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【创新设计】高考数学 第九篇 第5讲 双曲线限时训练 新人教A版

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第5讲双曲线A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(-,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程是(  ).A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1解析 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由PF1的中点为(0,2)知,PF2⊥x轴,P(,4),即=4,b2=4a,∴5-a2=4a,a=1,b=2,∴双曲线方程为x2-=1.答案 B2.(2022·湖南)已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为(  ).A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析 不妨设a>0,b>0,c=.据题意,2c=10,∴c=5.①双曲线的渐近线方程为y=±x,且P(2,1)在C的渐近线上,∴1=.②由①②解得b2=5,a2=20,故正确选项为A.答案 A3.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为(  ).A.-2B.-C.1D.04\n解析 设点P(x,y),其中x≥1.依题意得A1(-1,0),F2(2,0),则有=x2-1,y2=3(x2-1),·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=42-,其中x≥1.因此,当x=1时,·取得最小值-2,选A.答案 A4.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是(  ).A.3B.2C.D.解析 设双曲线的方程为-=1,椭圆的方程为+=1,由于M,O,N将椭圆长轴四等分,所以a2=2a1,又e1=,e2=,所以==2.答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)与双曲线C2:-=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a=________,b=________.解析 与双曲线-=1有共同渐近线的双曲线的方程可设为-=λ(λ>0),即-=1.由题意知c=,则4λ+16λ=5⇒λ=,则a2=1,b2=4.又a>0,b>0,故a=1,b=2.答案 1 26.(2022·江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为,则m的值为________.解析 由题意得m>0,∴a=,b=.∴c=,由e==,得=5,解得m=2.答案 24\n三、解答题(共25分)7.(12分)中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4,离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程;(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.解 (1)由已知:c=,设椭圆长、短半轴长分别为a,b,双曲线半实、虚轴长分别为m,n,则解得a=7,m=3.∴b=6,n=2.∴椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2,∴cos∠F1PF2===.8.(13分)(2022·合肥联考)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求双曲线方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0;(3)求△F1MF2的面积.(1)解 ∵e=,∴设双曲线方程为x2-y2=λ.又∵双曲线过(4,-)点,∴λ=16-10=6,∴双曲线方程为x2-y2=6.(2)证明 法一 由(1)知a=b=,c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),∴kMF1=,kMF2=,∴kMF1·kMF2==,又点(3,m)在双曲线上,∴m2=3,∴kMF1·kMF2=-1,MF1⊥MF2,·=0.4\n法二 ∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m),∴·=(3+2)(3-2)+m2=-3+m2.∵M在双曲线上,∴9-m2=6,∴m2=3,∴·=0.(3)解 ∵在△F1MF2中,|F1F2|=4,且|m|=,∴S△F1MF2=·|F1F2|·|m|=×4×=6.4B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)4\n一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2022·北京西城模拟)过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0)作圆x2+y2=的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若+=2,则双曲线的离心率为(  ).A.B.C.D.解析 设双曲线的右焦点为A,则=-,故+=-==2,即OE=AP.所以E是PF的中点,所以AP=2OE=2×=a.所以PF=3a.在Rt△APF中,a2+(3a)2=(2c)2,即10a2=4c2,所以e2=,即离心率为e==,选C.答案 C2.(2022·福建)已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(  ).A.B.4C.3D.5解析 易求得抛物线y2=12x的焦点为(3,0),故双曲线-=1的右焦点为(3,0),即c=3,故32=4+b2,∴b2=5,∴双曲线的渐近线方程为y=±x,∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为=.答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2022·临沂联考)已知点F是双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围为________.解析 由题意知,△ABE为等腰三角形.若△ABE是锐角三角形,则只需要∠AEB为锐角.根据对称性,只要∠AEF<即可.直线AB的方程为x=-c,代入双曲线方程得y2=\n,取点A,则|AF|=,|EF|=a+c,只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<,即<a+c,即b2<a2+ac,即c2-ac-2a2<0,即e2-e-2<0,即-1<e<2.又e>1,故1<e<2.答案 (1,2)4.(2022·湖北)如图,双曲线-=1(a,b>0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D.则(1)双曲线的离心率e=________;(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=________.解析 (1)由题意可得a=bc,∴a4-3a2c2+c4=0,∴e4-3e2+1=0,∴e2=,∴e=.(2)设sinθ=,cosθ=,====e2-=.答案 (1) (2)三、解答题(共25分)5.(12分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且PF1⊥PF2,|PF1|=8,|PF2|=6.(1)求双曲线的方程;(2)设过双曲线左焦点F1的直线与双曲线的两渐近线交于A,B两点,且=2,求此直线方程.解 (1)由题意知,在Rt△PF1F2中,|F1F2|=,即2c==10,所以c=5.由椭圆的定义,知2a=|PF1|-|PF2|=8-6=2,即a=1.\n所以b2=c2-a2=24,故双曲线的方程为x2-=1.(2)左焦点为F1(-5,0),两渐近线方程为y=±2x.由题意得过左焦点的该直线的斜率存在.设过左焦点的直线方程为y=k(x+5),则与两渐近线的交点为和.由=2,得=2或者=2,解得k=±.故直线方程为y=±(x+5).6.(13分)(2022·江西)P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率;(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.解 (1)由点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.由题意有·=,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,e==.(2)联立得4x2-10cx+35b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则①设=(x3,y3),=λ+,即又C为双曲线上一点,即x-5y=5b2,有\n(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.化简得λ2(x-5y)+(x-5y)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2.②又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以x-5y=5b2,x-5y=5b2.由①式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,②式可化为λ2+4λ=0,解得λ=0或λ=-4.特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.

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发布时间:2022-08-26 00:36:22 页数:8
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文章作者:U-336598

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