【五年经典推荐 全程方略】2022届高考数学 专项精析精炼 2022年考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例（含解析）

考点20平面向量的数量积、平面向量应用举例一、选择题1.（2022·上海高考理科·T18）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,,则满足（）.A.B.C.D.【解析】选D.，只有，其余均有，故选D．2.（2022·大纲版全国卷高考文科·Ｔ3）与（2022·大纲版全国卷高考理科·Ｔ3）相同已知向量（）A.B.C.D.【解题指南】利用得化简求解.【解析】选B.因为，所以，即，解得.3.（2022·湖南高考理科·Ｔ6）已知是单位向量，=0.若向量满足（）A．B．C．D．【解题指南】本题首先弄懂向量是一组正交基底，且，构造，当时，利用圆的知识可求得结果。【解析】选A.条件可以理解成如图的情况，-8-\n而，向量的终点在单位圆上，故||的最大值为最小值是，故选A.4.（2022·重庆高考理科·Ｔ10）在平面上，，，．若，则的取值范围是A.B.C.D.【解析】选D.因为⊥,所以·=(-)·(-)=·-·-·+=0,即·-·-·=-,因为=+，所以-=-+-,即=+-.因为||=||=1,所以=1+1++2(·-·-·)=2++2(-)=2-,因为||<,所以0≤<,所以0≤2-<,所以<≤2,即||∈.5.（2022·安徽高考理科·Ｔ9）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足则点集所表示的区域的面积是（）-8-\nA.B.C.D.【解题指南】根据题设条件作出点集P所在的区域计算其面积即可。【解析】选D.因为所以，又，故同理可得，满足的点所在的区域如图所示，其中是正三角形，其面积为，故所求区域的面积为。6.（2022·湖南高考文科·Ｔ8）.已知是单位向量，=0.若向量满足则的最大值为（）A.B.C.D.【解题指南】本题首先弄懂向量是一组正交基底，且，构造，当时，利用圆的知识可求得结果。【解析】选C，条件可以理解成如图的情况而，向量的终点在单位圆上动，故||的最大值为7.（2022·福建高考文科·Ｔ10）与（2022·福建高考理科·Ｔ7）相同在四边形（）A．B．C．D．-8-\n【解题指南】先计算AC与BD的位置关系,再利用面积公式求解.【解析】选C．因为,所以是互相垂直的对角线，所以．8.（2022·浙江高考理科·Ｔ7）设△ABC，是边上一定点，，且对于边上任一点，恒有，则（）A.B.C.D.【解题指南】由于是边上任一点，所以可设，再由数量积和已知不等式求解.【解析】选D.设，，，因为，所以，所以，即，当时，对恒成立，即，所以；当时，恒成立，所以，综上可得，又所以，即.二、填空题9.（2022·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ13）与（2022·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ13）相同已知两个单位向量，的夹角为60°，，若，则_____.【解题指南】由于条件中给出了，所以可以将的两边同时乘以进行求解.-8-\n【解析】由得，，解得，化简得，所以.【答案】.10.（2022·天津高考文科·Ｔ12）在平行四边形ABCD中,AD=1,,E为CD的中点.若,则AB的长为.【解题指南】根据向量的加法及平面向量的基本定理由表示,，再求AB的长.【解析】因为,,所以所以解得【答案】11.（2022·浙江高考文科·Ｔ17）与(2022·浙江高考理科·T17)相同设为单位向量，非零向量，.若的夹角为，则的最大值等于_________.【解题指南】求的最大值，可以先计算的最大值.【解析】，当时，，令，则-8-\n，所以的最大值为2.【答案】212.（2022·重庆高考文科·Ｔ14）为边，为对角线的矩形中，，，则实数.【解题指南】可根据题意先求出向量的坐标,再利用求解.【解析】,因为所以,即,解得.【答案】13.（2022·安徽高考文科·Ｔ13）若非零向量，满足||=3||=|+2|，则与夹角的余弦值为______【解题指南】利用向量数量积的公式计算。【解析】由||=|+2|，等式两边平方得，所以【答案】14.（2022·上海高考文科·T14）已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，.若i,j,k,l∈且i≠j,k≠l，则·的最小值是.【解析】根据对称性得，。【答案】-5-8-\n15.(2022·山东高考理科·T15)已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2,若，且,则实数λ的值为　　　　.【解题指南】本题考查了向量的线性运算及数量积运算.【解析】向量与的夹角为120°,且||=3,||=2,所以由得,即所以即4-9λ-3(λ-1)=0,解得λ=【答案】16.（2022·山东高考文科·Ｔ15）在平面直角坐标系xOy中,已知=(-1,t),=(2,2),若∠ABO=90°,则实数t的值为　　　　.【解题指南】本题考查了向量的线性运算及数量积运算.可先求出,由∠ABO=90°,则,即可求出t的值.【解析】=(2,2)-(-1,t)=(3,2-t),因为∠ABO=90°,所以AB→⊥OB→,所以AB→·OB→=0,3×2+2×(2-t)=0,所以t=5.【答案】5.17.（2022·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ14）与(2022·新课标全国Ⅱ高考理科·T13)相同已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=.【解题指南】建立坐标系,确定各关键点的坐标,求得数量积.【解析】以点B为原点,直线BC为x轴,建立平面直角坐标系,则A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0),所以=(2,-1),=(2,2),所以=2.【答案】2-8-\n18.（2022·江西高考理科·Ｔ12）设，为单位向量.且、的夹角为，若，，则向量在方向上的射影为________.【解题指南】向量在方向上的射影为，进而问题转化为求向量,的数量积与向量的模.【解析】设的夹角为，则向量在方向上的射影为，而，，所以所求为.【答案】.三、解答题19.(2022·江苏高考数学科·T15)已知,0<β<α<π.（1）若，求证：；（2）设，若，求的值。【解题指南】（1）利用确定出的值，（2）建立与有关的方程求出的值。【解析】（1）|－|2＝2，即(－)2=2-2·+2=2.又因为2=2=||2=||2=1,所以2-2·=2,即·=0,故⊥.（2）因为=(cos+cos,sin+sin)=(0,1),所以，由此得cosα=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sinα+sinβ=1得,sinα=sinβ=,而α>β,所以，α＝，β＝．-8-