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【学海导航】2022版高考数学一轮总复习 第59讲 抛物线同步测控 理

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第59讲 抛物线               1.抛物线y=4x2的准线方程为(  )A.x=-1B.y=-1C.x=-D.y=- 2.(2022·四川卷)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=(  )A.2B.2C.4D.2 3.(2022·浙江温州模拟)经过抛物线y2=4x的焦点且平行于直线3x-2y=0的直线l的方程是(  )A.3x-2y-3=0B.6x-4y-3=0C.2x+3y-2=0D.2x+3y-1=0 4.(2022·上海卷)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为__________. 5.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,且经过点M(-2,-4)的抛物线方程是________________. 6.过抛物线x2=4y的焦点F作直线l,交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若y1+y2=6,则|AB|等于______. 7.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.(1)求抛物线的标准方程;(2)设点C是抛物线上的动点,若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦AB的长为4,求证:圆C过定点.5\n 8.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是(  )A.B.C.D.3 9.(2022·浙江嘉兴模拟)已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=x的焦点上,另外两个顶点在抛物线上,则这个等边三角形的边长为__________.10.如图,已知抛物线S的顶点在原点,焦点在x轴上,△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC所在直线的方程为l:4x+y-20=0.(1)求抛物线S的方程;(2)若O是坐标原点,是否存在定点M,当过点M的动直线与抛物线S交于P、Q两点时,都有∠POQ=90°?5\n5\n第59讲1.D 2.B 3.A 4.y2=8x 5.y2=-8x或x2=-y 6.87.解析:(1)由抛物线的定义得+4=5,则p=2,所以抛物线的标准方程为y2=4x.(2)证明:设圆心C的坐标为(,y0),半径为r.因为圆C在y轴上截得的弦长为4,所以r2=4+()2,故圆C的方程为(x-)2+(y-y0)2=4+()2,整理得(1-)y02-2yy0+(x2+y2-4)=0,①对于任意的y0∈R,方程①均成立.故有,解得.所以,圆C过定点(2,0).8.A 解析:设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值,为,选A.9.2± 解析:设等边三角形的另外两个顶点的坐标为A(y2,y),B(y2,-y),且A,B与焦点F(,0)连线的斜率分别为±,得y=,所以等边三角形的边长为|2y|=2±.10.解析:(1)设抛物线S的方程为y2=2px(p>0),将直线l:4x+y-20=0代入得2y2+py-20p=0.设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1+y2=-,同理,x1+x2=(5-)+(5-)=10-=10+.又△ABC的重心F(,0),设A(x3,y3),则=,=0,所以x3=-10,y3=.因为点A在抛物线S上,故()2=2p·(-10),所以p=8,所以抛物线S的方程为y2=16x.(2)设过定点M的动直线方程为y=kx+b,交抛物线于P、Q两点,显然,k≠0,b≠0.因为∠POQ=90°,所以kPO·kQO=-1,所以·=-1,所以xPxQ+yPyQ=0.把y=kx+b代入抛物线方程得ky2-16y+16b=0,5\n所以yPyQ=,从而xPxQ==,所以+=0.因为k≠0,b≠0,所以b=-16k,所以动直线的方程为y=kx-16k,从而y=k(x-16),所以动直线必经过定点(16,0).若直线PQ的斜率不存在,直线x=16与抛物线交于P(16,-16),Q(16,16)两点,仍有∠POQ=90°,所以存在定点M(16,0)满足条件.5

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发布时间:2022-08-26 00:25:32 页数:5
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文章作者:U-336598

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