关注且非常关心不关注人数（人）1000500300则从收到的2000份有效问卷中，采用分层抽样的方法抽取20份，抽到的关注且非常担心的问卷份数为A、2B、3C、5D、10【答案】A【解析】非常担心的同学有2000－300－1000－500=200,故.【浙江省塘栖、瓶窑、余杭中学2022届高三上学期联考理】设随机变量X的分布列如下：若数学期望E(X)＝10，则方差D(X)＝【答案】45【湖北省武昌区2022届高三年级元月调研】在区间[—1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）与圆相交的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【西安市第一中学2022学年度第一学期期中】如图，用K、A1、A2\n三类不同的元件连成一个系统.当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为()A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576【答案】B【浙江省名校新高考研究联盟2022届第一次联考】甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为，则为()A．1B．C．2D．【答案】B【浙江省塘栖、瓶窑、余杭中学2022届高三上学期联考理】根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2022年3月15日至3月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为____．酒精含量频率组距0.020.0150.010.00502030405060708090100(mg/100ml)图1【答案】4320【2022湖北省武汉市部分学校学年高三新起点调研测试】右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损。则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．【答案】C\n【湖北省部分重点中学2022届高三起点考试】在区间上随机抽取一个数x,的值介于0和之间的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【江苏省南通市2022届高三第一次调研测试】在闭区间[－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是【答案】【南通2022届高三调研测试】若的方差为3，则的方差为．【答案】27【上海市南汇中学2022届高三第一次考试(月考)】一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球（9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，从袋中随机摸出3球，则摸出的3球中至少有一个是白球的概率为【答案】解答题1、甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ；（Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．【试题出处】2022年北京市石景山区高三一模理科数学【解析】（Ⅰ）的可能取值为：0，1，2，3．………1分的分布列如下表：0123…………4分．…………5分\n（Ⅱ）乙至多投中2次的概率为．………8分（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B1，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B2，则为互斥事件………10分．所以乙恰好比甲多投中2次的概率为…13分2、乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（Ⅰ）求甲以比获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于局的概率；（Ⅲ）求比赛局数的分布列.【试题出处】北京市西城区2022年高三一模试卷数学（理科）【解析】（Ⅰ）：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是．…1分记“甲以比获胜”为事件，则．………4分（Ⅱ）：记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件.因为乙以比获胜的概率为，6分乙以比获胜的概率为，…7分所以．………8分（Ⅲ）解：设比赛的局数为，则的可能取值为．，…9分，……10分，…11分．…12分比赛局数的分布列为：……13分3、某城市最近出台一项机动车驾照考试的规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9．（Ⅰ）求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的数学期望；（Ⅱ\n）求李明在一年内领到驾照的概率。【试题出处】北京市东城区普通校2022届高三3月联考试题数学（理）【解析】(1)的取值为1,2,3,4.……………2分,，……6分∴的分布列为：………………8分所以，.………10分（2）李明在一年内领到驾照的概率为：…13分4、甲、乙两同学进行投篮比赛，每一局每人各投两次球，规定进球数多者该局获胜，进球数相同则为平局.已知甲每次投进的概率为乙每次投进的概率为，甲、乙之间的投篮相互独立.(1)求甲、乙两同学进行一局比赛的结果不是平局的概率；(2)设3局比赛中，甲每局进两球获胜的局数为。求的分布列及数学期望.分布列为x0123P．5、一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的.评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”.某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求出该考生：（1）得60\n分的概率；（2）所得分数ξ的分布列和数学期望.【试题出处】山东省济南市2022届高三3月（二模）月考数学（理）试题【解析】（1）设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A，“有一道题可判ξ4045505560]P(ξ)…………10（3）Eξ=40×+（45+50）×+55×+60×=………12分6、今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：高一年级高二年级高三年级10人6人4人（I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；（II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望.【试题出处】北京市房山区2022年高三第一次模拟试题数学(理科)【解析】（I）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件，则答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为.…4分\n（II）解法1：的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为.………………………12分所以……………………13分解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为.…………………5分则随机变量服从参数为4，的二项分布，即～.……7分随机变量的分布列为：01234所以……………13分7、某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为，二等品率为；乙产品的一等品率为，二等品率为.生产件甲产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元；生产件乙产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元.两种产品生产的质量相互独立.（Ⅰ）设生产件甲产品和件乙产品可获得的总利润为（单位：万元），求的分布列；（Ⅱ）求生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率.\n.………6分由此得的分布列为：…………8分（Ⅱ）设生产的件甲产品中一等品有件，则二等品有件.由题设知，解得，又，得，或.……10分所求概率为.（或写成）答：生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率为.……13分8、某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）【试题出处】2022年北京市海淀区高三一模数学（理科）【解析】（Ⅰ）由直方图可得：.所以.……2分（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：，……………4分因为，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.……6分（Ⅲ）的可能取值为0，1，2，3，4.……7分由直方图可知，\n每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，,所以的分布列为：01234………………………………………12分.（或）所以的数学期望为1.……………13分9、甲、乙两班各派三名同学参加青奥知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分．假设甲班三名同学答对的概率都是，乙班三名同学答对的概率分别是，，，且这六个同学答题正确与否相互之间没有影响．（1）用X表示甲班总得分，求随机变量X的概率分布和数学期望；（2）记“两班得分之和是30分”为事件A，“甲班得分大于乙班得分”为事件B，求事件A，B同时发生的概率．【试题出处】南京市2022年届高三第二次模拟考试数学试卷【解析】（1）随机变量X的可能取值是0，10，20，30，且P(X＝0)＝C(1－)3＝，P(X＝10)＝C(1－)2＝，P(X＝20)＝C()2(1－)＝，P(X＝30)＝C()3＝．所以，X的概率分布为X0102030P…………………………3分随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋10×＋20×＋30×＝20．………5分（2）甲班得20分，且乙班得10分的概率是：\nC()2(1－)×[×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×]＝；甲班得30分，且乙得班0分的概率是：C()3×(1－)×(1－)×(1－)＝．所以事件A，B同时发生的概率为＋＝．…………10分10、已知一口袋中共有4只白球和2只红球（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．【试题出处】江苏省南通市2022届高三数学模拟试题【解析】（1）X的可能取值为4、5、6.P(X=4)=，P(X=5)=，P(X=6)=X的分布列为P456X5分(2)设“6次取球后恰好被停止”为事件A则6次取球后恰好被停止的概率为10分11、某学校为了准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位：cm），跳高成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”。鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队。（1）求甲队队员跳高成绩的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员共抽取5人，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少？（3）若从所有“合格”运动员中选取2名，用X表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望。【试题出处】河北省2022年普通高考模拟考试数学试题（理）\n………．．10分．………．．12分备注：一个概率1分，表格1分，共4分12、某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：日销售量11.52频数102515频率0.2（1）填充上表；（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列.【试题出处】东莞市2022届高三理科数学模拟试题(二)【解析】(1)求得0.50.3.……2分(2)①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率……3分设5天中该种商品有天的销售量为1.5吨，则～B（5,0.5）……4分……6分②的可能取值为4,5,6,7,8，则\n，，(每个1分)……11分的分布列:45678p0.040.20.370.30.09……12分13、甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7、8、9、10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下：射击环数频数频率7100.18100.190.451035合计1001射击环数频数频率780.18120.159100.35合计801甲运动员　　　　　　　乙运动员　若将频率视为概率，回答下列问题：（1）求表中，，的值及甲运动员击中10环的概率；（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率．（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，表示这3次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求的分布列及.\n（2）设甲运动员击中9环为事件，击中10环为事件，则甲运动员在一次射击中击中9环以上(含9环)的概率为，故甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上((含9环))的概率………8分（3）的可能取值是0,1,2,3，则，………12分所以的分布列是0123P0.010.110.40.48E＝0×0.01＋1×0.11＋2×0.4＋3×0.48＝2.35.…………14分14、为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重（单位：千克）情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图4），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12。(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中任选三人，设X表示体重超过60千克的学生人数，求X的分布列和数学期望。【试题出处】2022年广州一摸推荐高三调研测试题【解析】(1)设报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为pl、p2、p3，则……3分，解得……4分因为……3分，所以n=48……6分17.由(1)可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为……8分，所以……9分\n所以……11分随机变量X的分布列为：……13分则…14分15、2022年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：(Ⅰ)写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望【试题出处】2022年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学\n【解析】(Ⅰ)众数为22.5微克/立方米,中位数为37.5微克/立方米．……………4分（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为（微克/立方米）6分因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…8分（Ⅲ）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则.9分随机变量的可能取值为0,1,2.且.所以，……11分所以变量的分布列为012…………12分（天）,或（天）.………13分16、某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量的分布列和数学期望。【试题出处】2022年洛阳市示范高中联考高三理科数学试卷【解析】（I）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，则………………………………4分\n（II）的可能值得为0，1，2，3，4，5…………9分所以随机变量的分布列如下：012345………………………10分故………………………12分17、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者的年龄情况如下表所示：（1）频率分布表中的①、②处应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，再从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望。【试题出处】河南2022~2022学年度高三年级第一次模拟考试数学试题（理）【解析】(Ⅰ)①处填20，②处填0.35；…………………2分补全频率分布直方向图如图所示.……………………4分500名志愿者中年龄在［30，35)的人数为0.35×500=175人.……6分\n(Ⅱ)用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人.……7分故X的可能取值为0，1，2；P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,…………10分所以X的分布列为：X012P∴EX=0×＋1×＋2×=12.………………………12分18、现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：（I）根据以上统计数据填写下面2x2列联表，并回答是否有99%的把握认为月收入以5500元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异？（II）若从月收入在[15,25)，[25,35)的被调查对象中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购政策”人数为，求随机变量的分布列及数学期望【试题出处】安徽省马鞍山市2022届高三第二次教学质量检测数学理【解析】（Ⅰ）根据题目得2×2列联表：月收入不低于55百元人数月收入低于55百元人数合计赞成32\n不赞成18合计104050………2分假设月收入以5500为分界点对“楼市限购政策”的态度没有差异，根据列联表中的数据，得到：………4分假设不成立.所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异.…6分（Ⅱ）的可能取值有0,1,2,3.所以的分布列是0123P…………10分所以的期望值是……………12分19、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为，求的分布列与期望.下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.001\n2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：，其中)【试题出处】广东省韶关市2022届高三第一次调研考试数学（理）试题【解析】(1)列联表补充如下：----------------------------------------3分喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050（2）∵------------------------5分∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------6分（3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为.-------------------------7分20、甲、乙两同学进行下棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一个人比对方多2分或比满8局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．（I）如右图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分S，T的程序框图．其中如果甲获胜，输人a=l．b=0;如果乙获胜，则输人a=0，b=1．请问在①②两个判断框中应分别填写什么条件？（Ⅱ）求p的值；（Ⅲ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和试题出处】河南省2022年普通高中毕业班高考适应性测试数学试题（理）【解析】（Ⅰ）程序框图中的①应填，②应填.(注意：答案不唯一.)……………2分\n（Ⅱ）依题意得，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止.所以随机变量的分布列为2468P故.…………………………………12分2022名校模拟题及其答案一、选择题1（北京四中2022届高三上学期开学测试理科试题）一组抛物线，其中为2,4,6,8中任取的一个数，为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（）　　A．　　　B．　　　C．　　　D．答案B.2（成都市玉林中学2022—2022学年度）在重庆召开的“市长峰会”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A.B.C.D.答案C.3(福建省福州八中2022届高三文)在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆（图中阴影部分）中的概率是A．B．C．D．答案C.\n4（河北省唐山一中2022届高三文）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．答案B.5(广东省河源市龙川一中2022届高三理）在区间[0，]上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．答案C.6（湖南省长沙市第一中学2022届高三第五次月考理）形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为()A.B.C.D.解：当十位与千位是4或5时，共有波浪数为AA＝12个.当千位是5，十位是3时，万位只能是4，此时共有2个波浪数.当千位是3，十位是5时，末位只能是4.此时共有2个波浪数.故所求概率P＝＝.7（浙江省嘉兴一中2022届高三12月月考题文）国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后顺序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）答案B.8（浙江省温州市啸秋中学2022学年第一学期高三会考模拟试卷）抛掷两个骰子,则两个骰子点数之和大于4的概率为A．B．C．D．答案D.9（浙江省温州市啸秋中学2022学年第一学期高三会考模拟试卷）\n某人射击一次击中的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为A．B．C．D．答案A.二、填空题1（河南省郑州市四十七中2022届高三第三次月考文）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为________。答案76.202204012（2022嘉禾一中）某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10：8：7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率为0．2，则该单位青年职员的人数为____________．答案400，3（成都市玉林中学2022—2022学年度）某校有高中生1200人，初中生900人，老师120人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本；已知从初中生中抽取人数为60人，那么=。答案．148。解：4（江苏省泰州中学2022年高三文）如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则抽取的学生人数是.答案40.5(山东省实验中学2022届高三数学文理）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为_______.分数54321人数2010303010答案。6、（广东省深圳市2022年3月高三第一次调研理科）设随机变量，且，则实数的值为。\n【解析】，由得7．（广东省深圳市2022年3月高三第一次调研文科）某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）．为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在（元）段应抽出人．【解析】每个个体被抽入样的概率均为，在内的频率为0.0005×（3000－2500）＝0.25，频数为10000×0.25＝2500人，则该范围内应当抽取的人数为2500×＝25人.8(广东省佛山2022年2月联考理)一个总体分为A、B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为30的样本，已知B层中每个个体被抽到的概率都是，则总体中的个体数为360。9(广东省江门市2022年高考一模理科)已知，，，某次全市20000人参加的考试，数学成绩大致服从正态分布，则本次考试120分以上的学生约有500人．三、解答题1（浙江省杭州宏升高复学校2022届高三上学期第三次月考文）（本题14分）从装有编号分别为a,b的2个黄球和编号分别为c,d的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：(Ⅰ)第1次摸到黄球的概率；(Ⅱ)第2次摸到黄球的概率.解：(Ⅰ)第1次摸球有4个可能的结果：a，b，c，d，其中第1次摸到黄球的结果包括：a，b,故第1次摸到黄球的概率是.4分(Ⅱ)先后两次摸球有12种可能的结果：（a，b）（a，c）（a，d）（b，a）（b，c）（b，d）（c，a）（c，b）（c，d）（d，a）（d，b）（d，c），其中第2次摸到黄球的结果包括：（a，b）(b，a)（c，a）（c，b）（d，a）（d，b），故第2次摸到黄球的概率为.10分2（河北省唐山一中2022届高三文）(本题满分12分)\n甲、乙两位乒乓球选手，在过去的40局比赛中，甲胜24局.现在两人再次相遇.⑴打满3局比赛，甲最有可能胜乙几局，说明理由；⑵采用“三局两胜”或“五局三胜”两种赛制，哪种对甲更有利，说明理由.（注：计算时，以频率作为概率的近似值.“三局两胜”就是有一方胜局达到两局时，就结束比赛；“五局三胜”就是有一方胜局达到三局时，就结束比赛）解：比赛一局，甲胜的概率约为p=.……1分⑴甲胜k(k=0,1,2,3)局的概率为.……2分则，…5分因为甲P3(2)最大，所以甲最有可能胜两局；………6分⑵三局两胜制：甲胜的概率为P1=，………………8分五局三胜制：甲胜的概率为P2=，……11分因为P2>P1，所以采用“五局三胜制”对甲有利.……………12分3（浙江省桐乡一中2022届高三文）（本小题满分14分）某高校最近出台一项英语等级考试规定；每位考试者两年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取证书，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果小明决定参加等级考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.9，（1）求小明在两年内领到证书的概率；　（2）求在两年内小明参加英语等级考试次数的分布列和的期望．解：（1）小明在两年内领到证书的概率为P＝1－(1－0.5)(1－0.6)(1-0.7)(1－0.9)＝0.994.　（2）的取值分别为1，2，3，4.，表明小明第一次参加英语等级考试就通过了，故P（）=0.5.，表明小明在第一次考试未通过，第二次通过了，故ξ＝3，表明小明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故ξ＝4，表明小明第一、二、三次考试都未通过，故∴小明实际参加考试次数ξ的分布列为：ξ1234P0.50.300.140.06∴ξ的期望Eξ=1×0.5+2×0.30+3×0.14+4×0.06=1.76.4（浙江省杭州宏升高复学校2022届高三第一次模拟考试试题理）（本小题满分14分）某商场“十.一”期间举行有奖促销活动,顾客只要在商店购物满８00元就能得到一次摸奖机会.摸奖规则是:在盒子内预先放有5个相同的球,其中一个球标号是０，两个球标号都是４０，还有两个球没有标号。顾客依次从盒子里摸球，每次摸一个球（不放回），若累计摸到两个没有标号的球就停止摸球，否则将盒子内球摸完才停止.\n奖金数为摸出球的标号之和（单位：元），已知某顾客得到一次摸奖机会。（Ⅰ）求该顾客摸三次球被停止的概率；（Ⅱ）设（元）为该顾客摸球停止时所得的奖金数，求的分布列及数学期望.解（Ⅰ）记“顾客摸球三次被停止”为事件A，则（Ⅱ）5（2022嘉禾一中）（本小题满分12分）从甲地到乙地一天共有A、B两班车，由于雨雪天气的影响，一段时间内A班车正点到达乙地的概率为0．7，B班车正点到达乙地的概率为0．75。（1）有三位游客分别乘坐三天的A班车，从甲地到乙地，求其中恰有两名游客正点到达的概率（答案用数字表示）。（2）有两位游客分别乘坐A、B班车，从甲地到乙地，求其中至少有1人正点到达的概率（答案用数字表示）。解：（1）坐A班车的三人中恰有2人正点到达的概率为P3（2）=C0．72×0．31=0．441……（6分）（2）记“A班车正点到达”为事件M，“B班车正点到达冶为事件N则两人中至少有一人正点到达的概率为P=P（M·N）+P（M·）+P（·N）6（江苏泰兴2022届高三理）（本小题满分10分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=x3，f4（x）=sinx，f5（x）=cosx，f6（x）=2．（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．\n故ξ的分布列为Ξ1234P7（福建省三明一中2022届高三上学期第三次月考理）(本题满分13分)某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动。（1）求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；（2）求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；（3）记表示抽取的3名学生中男学生数，求的分布列及数学期望。解（1）抽取数学小组的人数为2人；英语小组的人数为1人；……2分（2）=；…5分（3），，，。的分布列为：\n8（广东省中山市桂山中学2022届高三第二次模拟考试文）(13分)今年国庆节期间,上海世博会中国馆和美国馆异常火爆，10月1日中国馆内有2个广东旅游团和2个湖南旅游团，美国馆内有2个广东旅游团和3个湖南旅游团.现从中国馆中的4个旅游团选出其中一个旅游团，与从美国馆中的5个旅游团中选出的其中一个旅游团进行互换.（1）求互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率；（2）求互换后中国馆内广东旅游团数的期望.答案3.(本题满分13分)解．（Ⅰ）令互换后中国馆恰有2个广东旅游团，①互换的都是广东旅游团，则此时中国馆恰有2个广东旅游团事件的概率---2分②互换的都是湖南旅游团，则此时中国馆恰有2个广东旅游团事件的概率----4分又，互斥，则------5分答：互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率为.--------------6分（Ⅱ）设互换后中国馆内广东旅游团数为，则的取值为-------------7分，，所以的分布列为：123P所以12分答：互换后中国馆内广东旅游团数的期望-----13分9（广西北海二中2022届高三12月月考试题理）（本题满分12分）在本次考试中共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：‘每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分。’某考生每道题都给出一个答案。某考生已确定有9道题的答案是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：（Ⅰ）选择题得60分的概率；（Ⅱ）选择题所得分数的数学期望答案解：（\n1）得分为60分，12道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为，有1道题答对的概率为，还有1道答对的概率为，所以得分为60分的概率为：，。5分（2）依题意，该考生得分的范围为｛45，50，55，60｝.，。。。。。。6分得分为45分表示只做对了9道题，其余各题都做错，所以概率为，。。。。。。7分得分为50分的概率为：，。。。。。。8分同理求得得分为55分的概率为：，9分得分为60分的概率为：，10分所以得分的分布列为45505560数学期望。。。。。。12分10（湖北省南漳县2022年高三第四次月考文）(本小题满分12分)不透明盒中装有10个形状大小一样的小球，其中有2个小球上标有数字1，有3个小球上标有数字2，还有5个小球上标有数字3．取出一球记下所标数字后放回，再取一球记下所标数字，共取两次．设两次取出的小球上的数字之和为ξ．(Ⅰ)求随机变量ξ的分布列；(Ⅱ)求随机变量ξ的期望Eξ．答案（Ⅰ）由题意知随机变量ξ的取值为2，3，4，5，6.,,,，所以随机变量ξ的分布列为23456P（Ⅱ）随机变量ξ的期望为11（湖南省长沙市第一中学2022届高三第五次月考理）(本小题满分12分)\n若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X的分布列和数学期望.解：(1)每次取到一只次品的概率P1＝＝，则有放回连续取3次，其中2次取得次品的概率P＝C()2·(1－)＝.(2)依题知X的可能取值为0、1、2、3.(6分)且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝×＝，P(X＝2)＝××＝，P(X＝3)＝×××＝.(8分)则X的分布列如下表：X0123PEX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(12分)12．（江苏省南京市九校联合体2022届高三学情分析试卷）（本小题满分14分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x(°C)1011131286就诊人数y(个)222529261612该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验．(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?\n(Ⅱ)由数据求得……(7分)由公式求得……(9分)再由……(10分)所以关于的线性回归方程为……(11分)(Ⅲ)当时,,；…(12分)同样,当时,,(13分)所以,该小组所得线性回归方程是理想的．…………(14分)【一年原创】一、选择题1．从2011名学生中选出50名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：现用简单随机抽样从2011人中剔除11人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2011人中，每人入选的概率A．都相等，且为B．都相等，且为C．均不相等D．不全相等解析：每人入选的概率相等．概率为×＝，故选B.2.设集合，，,若，则b=c的概率是（C）ABCD3．如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（D）A.　B.C.　D.4．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(　　)A．0.477B．0.628C．0.954D．0.977\n解析：P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝1－0.046＝0.954.答案：C5.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是(　　)A.B.C.D.6.某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(　　)A．90B．75C．60D．45解析：产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，则＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.故选A.7．在数1，2，3，4，5的排列中，满足的排列出现的概率为（B）A、B、C、D、8．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（B）解析：本题考查随机变量的期望及有关的运算，由η＝12ξ＋7⇒Eη＝12Eξ＋7⇒34\n＝12·Eξ＋7⇒Eξ＝⇒＝1×＋2×m＋3×n＋4×，又＋m＋n＋＝1，联立求解可得m＝.10．已知,若为满足的一随机整数，则是直角三角形的概率为（C）A.B.C.D.二、填空题：1.某校举行2022年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为，．【答案】85，【解析】由茎叶图知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为所以由公式容易得出平均数为85，方差为。2．已知随机变量服从正态分布，且方程x+2x+=0有实数解得概率为，若P（）=0.8，则P（0）=___________0.63.某中学高三年级共有学生1200人,一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100,δ2),统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的,则此次考试成绩不低于120分的学生约有人;【答案】200人【解析】,,4．某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据3456[2.5344.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7，那么这组样本数据的问归直线方程是。5．已知随机变量，若，则.6．已知随机变量服从正态分布且，则\n0.08827．有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为．三、解答题：13.（本小题满分14分）为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2．表1:男生身高频数分布表表2：:女生身高频数分布表（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；（2）估计该校学生身高在的概率；（3）从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190cm之间的概率。17.（1）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400．----2分频率分布直方图如右图示：---------------4分（2）由表1、表2知，样本中身高在的学生人数为：5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70，所以样本中学生身高在的频率---6分故由估计该校学生身高在的概率．-----------8分\n（3）样本中身高在180185cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④样本中身高在185190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥从上述6人中任取2人的树状图为：--12分故从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率．---------------14分2、(本小题满分12分)（本小题满分12分）雅山中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽出20名学生作为样本，其选报文科理科的情况如下表所示。（Ⅰ）若在该样本中从报考文科的学生中随机地选出3人召开座谈会，试求3人中既有男生也有女生的概率；[（Ⅱ）用假设检验的方法分析有多大的把握认为雅山中学的高三学生选报文理科与性别有关？参考公式和数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072.713.845.026.647.8810.83解：（Ⅰ）设样本中两名男生分别为a,b,5名女生分别为c,d,e,f,g，则基本事件空间为；（abc）(abd)(abe)(abf)(abg)(acd)(ace)(acf)(acg)(ade)(adf)(adg)(aef)(aeg)(afg)(bcd)(bce)(bcf)(bcg)(bde)(bdf)(bdg)(bef)(beg)(bfg)(cde)(cdf)(cdg)(cef)(ceg)(cfg)(def)(deg)(dfg)(efg)共35种，……3分其中，既有男又有女的事件为前25种，…………4分\n故P（“抽出的3人中既有男生也有女生”）＝＝。…………………………6分（Ⅱ）＝4．43…9分3．841，…10分对照参考表格，结合考虑样本是采取分层抽样抽出的，可知有95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关。…12分3．（本小题满分12分）第26届世界大学生夏季运动会将于2022年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。【解析】（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，…………1分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，…………2分所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人．…………3分用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”，　因此，的分布列如下：\n……10分．………12分【说明】本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力数据处理能力和应用意识．4．（本小题满分12分）（本小题满分12分）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0，则称为“goodsight”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“goodsight”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记表示抽到“goodsight”学生的人数，求的分布列及数学期望．解：（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75…………2分（2）设表示所取3人中有ｉ个人是“goodsight”，至多有1人是“goodsight”记为事件A，则……6分（3）一个人是“goodsight”的概率为的可能取值为0、1、2、3……7分分布列为12P…………10分.…12分5．（本小题满分12分）在这个自然数中，任取个不同的数．（1）求这个数中至少有个是偶数的概率；（2）设为这\n个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．解：（1）记“这3个数至少有一个是偶数”为事件，则；.（4分）（2）随机变量的取值为的分布列为012P∴的数学期望为.（12分）6．（本小题满分12分）某商场准备在元旦节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.(Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是,请问:商场应将每次中奖奖金数额最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?解:(Ⅰ)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有种选法,.选出的3种商品中没有日用商品的选法有种,所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为……4分(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0,,2,3.…5分X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以6分[来X同理可得…7分……8分K]…9分于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是10分要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有,所以,…11分故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利.…12分7.四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、\n2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为、，记；(Ⅰ)求随机变量的分布列和数学期望；(Ⅱ)设“函数在区间上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率．解：（Ⅰ）由题意可知随机变量的可能取值为2，3，4，从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为，2分当时，摸出小球所标的数字为1，1，，当时，摸出小球所标的数字为2，2，，可知，当时，；5分得的分布列为：234；7分（Ⅱ）由“函数在区间上有且只有一个零点”可知，即，解得，又的可能取值为2，3，4，故，事件发生的概率为。12分8、(12分)某工厂每月生产某种产品三件，经检测发现，工厂生产该产品的合格率为，已知生产一件合格品能盈利25万元，生产一件次品将会亏损10万元，假设该产品任何两件之间合格与否相互没有影响。](1)求工厂每月盈利额ξ(万元)的所有可能取值；(2)若该工厂制定了每月盈利额不低于40万元的目标，求该工厂达到盈利目标的概率。(3)求工厂每月盈利额ξ的分布列和数学期望。\n9．（本小题满分12分）挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”,要想通过需要过五关:目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审,若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关,根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是,能通过文考关的概率分别是,由于他们平时表现较好,都能通过政审关,若后三关之间通过与否没有影响．（1）求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；（2）设只要通过后三关就可以被录取,求录取人数的分布列和期望．解：（1）易知甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为，故可看成是独立重复实验，即，，10．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.（1）求的分布列及数学期望；（2）在概率(=0，1，2，3)中,若的值最大,求实数的取值范围.解：(1)是“个人命中,个人未命中”的概率.其中的可能取值为0，1，2，3.,,,\n.所以的分布列为的数学期望为.……………5分(2),,.由和，得,即的取值范围是.……10分【考点预测】2022高考预测预测2022年高考中，本节的内容还是一个重点考查的内容，因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，排列、组合、概率、统计都将是重点考查内容，至少会考查其中的两种类型。（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。复习建议2.强化双基训练\n主要是培养扎实的基础知识，迅捷准确的运算能力，严谨的判断推理能力.3.强化方法选择特别在教学中要掌握思维过程，引导学生发现解决问题的方法，达到举一反三的目的，还要进行题后反思，使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、网络化的有机体系.4.培养应用意识要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验，找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练，以培养利用所学知识解决实际问题的能力.【母题特供】母题一：金题引路：某班主任统计本班50名学生放学回家后学习时间的数据，用条形图表示（如图）。(1)求该班学生每天在家学习时间的平均值；(2)该班主任用分层抽样方法（按学习时间分五层）选出10个学生谈话，求在学习时间为1个小时的学生中选出的人数；(3)假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率.解：（1）平均学习时间为小时4分（2）7分（3）设甲开始学习的时刻为，乙开始学习的时刻为，试验的全部结果所构成的区域为，面积.事件A表示“22时甲、乙正在学习”，所构成的区域为，面积为，这是一个几何概型，所以12分[母题二：金题引路：某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求、、的值；（Ⅱ）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望.\n解：（Ⅰ）第二组的频率为，所以高为．频率直方图如下：--------2分第一组的人数为，频率为，所以．由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为，所以．第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以．---5分（Ⅱ）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为，所以采用分层抽样法抽取18人，岁中有12人，岁中有6人．------6分随机变量服从超几何分布．，，，．----------10分所以随机变量的分布列为0123∴数学期望．母题三：金题引路：个袋子内装有若干个黑球，3个白球，2个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取一个白球得1分，每取一个红球得2分，用随机变量表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为（Ⅰ\n）求袋子内黑球的个数；（Ⅱ）求的分布列与期望。∴的分布列为母题四：金题引路：一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数的分布列为：123450.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款的概率；（Ⅱ）求的分布列及期望．的分布列为：\n（元）．母题五、金题引路：某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”.（Ⅰ）若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（Ⅱ）计划在2022年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为，如果，求的取值范围；