2022版高考数学 3-2-1精品系列 专题15 几何证明选讲

2022版高考数学3-2-1精品系列专题15几何证明选讲（教师版）【考点定位】2022考纲解读和近几年考点分布2022考纲解读考纲原文（1）了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理（2）会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理（3）会证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理考纲解读“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说,“几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型1比例问题平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.近几年考点分布几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.【名师点睛】平行线分线段成比例定理一方面可以判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比．考点二、相似三角形判定与性质例2、在△ABC中，AB＝AC，D为腰AB上一点，AD＝DC，且AD2＝AB·BD，求证：∠A＝36°.【证明】　过点D作DE∥BC，交AC于E.∴∠EDC＝∠BCD，BD＝CE.∵AD2＝AB·BD，AD＝DC，AB＝AC，∴＝＝＝.又∠ECD＝∠DCA，∴△ECD∽△DCA，∴∠EDC＝∠A.又AD＝CD，∴∠A＝∠DCE，∴∠BCD＝∠ACD＝∠A，∴∠BCA＝∠BCD＋∠ACD＝2∠A.又AB＝AC，∴∠B＝∠BCA＝2∠A.∴∠A＋∠B＋∠BCA＝5∠A＝180°，∴∠A＝36°.【名师点睛】运用相似三角形性质解题的关键在于求出相似比，在具体论证过程中，往往是相似三角形的判定定理和性质定理结合运用，由判定三角形相似得到角相等或对应线段成比例的过程反复运用，从而达到解决问题的目的\n考点三、直角三角形射影定理例3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E.试证明：(1)AB·AC＝BC·AD；(2)AD3＝BC·CF·BE.【证明】　(1)Rt△ABC中，AD⊥BC，∴S△ABC＝AB·AC＝BC·AD.∴AB·AC＝BC·AD.(2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC，又AB·AC＝BC·AD.即AD3＝BC·CF·BE.考点五、圆的切线的性质及判定例5、在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．求证：AC是⊙O的切线【证明】　连接OE，因为OE＝OB，所以∠OEB＝∠OBE.又因为BE平分∠CBD，所以∠CBE＝∠OBE，所以∠OEB＝∠CBE，所以EO∥CB.因为∠C＝90°，所以∠AEO＝90°，即AC⊥OE.因为OE为⊙O的半径，所以AC是⊙O的切线．【名师点睛】证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连接圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点),则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径．考点六、圆周角和弦切角例6、如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA\n的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.【证明】(1)因为＝，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故＝，即BC2＝BE×CD.【名师点睛】(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【名师点睛】涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似,在相似三角形中寻找比例线段;也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．【三年高考】10、11、12高考试题及其解析12高考试题及其解析一、填空题选择题．（2022年高考（天津文））如图,已知和是圆的两条弦,过点作圆的切线与的延长线相交于.过点作的平行线与圆交于点,与相交于点,,,,则线段的长为____________.【解析】如图连结BC,BE,则∠1=∠2,∠2=∠A,又∠B=∠B,∽,\n,代入数值得BC=2,AC=4,又由平行线等分线段定理得,解得CD=.．（2022年高考（陕西文））如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,,垂足为F,若,,则______.【解析】,,,在中,4．（2022年高考（江西理））在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=（　　）A．2B．4C．5D．10【解析】特殊的等腰直角三角形,不妨令,则,,,,所以.5．（2022年高考（北京理））如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E,则（　　）A．CE·CB=AD·DBB．CE·CB=AD·ABC．AD·AB=D．CE·EB=【解析】由切割线定理可知\n,在直角中,,则由射影定理可知,所以.．（2022年高考（陕西理））如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,,垂足为F,若,,则__________.【解析】,,在中,CBADO.．（2022年高考（湖北理））(选修4-1:几何证明选讲)如图,点D在的弦AB上移动,,连接OD,过点D作的垂线交于点C,则CD的最大值为__.【解析】(由于因此,线段长为定值,即需求解线段长度的最小值,根据弦中点到圆心的距离最短,此时为的中点,点与点重合,因此.．（2022年高考（广东理））(几何证明选讲)如图3,圆的半径为1,、、是圆周上的三点,满足,过点作圆的切线与的延长线交于点,则__________.【解析】连接,则,,因为,所以.二、解答题．（2022年高考（辽宁文））选修41:几何证明选讲\n如图,⊙O和⊙相交于两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交⊙O于点E.证明(Ⅰ);(Ⅱ).【命题意图】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质，考查推理论证能力和数形结合思想，重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握，难度较小。证明：（1）由与相切于，得，同理，所以。从而，即……4分（2）由与相切于，得，又，得从而，即，综合（1）的结论，……10分．（2022年高考（新课标理））选修4-1:几何证明选讲如图,分别为边的中点,直线交的外接圆于两点,若,证明:(1);(2)【解析】(1),(2)\n．（2022年高考（辽宁理））选修41:几何证明选讲如图,⊙O和⊙相交于两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交⊙O于点E.证明(Ⅰ);(Ⅱ).【命题意图】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质，考查推理论证能力和数形结合思想，重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握，难度较小。证明：（1）由与相切于，得，同理，所以。从而，即……4分（2）由与相切于，得，又，得从而，即，综合（1）的结论，……10分【点评】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质,考查推理论证能力和数形结合思想,重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握,难度较小.11年高考试题及解析一、选择题（2022北京理5）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：①AD+AE=AB+BC+CA；②AF·AG=AD·AE\n③△AFB～△ADG其中正确结论的序号是A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】A二、填空题1.（天津理12）如图，已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点，且若与圆相切，则线段的长为__________.【答案】5.（广东理15）（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于,，且=7，是圆上一点使得=5，∠=∠,则=。【答案】6.（辽宁理22）如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（I）证明：CD//AB；（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA，所以CD//AB.……5分（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC.连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.\n所以∠AFG+∠GBA=180°.故A，B，G，F四点共圆…………10分x2=12.故AD=2，AB=12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A=900，故GH∥AB，HF∥AC.HF=AG=5，DF=(12-2)=5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为2022年高考试题及解析一、填空题1.（2022北京理）如图，的弦ED，CB的延长线交于点A。若BDAE，AB＝4,BC＝2,AD＝3,则DE＝；CE＝。【答案】52.（2022天津文）（11）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若PB=1，PD=3，则的值为。【答案】\n【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于容易题。因为A,B,C,D四点共圆，所以,因为为公共角，所以⊿PBC∽⊿PAB,所以=【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。3.（2022天津理）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若,则的值为。4.（2022广东理）（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP＝______.【答案】因为点P是AB的中点，由垂径定理知，.在中，.由相交线定理知，\n，即，所以．二、简答题6.（2022江苏卷）21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。[解析]本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=300，∠DOC=600，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。（方法二）证明：连结OD、BD。因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2OB。因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=900。又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，\n于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。5.3.（2022年丰台二模理11）如图所示，AB是圆的直径，点C在圆上，过点B，C的切线交于点P，AP交圆于D，若AB=2，AC=1，则PC=______，PD=______．答案：，。4.（2022年昌平二模理12）如图，是⊙的直径，切⊙于点，切⊙于点，交的延长线于点.若，，则=________;=________.\n答案：1，。5.（2022年东城二模理12）如图，直线与相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，，则．答案：6.（2022年海淀二模理12）如图，圆O的直径与弦交于点，，则______.答案：。7、【广东省肇庆市2022届高三第一次模拟理】15．（几何证明选讲选做题）如图2，点是⊙O外一点，为⊙O的一切线,是切点，割线经过圆心O，若，，则▲8、【广东省肇庆市2022届高三上学期期末理】14.（几何证明选讲选做题）如图3,PAB、PCD为⊙O的两条割线,若PA=5,AB=7,CD=11,，则BD等于\n9、【广东省镇江一中2022高三10月模拟理】（14．（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，直线和圆O相切于点于C，于D，若＝1，，则圆O的面积是＿＿＿＿．EDBAOC【答案】10、【广东省肇庆市2022届高三第二次模拟理】15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB的延长线上任取一点C，过C作圆的切线CD，切点为D，的平分线交AD于E,则▲.【答案】45°.【解析】连接，与相交于点，设，,，，，，而，45°.11【广东省云浮中学2022届高三第一次模拟理】15．（几何证明选讲选做题）如图，点为的弦上的一点，连接.，交圆于，若，，则.\n【答案】12【广东省镇江二中2022高三第三次月考理】15．（几何证明选讲）如图，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，过作直线的垂线，为垂足，与圆交于点，则线段的长为　　　．14【广东省粤西北九校2022届高三联考理】14．（几何证明选讲选做题）如图，已知：内接于，点在的延长线上，是⊙的切线，若，，则的长为。【答案】415【广东省深圳市松岗中学2022届高三理科模拟（4）】14．（《几何证明选讲》选做题）如图，在△中，，，是△的边上的高，于点，于点，则的大小为．\n17【广东省深圳高级中学2022届高三上学期期末理】15．（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，于D，若AD=1，，则圆O的面积是_________。【答案】【解析】，因为直线CE和圆O相切于点C，连接OC，则,又，所以OC//AD,又，在直角三角形ACB中，,三角形AOC为正三角形，所以,所以,所以,所以圆的面积为。\n20【广东省茂名市2022年第二次高考模拟理】15.（几何证明选做题）如图，已知是⊙O外一点，为⊙O的切线，为切点，割线经过圆心，若，，则⊙O的半径长为．【答案】421【广东省梅州中学2022届高三第二次月考试理】15．（几何证明选讲选做题）如图，已知：内接于，点在的延长线上，是的切线，若，，则的长为．【答案】22【广东省韶关市2022届高三模拟理】14．（几何证明选讲选做题）如图，是圆的直径，，,则;\n图324【广东省江门市2022届高三调研测试（理）】⒕（几何证明选讲选做题）如图3，圆是的外接圆，过点的切线交的延长线于点，，，则．【答案】25【广东省惠州市2022届高三一模（四调）考试（理数）】15．（几何证明选讲选做题）如图，已知直角三角形中，，，，以为直径作圆交于，则_______________．第15题图\n【答案】【解析】为直径所对的圆周角，则，在中，，由等面积法有，故得．26【广东省佛山一中2022届高三上学期期中理】15.如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝460，∠DCF＝320，则∠A的大小为．【答案】28【广东省佛山市2022届高三第二次模拟理科二】15.(几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦与相交于点,是延长线上一点,且,,若与圆相切,则线段的长为．【答案】29【2022届广东韶关市高三第一次调研考试理】15．（几何证明选讲选做题）已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，，则切线的长为____________.\n（第15小题）【答案】30【2022广东高三第二学期两校联考理】15．（几何证明选做题）如图，四边形ABCD内接于⊙，BC是直径，MN切⊙于A，，则.ABDCOMN【答案】115032【2022广州一模理】14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为，点是弦的中点，，弦过点，且，则的长为．\nPOABCD图3【答案】33【广东省执信中学2022届高三上学期期末理】14、（几何证明选讲选做题）如图，与圆相切点，为圆的割线，并且不过圆心，已知，，，则▲；圆的半径等于▲．34【广东省执信中学2022届高三3月测试理】15、如图，圆是的外接圆，过点的切线交的延长线于点，，则的长为．【答案】35【2022年广东罗定市罗定中学高三下学期第二次模拟理】22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC.（1）求证：FB=FC；（2）若AB是△ABC外接圆的直径，EAC=120°，BC=6，求AD的长.\n36、（2022河南豫南九校2022届高三第四次联考试题）已知ABC中，AB=AC,D是ABC外接圆劣弧AC弧上的点（不与点A,C重合），延长BD至E。ACPDOEFB37、（陕西省高新一中2022届高三第十一次大练习题）(几何证明选讲选做题)如图，⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为⊙上一点，弧，交于，且，则_______338、（东北三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）2022届高三下学期第二次模拟）如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线于P。（1）求证：PM2=PA·PC\n（2）若⊙O的半径为，OA=OM求：MN的长解：(Ⅰ)连结ON，则，且为等腰三角形，则，，，．……3分由条件，根据切割线定理，有，所以．……5分(Ⅱ)，在中，．延长BO交⊙于点D，连结DN．由条件易知∽，于是，即，得．……8分所以.……10分2022模拟试题及答案1、(2022朝阳二模理13)如图，与圆相切点，为圆的割线，并且不过圆心，已知，，，则12；圆的半径等于7．2、（2022昌平二模理12）、如图，⊙中的弦与直径相交于点，为延长线上一点，为⊙的切线，为切点，若，，，，则____4____,        ．\nABCDO4、（2022丰台二模理10）．如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知∠D=46°，则∠A=67°．5、（2022海淀二模理12）如图，已知的弦交半径于点，若，，且为的中点，则的长为.6、（2022顺义二模理11）.如图，AB,CD是半径的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，，,则________________.OABPDC•7、（2022西城二模理11）．如图，是圆的直径，在的延长线上，切圆于点.已知圆半径为，，则______；的大小为______.8、（广东省深圳市2022年3月高三第一次调研理科）\n（几何证明选讲）如图，割线经过圆心O，，绕点逆时针旋120°到，连交圆于点，则.【解析】在中，又因为，所以ABCDO9．（广东省深圳市2022年3月高三第一次调研文科）（几何证明选讲）如图，是半圆的直径，是半圆上异于的点，，垂足为，已知，，则．15.【解析】根据射影定理得10、(广东省江门市2022年高考一模文科)（几何证明选讲选做题）如图3，是圆的切线，是圆的割线，若，，，则圆的半径．\n13．(广东省广雅金山佛一中2022年2月高三联考理科)（几何证明选讲）如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，B、C为切点,且OC=3，AB=4，延长OA到D点，则△ABD的面积是___________．14.(广东省东莞市2022年高三一模理科)（几何证明选讲选做题）已知从圆外一点作直线交圆于两点，且,,则此圆的半径为2.15．(广东省东莞市2022年高三一模文科)（几何证明选讲选做题）如图，⊙的割线过圆心，弦交于点，且∽,，则3.16．（广东省揭阳一中2022年高三一模理科）（几何证明选做题）如右图所示，AC和AB分别是圆O的切线，且OC=3，AB=4，延长AO到D点，则△ABD的面积是。17.(广东执信中学2022年2月高三考试文科)（几何证明选做题）如图,已知:△内接于圆，点在的延长线上，是圆的切线，若,,则的长为4.18．(广东省遂溪县2022年高考第一次模拟数学文科)（几何证明选讲选做题）一个等腰三角形ABC的底边AC的长为6，△ABC的外接圆的半径长为5，则△ABC的面积是__________3或27\n20(湖南省怀化市2022年高三第一次模拟理科)如图，PA切于点A，割线PBC经过O,OB=PB=1,0A绕着点0逆时针旋转600到0D，PD交于点E则PE的长为____________.21、（黑龙江省哈三中等四校2022年高三第一次高考模拟联考文科）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于，，连接．（Ⅰ）求证：直线是⊙的切线；（Ⅱ）若⊙的半径为，求的长．\n22、（辽宁省锦州市2022年1月高三考试理科）（本小题10分）选修4—1：几何证明选讲如图，设为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，是⊙O与l的公共点,⊥l，⊥l，垂足分别为，，且，求证：（I）l是⊙O的切线；（II）平分∠ABD．证明：（Ⅰ）连结OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC//BD．又OA=OB，PC=PD，所以OP//BD，从而OP⊥l．因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线…5分（Ⅱ）连结AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD=∠BAP．又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD．…10分20220602（第二问的证明也可：连结OP，角OPB等于角DBP；而等腰三角形OPB中，角OPB等于角OBP；故PB平分角ABD）23、(辽宁省沈阳市2022年高三第二次模拟理科)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图6，直线AB过圆心O，交圆O于A、B，直线AF交圆O于F（不与B重合），直线与圆O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）．证明：（Ⅰ）连结，是直径，【一年原创】\n1、如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点，已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB的长为．【答案】62、如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则的值为__________.【解析】由已知得答案:13、.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂足，若CD=6cm，AD∶DB=1∶2，则AD的值是________.【解析】设AD=xcm,DB=2xcm,∴36=2x2,∴x2=18,x=,∴AD=cm.答案:\n6、如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EF∥AB，若AB=2，则DE的长是_________.【解析】由图知DE·DF=BD·CD=1，同理EG·FG=1.又DG=AB=1，∴DE(1+FG)=1，FG(1+DE)=1，∴答案:7、如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF=12,PD=,则∠EFD=_________.\n9、如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分∠AED，且与BC、AD分别相交于F、G，若∠AED=40°，∠CFG=80°，则∠A=_______.【解析】∵EG平分∠AED，∴∠FEC=20°，∠FCE=∠CFG-∠FEC=60°.∵四边形ABCD内接于圆，∴∠A=∠FCE=60°.答案:60°10、如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若则的值为_________.\n11、已知，如图，AE⊥EC，CE平分∠ACB，DE∥BC，BC=10，AC=6，则DE=________.【解析】∵AE⊥EC，CE平分∠ACB，∴AC=CF,AE=EF,又∵DE∥BC，∴DE=(BC-AC)=×(10-6)=2.答案:212、四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E,已知∠BCD∶∠ECD=3∶2，那么∠BOD等于________.【解析】由圆内接四边形性质知∠A=∠DCE，而∠BCD∶∠ECD=3∶2，且∠BCD+∠ECD=180°∴∠BAD=72°，∴∠BOD=2∠BAD=144°.答案:144°13、如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=，AC=6，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距离为_________.\n【解析】∵AC为⊙O的切线，∴∠B=∠EAC,∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF＝∠AFD.又∵BE为⊙O的直径，∴∠DAE＝90°,∴∠ADF＝(180°-∠DAE)＝45°.答案:45°16、如图所示，为⊙的切线,为切点,是过点的割线,,,的平分线与和⊙分别交于点和.（I）求证：；（II）求的值.\n【考点预测】2022高考预测选考内容是高考考查的重点内容之一，各省根据情况自行选定模块内容，2022高考对几何证明选讲内容的试题要么以圆为载体，要么隐含圆的相关知识，总之，试题均涉及圆的有关平面几何知识.特别地，圆周角定理和圆心角定理的考查频率极高复习建议圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.【母题特供】\n母题二：金题引路：如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．解：连接OD，则OD⊥DC．在Rt△OED中，OE=OB=OD，∴∠ODE=30°．……3分在Rt△ODC中，∠DCO=30°，……5分由DC=2，则OB=OD=DCtan30°=，……9分所以BC=OC－OB=．………10分\n母题四：金题引路：如图，锐角△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点.（Ⅰ）求证：四点Ａ，Ｉ，Ｈ，Ｅ共圆；（Ⅱ）若∠C=，求∠IEH的度数.【答案】证明：（Ⅰ）由圆I与边AC相切于点E，得IE⊥AE;…………２分结合IH⊥AH,得所以，四点A,I,H,E共圆.…５分（Ⅱ）由（Ⅰ）知四点A,I,H,E共圆，得，;…………７分在中,结合IH⊥AH,得；所以.由得…………10分母题五、金题引路：已知AD为圆O的直径，直线ＢＡ与圆Ｏ相切与点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12。（Ⅰ）求证：BA·DC=GC·AD；（Ⅱ）求BM。\n