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【走向高考】2022届高三数学一轮专题5 高考中的圆锥曲线问题(含解析)北师大版

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专题五 高考中的圆锥曲线问题1.已知过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p>0)相交于B,C两点.当直线l的斜率是时,=4.(1)求抛物线G的方程.(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.[解析] (1)设B(x1,y1),C(x2,y2),当直线l的斜率是时,l的方程为y=(x+4),即x=2y-4.由得2y2-(8+p)y+8=0,∴又∵=4,∴y2=4y1③由①、②、③及p>0得:y1=1,y2=4,p=2,则抛物线G的方程为:x2=4y.(2)设l:y=k(x+4),BC的中点坐标为(x0,y0),由得x2-4kx-16k=0④∴x0==2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.∴线段BC的中垂线方程为y-2k2-4k=-(x-2k),∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为:b=2k2+4k+2=2(k+1)2,对于方程④,由Δ=16k2+64k>0得:k>0或k<-4.∴b∈(2,+∞).2.(2022·宜宾模拟)设F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右两个焦点.(1)若椭圆C上的点A(1,)到F1,F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和离心率;(2)若M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上除M,N外的任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,求证:kPM·kPN为定值.[解析] (1)根据已知条件:2a=4,即a=2,所以椭圆方程为+=1,又A(1,)为椭圆C上一点,则+=1,解得b2=3,所以椭圆C的方程为+=1,所以c==1,所以椭圆C的离心率e==.(2)因为M,N是椭圆上关于原点对称的点,设M(x0,y0),则N(-x0,-y0),设P点坐标为(x,y),则+=1,+=1,-7-\n即y=3(1-),y2=3(1-),所以kPM·kPN=·===-.即kPM·kPN为定值.3.在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围;(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量+与共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由.[解析] (1)由已知条件,知直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程,得+(kx+)2=1,整理得(+k2)x2+2kx+1=0.①由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q,得Δ=8k2-4(+k2)=4k2-2>0,解得k<-或k>,即k的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则+=(x1+x2,y1+y2).由方程①,知x1+x2=-.②又y1+y2=k(x1+x2)+2=.③由A(,0),B(0,1),得=(-,1).所以+与共线等价于x1+x2=-(y1+y2),将②③代入,解得k=.由(1)知k<-或k>,故不存在符合题意的常数k.1.(2022·温州测试)如图,已知过T(3,-2)的动直线l与抛物线C:y2=4x交于P,Q两点,点A(1,2).-7-\n(1)证明:直线AP与直线AQ的斜率乘积恒为定值-2;(2)以PQ为底边的等腰三角形APQ有几个?请说明理由.[解析] (1)证明:设直线l的方程为x=m(y+2)+3,由得y2-4my-8m-12=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-8m-12,所以kAP·kAQ=·=·==-2.(2)一个.理由如下:PQ的中点坐标为(,),即(,),因为+==4m2+4m+6,所以PQ的中点坐标为(2m2+2m+3,2m),由已知得=-m,即m3+m2+2m-1=0.设f(m)=m3+m2+2m-1,则f′(m)=3m2+2m+2>0,所以f(m)在R上是增函数,又f(0)=-1,f(1)=3,所以函数f(m)有且只有一个零点,即方程m3+m2+2m-1=0有唯一实根.所以满足条件的等腰三角形有且只有一个.2.如图,点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x=于点Q.(1)如果点Q的坐标是(4,4),求此时椭圆C的方程;-7-\n(2)证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.[解析] (1)解法一:由条件知,P(-c,).故直线PF2的斜率为kPF2==-,因为PF2⊥F2Q,所以直线F2Q的方程为y=x-.故Q(,2a).由题设知,=4,2a=4,解得a=2,c=1.故椭圆方程为+=1.解法二:设直线x=与x轴交于点M.由条件知P(-c,),因为△PF1F2∽△F2MQ,所以=,即=,解得|MQ|=2A.所以解得故椭圆方程为+=1.(2)证明:直线PQ的方程为=,即y=x+A.将上式代入+=1得,x2+2cx+c2=0,解得x=-c,y=,所以直线PQ与椭圆C只有一个交点.3.(2022·大连双基测试)已知O为坐标原点,M(x1,y1),N(x2,y2)是椭圆+=1上的点,且x1x2+2y1y2=0,设动点P满足=+2.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)若直线l:y=x+m(m≠0)与曲线C交于A,B两点,求三角形OAB面积的最大值.-7-\n[解析] (1)设点P(x,y),则由=+2,得(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2),即x=x1+2x2,y=y1+2y2.因为点M,N在椭圆+=1上,所以x+2y=4,x+2y=4.故x2+2y2=(x+4x+4x1x2)+2(y+4y+4y1y2)=(x+2y)+4(x+2y)+4(x1x2+2y1y2)=20+4(x1x2+2y1y2).由题意知,x1x2+2y1y2=0,所以x2+2y2=20.(2)将曲线C与直线l的方程联立得,消去y得3x2+4mx+2m2-20=0.因为直线l与曲线C交于A,B两点,设A(x3,y3),B(x4,y4),所以Δ=16m2-4×3×(2m2-20)>0,又m≠0,所以0<m2<30,x3+x4=-,x3x4=.又点O到直线AB:x-y+m=0的距离d=,|AB|=|x3-x4|===,所以S△OAB=×=×≤×=5,当且仅当m2=30-m2,即m2=15时取等号.所以三角形OAB面积的最大值为5.4.(2022·湖南高考)如图,O为坐标原点,双曲线C1:-=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)均过点P(,1),且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.-7-\n(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|+|=||?证明你的结论.[解析] (1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.因为点P(,1)在双曲线x2-=1上,所以()2-=1,故b=3.由椭圆的定义知2a2=+=2.于是a2=,b=a-c=2.故C1,C2的方程分别为x2-=1,+=1.(2)不存在符合题设条件的直线.(ⅰ)若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=-.当x=时,易知A(,),B(,-),所以|+|=2,||=2.此时,|+|≠||.当x=-时,同理可知,|+|≠||.(ⅱ)当直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=,x1x2=.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.-7-\n因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得2k2=m2-3.因此·=x1x2+y1y2=+=≠0,于是2+2+2·≠2+2-2·,即|+|2≠|-|2.故|+|≠||.综合(ⅰ),(ⅱ)可知,不存在符合题设条件的直线.-7-

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发布时间:2022-08-26 00:14:22 页数:7
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文章作者:U-336598

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