【步步高】2022届高考数学一轮复习 §3.3 幂函数备考练习 苏教版

§3.3　幂函数一、基础过关1．下列结论错误的个数为________．①幂函数图象一定过原点；②当α<0时，幂函数y＝xα是减函数；③当α>1时，幂函数y＝xα是增函数；④函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数．2．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为________．3．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是______．(填图象编号)4．下列表示y＝x的图象的是________．(填图象编号)5．给出以下结论：①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；-4-\n④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的个数为________．6．函数y＝x＋x－1的定义域是________．7．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．8．已知幂函数f(x)＝xm2－m－3为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数(m∈N*，且m≥2)．(1)求f(x)；(2)比较f(－2008)与f(－2)的大小．二、能力提升9．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为________．10．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是________．11．已知幂函数f(x)的图象过点(，2)，幂函数g(x)的图象过点.(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)当x为何值时，①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．三、探究与拓展12．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．-4-\n答案1．32．13．②4．②5．16．(0，＋∞)7．解　(1)若f(x)为正比例函数，则⇒m＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则⇒m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则⇒m＝.(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.8．解　(1)因为幂函数f(x)＝xm2－m－3为奇函数，且m∈N*，所以m2－m－3为奇数．因为f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，所以m2－m－3<0，又m∈N*，且m≥2，当m＝2时，m2－m－3＝4－2－3＝－1，当m＝3时，m2－m－3＝3>0，即m>3时，m2－m－3>0.所以f(x)＝x－1.(2)由(1)知f(x)＝，所以f(－2008)＝＝－，f(－2)＝＝－.因为－>－，所以f(－2008)>f(－2)．9．a>c>b-4-\n10．211．解　(1)设f(x)＝xα，∵其图象过点(，2)，故2＝()α，解得α＝2，∴f(x)＝x2.设g(x)＝xβ，∵其图象过点，∴＝2β，解得β＝－2，∴g(x)＝x－2.(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图象，如图所示．由图象可知：f(x)，g(x)的图象均过点(－1,1)与(1,1)．∴①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．12．解　∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.而f(x)＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)－<(3－2a)－等价于a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a.解得a<－1或<a<.故a的取值范围为.-4-