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【创新设计】高考数学 第七篇 第4讲 基本不等式限时训练 新人教A版
【创新设计】高考数学 第七篇 第4讲 基本不等式限时训练 新人教A版
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第4讲基本不等式A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2022·宁波模拟)若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为( ).A.B.1C.2D.4解析 ∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥2,即ab≤.当且仅当a=1,b=时等号成立.答案 A2.函数y=(x>1)的最小值是( ).A.2+2B.2-2C.2D.2解析 ∵x>1,∴x-1>0,∴y====(x-1)++2≥2+2.当且仅当x-1=,即x=+1时取等号.答案 A3.(2022·陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则( ).A.a<v<B.v=C.<v<D.v=解析 设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b,∴v==<=.又v-a=-a=>=0,∴v>a.6\n答案 A4.(2022·杭州模拟)设a>b>c>0,则2a2++-10ac+25c2的最小值是( ).A.2B.4C.2D.5解析 2a2++-10ac+25c2=2a2+-10ac+25c2=2a2+-10ac+25c2≥2a2+-10ac+25c2(b=a-b时取“=”)=2a2+-10ac+25c2=+(a-5c)2≥4,故选B.答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2022·浙江)设x,y为实数.若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是________.解析 依题意有(2x+y)2=1+3xy=1+×2x×y≤1+·2,得(2x+y)2≤1,即|2x+y|≤.当且仅当2x=y=时,2x+y取最大值.答案 6.(2022·北京朝阳期末)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元.解析 每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案 5 8三、解答题(共25分)6\n7.(12分)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值; (2)x+y的最小值.解 ∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0,(1)xy=2x+8y≥2,∴≥8,∴xy≥64.故xy的最小值为64.(2)由2x+8y=xy,得:+=1,∴x+y=(x+y)·1=(x+y)=10++≥10+8=18.故x+y的最小值为18.8.(13分)已知x>0,y>0,且2x+5y=20.(1)求u=lgx+lgy的最大值;(2)求+的最小值.解 (1)∵x>0,y>0,∴由基本不等式,得2x+5y≥2.∵2x+5y=20,∴2≤20,xy≤10,当且仅当2x=5y时,等号成立.因此有解得此时xy有最大值10.∴u=lgx+lgy=lg(xy)≤lg10=1.∴当x=5,y=2时,u=lgx+lgy有最大值1.(2)∵x>0,y>0,∴+=·=≥=,当且仅当=时,等号成立.由解得∴+的最小值为.B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是6\n( ).A.(-∞,-2]∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)解析 ∵x>0,y>0且+=1,∴x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8,当且仅当=,即x=4,y=2时取等号,∴(x+2y)min=8,要使x+2y>m2+2m恒成立,只需(x+2y)min>m2+2m恒成立,即8>m2+2m,解得-4<m<2.答案 D2.(2022·湖南)已知两条直线l1:y=m和l2:y=(m>0),l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b.当m变化时,的最小值为( ).A.16B.8C.8D.4解析 如图,作出y=|log2x|的图象,由图可知A,C点的横坐标在区间(0,1)内,B,D点的横坐标在区间(1,+∞)内,而且xC-xA与xB-xD同号,所以=,根据已知|log2xA|=m,即-log2xA=m,所以xA=2-m.同理可得xC=2-,xB=2m,xD=2,所以====2+m,由于+m=+-≥4-=,当且仅当=,即2m+1=4,即m=时等号成立,故的最小值为2=8.6\n答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)3.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是________.解析 由a,b∈R+,由基本不等式得a+b≥2,则ab=a+b+3≥2+3,即ab-2-3≥0⇔(-3)(+1)≥0⇒≥3,∴ab≥9.答案 [9,+∞)4.已知两正数x,y满足x+y=1,则z=的最小值为________。解析 z==xy+++=xy++=+xy-2,令t=xy,则0<t=xy≤2=.由f(t)=t+在上单调递减,故当t=时f(t)=t+有最小值,所以当x=y=时,z有最小值.答案 三、解答题(共25分)5.(12分)设f(x)=(x>0).(1)求f(x)的最大值;(2)证明:对任意实数a,b,恒有f(a)<b2-3b+.(1)解 f(x)==≤=2,当且仅当x=时,即x=2时,等号成立.所以f(x)的最大值为2.(2)证明 b2-3b+=2+3,当b=时,b2-3b+有最小值3,由(1)知,f(a)有最大值2,∴对任意实数a,b,恒有f(a)<b2-3b+.6\n6.(13分)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块,中间挖出三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,池塘周围的基围宽均为2米,如图,设池塘所占的总面积为S平方米.(1)试用x表示S;(2)当x取何值时,才能使得S最大?并求出S的最大值.解 (1)由图形知,3a+6=x,∴a=.则总面积S=·a+2a=a==1832-,即S=1832-(x>0).(2)由S=1832-,得S≤1832-2=1832-2×240=1352.当且仅当=,此时,x=45.即当x为45米时,S最大,且S最大值为1352平方米.特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.6
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:36:25
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文章作者:U-336598
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