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【创新设计】高考数学 第四篇 第7讲 解三角形应用举例限时训练 新人教A版

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第7讲解三角形应用举例A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2022·沧州模拟)有一长为1的斜坡,它的倾斜角为20°,现高不变,将倾斜角改为10°,则斜坡长为(  ).A.1B.2sin10°C.2cos10°D.cos20°解析 如图,∠ABC=20°,AB=1,∠ADC=10°,∴∠ABD=160°.在△ABD中,由正弦定理得=,∴AD=AB·==2cos10°.答案 C2.某人向正东方向走xkm后,向右转150°,然后朝新方向走3km,结果他离出发点恰好是km,那么x的值为(  ).A.B.2C.或2D.3解析 如图所示,设此人从A出发,则AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30°,由余弦定理得()2=x2+32-2x·3·cos30°,整理得x2-3x+6=0,解得x=或2.答案 C3.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是(  ).A.10海里B.10海里C.20海里D.20海里解析 如图所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得=6\n,解得BC=10(海里).答案 A4.(2022·吉林部分重点中学质量检测)如图,两座相距60m的建筑物AB、CD的高度分别为20m、50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(  ).A.30°B.45°C.60°D.75°解析 依题意可得AD=20(m),AC=30(m),又CD=50(m),所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD====,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2022·上海)在相距2千米的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为________千米.解析 由已知条件∠CAB=75°,∠CBA=60°,得∠ACB=45°.结合正弦定理得=,即=,解得AC=(千米).答案 6.(2022·潍坊模拟)如图,一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距8nmile.此船的航速是________nmile/h.解析 设航速为vnmile/h,在△ABS中,AB=v,BS=8nmile,∠BSA=45°,由正弦定理得:=,∴v=32nmile/h.答案 32三、解答题(共25分)7.(12分)6\n某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量AD=BD=7米,BC=5米,AC=8米,∠C=∠D.求AB的长度.解 在△ABC中,由余弦定理得cosC==,在△ABD中,由余弦定理得cosD==.由∠C=∠D,得cos∠C=cos∠D,解得AB=7,所以AB长度为7米.8.(13分)如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,求cosθ的值.解 如题图所示,在△ABC中,AB=40海里,AC=20海里,∠BAC=120°,由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,故BC=20(海里).由正弦定理得=,所以sin∠ACB=sin∠BAC=.由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB=.易知θ=∠ACB+30°,故cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=.B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是(  ).A.50mB.100mC.120mD.150m解析 设水柱高度是hm,水柱底端为C,则在△ABC中,A=60°,AC=h,AB=100,BC6\n=h,根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2·h·100·cos60°,即h2+50h-5000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50m.答案 A2.(2022·榆林模拟)如图,在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°,测得湖中之影的俯角为45°,则云距湖面的高度为(精确到0.1m)(  ).A.2.7mB.17.3mC.37.3mD.373m解析 在△ACE中,tan30°==.∴AE=(m).在△AED中,tan45°==,∴AE=(m),∴=,∴CM==10(2+)≈37.3(m).答案 C二、填空题(每小题5分,共10分)3.在2022年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式.如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°,且座位A,B的距离为10米,则旗杆的高度为________米.解析 由题可知∠BAN=105°,∠BNA=30°,由正弦定理得=,解得AN=20(米),在Rt△AMN中,MN=20sin60°=30(米).故旗杆的高度为30米.答案 304.(2022·合肥一检)如图,一船在海上自西向东航行,在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角,前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角,已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁,现该船继续东行,当α与β满足条件________时,该船没有触礁危险.6\n解析 由题可知,在△ABM中,根据正弦定理得=,解得BM=,要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90°-β)=>n,所以当α与β的关系满足mcosαcosβ>nsin(α-β)时,该船没有触礁危险.答案 mcosαcosβ>nsin(α-β)三、解答题(共25分)5.(12分)(2022·肇庆二模)如图,某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A,B之间的距离,她在西江南岸找到一个点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C;并测量得到数据:∠ACD=90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°,∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=1百米.(1)求△CDE的面积;(2)求A,B之间的距离.解 (1)在△CDE中,∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°,S△CDE=DC·CE·sin150°=×sin30°=×=(平方百米).(2)连接AB,依题意知,在Rt△ACD中,AC=DC·tan∠ADC=1×tan60°=(百米),在△BCE中,∠CBE=180°-∠BCE-∠CEB=180°-105°-45°=30°,由正弦定理=,得BC=·sin∠CEB=×sin45°=(百米).∵cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°=×+×=,在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB,可得AB2=()2+()2-2××=2-,∴AB=百米.6\n6.(13分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇.解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,则S===.故当t=时,Smin=10(海里),此时v==30(海里/时).即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B处相遇,则v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°),故v2=900-+,∵0<v≤30,∴900-+≤900,即-≤0,解得t≥.又t=时,v=30海里/时.故v=30海里/时时,t取得最小值,且最小值等于.此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20海里,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇.特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.6

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发布时间:2022-08-26 00:36:09 页数:6
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文章作者:U-336598

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