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【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第7篇 第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题限时训练 理
【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第7篇 第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题限时训练 理
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第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题分层A级 基础达标演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2022·汕头一模)在平面直角坐标系中,满足不等式x2-y2≤0的点(x,y)的集合所对应的阴影部分是( ).解析 不等式x2-y2≤0⇔(x-y)(x+y)≤0⇔或作图可知选D.答案 D2.(2022·淮安质检)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( ). A.(-∞,5)B.[7,+∞)C.[5,7)D.(-∞,5)∪[7,+∞)解析 画出可行域,知当直线y=a在x-y+5=0与y轴的交点(0,5)和x-y+5=0与x=2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形.故5≤a<7.答案 C3.(2022·广东)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(,1)则z=O·O的最大值为( ).A.4B.36\nC.4D.3解析 如图作出区域D,目标函数z=x+y过点B(,2)时取最大值,故z的最大值为×+2=4,故选C.答案 C4.(2022·洛阳一模)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润1万元,每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在某个生产周期内甲产品至少要生产1吨,乙产品至少要生产2吨,消耗A原料不超过13吨,消耗B原料不超过18吨,那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是( ).A.1吨B.2吨C.3吨D.吨解析 设该企业在这个生产周期内生产x吨甲产品,生产y吨乙产品,x、y满足的条件为所获得的利润z=x+3y,作出如图所示的可行域.作直线l0:x+3y=0,平移直线l0,显然,当直线经过点A时所获利润最大,此时甲产品的产量为1吨.答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2022·安徽卷)若x,y满足约束条件则x-y的取值范围是________.解析 记z=x-y,则y=x-z,所以z为直线y=x-z在y轴上的截距的相反数,画出不等式组表示的可行域如图中△ABC区域所示.结合图形可知,当直线经过点B6\n(1,1)时,x-y取得最大值0,当直线经过点C(0,3)时,x-y取得最小值-3.答案 [-3,0]6.(2022·大纲全国卷)若x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为________.解析 画出可行域,如图所示,将直线y=3x-z移至点A(0,1)处直线在y轴上截距最大,zmin=3×0-1=-1.答案 -1三、解答题(共25分)7.(12分)(2022·合肥模拟)画出不等式组表示的平面区域,并回答下列问题:(1)指出x、y的取值范围;(2)平面区域内有多少个整点?解 (1)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及其右下方的点的集合,x+y≥0表示直线x+y=0上及其右上方的点的集合,x≤3表示直线x=3上及其左方的点的集合.所以,不等式组表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得x∈,y∈[-3,8].(2)由图形及不等式组知当x=3时,-3≤y≤8,有12个整点;当x=2时,-2≤y≤7,有10个整点;当x=1时,-1≤y≤6,有8个整点;当x=0时,0≤y≤5,有6个整点;当x=-1时,1≤y≤4,有4个整点;当x=-2时,2≤y≤3,有2个整点;∴平面区域内的整点共有2+4+6+8+10+12=42(个).8.(13分)制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?解 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目,由题意知目标函数z=x+0.5y.6\n上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即为可行域.将z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,这是斜率为-2、随z变化的一组平行线,当直线y=-2x+2z经过可行域内的点M时,直线y=-2x+2z在y轴上的截距2z最大,z也最大.这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.解方程组得x=4,y=6,此时z=4+0.5×6=7(万元).∴当x=4,y=6时,z取得最大值,所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.分层B级 创新能力提升1.(2022·临沂一模)实数x,y满足若目标函数z=x+y取得最大值4,则实数a的值为( ). A.4B.3C.2D.解析 作出可行域,由题意可知可行域为△ABC内部及边界,y=-x+z,则z的几何意义为直线在y轴上的截距,将目标函数平移可知当直线经过点A时,目标函数取得最大值4,此时A点坐标为(a,a),代入得4=a+a=2a,所以a=2.答案 C2.(2022·苏州一模)如果点P在平面区域内,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为( ).A.-1B.-1C.2-1D.-1解析 根据题设条件,画出可行域,如图所示.由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界,点P到Q6\n的距离最小为可行域上的点到圆心(0,-2)的最小值减去圆的半径1,由图可知|PQ|min=-1=-1,故选A.答案 A3.(2022·济南月考)若线性目标函数z=x+y在线性约束条件下取得最大值时的最优解只有一个,则实数a的取值范围是________.解析 作出可行域如图,由图可知直线y=-x与y=-x+3平行,若最大值只有一个,则直线y=a必须在直线y=2x与y=-x+3的交点A(1,2)的下方,故a≤2.答案 (-∞,2]4.(2022·咸阳一模)设实数x、y满足则的最大值是________.解析 不等式组确定的平面区域如图阴影部分.设=t,则y=tx,求的最大值,即求y=tx的斜率的最大值.显然y=tx过A点时,t最大.由解得A.代入y=tx,得t=.所以的最大值为.答案 5.(2022·黄山模拟)若x,y满足约束条件(1)求目标函数z=x-y+的最值.(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围.解 (1)作出可行域如图,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移初始直线x-y=0,过A(3,4)取最小值-2,过C(1,0)取最大值1.∴z的最大值为1,最小值为-2.(2)直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<-<2,解得-4<a<2.6\n故所求a的取值范围是(-4,2).6.某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都有一部分是一等品,其余是二等品,已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25,甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲,P乙;(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示,且该厂有工人32名,可用资金55万元.设x,y分别表示生产甲、乙产品的数量,在(1)的条件下,求x,y为何值时,z=xP甲+yP乙最大,最大值是多少?项目`用量产品工人(名)资金(万元)甲420乙85解 (1)依题意得解得故甲产品为一等品的概率P甲=0.65,乙产品为一等品的概率P乙=0.4.(2)依题意得x、y应满足的约束条件为且z=0.65x+0.4y.作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分,即可行域.作直线l0:0.65x+0.4y=0即13x+8y=0,把直线l向上方平移到l1的位置时,直线经过可行域内的点M,此时z取得最大值.解方程组得x=2,y=3.故M的坐标为(2,3),所以z的最大值为zmax=0.65×2+0.4×3=2.5.所以,当x=2,y=3时,z取最大值为2.5.6
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:32:26
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