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【最高考】2022届高考数学二轮专题突破高效精练 第30讲 概率统计、计数原理
【最高考】2022届高考数学二轮专题突破高效精练 第30讲 概率统计、计数原理
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第30讲 概率统计、计数原理1.(1)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:①a1+a2+…+a7;②a0+a2+a4+a6;③a1+a3+a5+a7;(2)已知的展开式的二项式系数之和比(a+b)2n的展开式的系数之和小240,求的展开式中系数最大的项.解:(1)①∵(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=-1.令x=0得a0=1.∴a1+a2+…+a7=-2.②令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a6-a7=37=2187.由(1)和上式得a0+a2+a4+a6=1093.③由a0+a1+a2+…+a7=-1和a0-a1+a2-a3+…+a6-a7=2187,两式相减得a1+a3+a5+a7=-1094.(2)由题意,得2n=22n-240,∴22n-2n-240=0,即(2n-16)(2n+15)=0.∵2n+15>0,∴2n-16=0.∴n=4.∴=.∵的展开式中二项式系数最大的项为第3项,∴所求展开式中系数最大的项为第3项,即T3=C()2=6.2.求证:1+2+22+…+25n-1能被31整除.证明:1+2+…+25n-1==32n-1=(31+1)n-1=31n+C·31n-1+…+C·31+C-1=31n+C·31n-1+…+C·31=31·(31n-1+C·31n-2+…+C),∵31n-1,C·31n-2,…,C都是整数,∴原式可被31整除.3.某商店试销某种商品20天,获得如下数据:日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.(1)求当天商品不进货的概率;(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和数学期望.解:(1)P(“当天商品不进货”)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为1件”)=+=.-3-\n(2)由题意知,X的可能取值为2、3.P(X=2)=P(“当天商品销售量为1件”)==,P(X=3)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为2件”)+P(“当天商品销售量为3件”)=++=.故X的分布列为X23PX的数学期望为E(X)=2×+3×=.4.某市公租房的房源位于A、B、C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的.求该市的任4位申请人中:(1)恰有2人申请A片区房源的概率;(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望.解:这是等可能性事件的概率计算问题.(1)所有可能的申请方式有34种,恰有2人申请A片区房源的申请方式有C·22种,从而恰有2人申请A片区房源的概率为=.(2)ξ的所有可能值为1、2、3.P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==.综上知ξ的分布列为ξ123P从而有E(ξ)=1×+2×+3×=.5.某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对,则月工资定为3500元;若4杯选对3杯,则月工资定为2800元,否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数,假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.(1)求X的分布列;(2)求此员工月工资的期望.解:(1)X的所有可能取值为0、1、2、3、4,P(X=i)=(i=0、1、2、3、4).即X01234P(2)令Y表示新录用员工的月工资,则Y的所有可能取值为2100、2800、3500.-3-\n则P(Y=3500)=P(X=4)=,P(Y=2800)=P(X=3)=,P(Y=2100)=P(X≤2)=.E(Y)=3500×+2800×+2100×=2280.故新录用员工月工资的期望为2280元.6.下图是某游戏中使用的材料均匀的圆形转盘,其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分的面积各占转盘面积的、、、.游戏规则如下:①当指针指到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分时,分别获得积分100分、40分、10分、0分;②(ⅰ)若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分,则按①获得相应的积分,游戏结束;(ⅱ)若参加该游戏转一次转盘获得的积分是40分,则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏.硬币正面向上时,游戏结束;反面向上时,再转一次转盘,若再转一次的积分不高于40分,则最终积分为0分,否则最终积分为100分,游戏结束.设某人参加该游戏一次所获积分为ξ.(1)求ξ=0的概率;(2)求ξ的概率分布及数学期望.解:(1)事件“ξ=0”包含“首次积分为0分”和“首次积分为40分后再转一次的积分不高于40分”,且两者互斥,所以P(ξ=0)=+××=.(2)ξ的所有可能取值为0,10,40,100,由(1)知P(ξ=0)=,又P(ξ=10)=,P(ξ=40)=×=,P(ξ=100)=+××=,所以ξ的概率分布为ξ01040100P故E(ξ)=0×+10×+40×+100×=(分).-3-
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所属:
高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:21:02
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文章作者:U-336598
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