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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件(含解析)北师大版
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件(含解析)北师大版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第1章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件北师大版一、选择题1.(文)若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 本题考查充要条件.a=1成立,则|a|=1成立.但|a|=1成立时a=1不一定成立,所以a=1是|a|=1的充分不必要条件.(理)设集合M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N⊆M”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 本小题考查的内容是充分与必要条件的判定.若a=1,则N={1},∴N⊆M,反之不成立.2.(文)命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )A.1B.2C.3 D.4[答案] B[解析] 原命题为真命题,从而其逆否命题也为真命题;逆命题:若a>-6,则a>-3为假命题,则否命题也为假命题,故选B.(理)若命题p的逆命题是q,否命题是r,则命题q是命题r的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题 D.不等价命题[答案] C[解析] 因为命题p的逆命题是q,即命题q的逆命题是p,又p的否命题是r,所以命题q是命题r的逆否命题,故选C.3.(2022·天津高考)已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切.其中真命题的序号是( )A.①②③B.①②-6-\nC.①③ D.②③[答案] C[解析] 统计知识与直线和圆的位置关系的判断.对于①,设球半径为R,则V=πR3,r=R,∴V1=π×(R)3==V,故①正确;对于②,两组数据的平均数相等,标准差一般不相等;对于③,圆心(0,0),半径为,圆心(0,0)到直线的距离d=,故直线和圆相切,故①、③正确.4.(文)a<0,b<0的一个必要条件是( )A.a+b<0B.a-b>0C.>1 D.<-1[答案] A[解析] 由a<0,b<0可得a+b<0,所以a<0,b<0的一个必要条件是a+b<0,故选A.(理)对于非零向量a、b,“a+b=0”是“a∥b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 考查平面向量平行的条件.∵a+b=0,∴a=-b.∴a∥b.反之,a=3b时也有a∥b,但a+b≠0.故选A.5.有下列四个命题:①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;②“相似三角形的周长相等”的否命题;③“若b≤-1,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;④“若A∪B=B,则A⊇B”的逆否命题.其中真命题是( )A.①②B.②③C.①③ D.③④[答案] C[解析] 写出相应命题并判定真假.①“若x,y互为倒数,则xy=1”为真命题;②“不相似三角形的周长不相等”为假命题;③“若方程x2-2bx+b2+b=0没有实根,则b>-1”为真命题;④“若A⊉B,则A∪B≠B”为假命题.6.(文)“m=1”是“直线x-y=0和直线x+my=0互相垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 两直线垂直的充要条件是1-m=0,即m=1,故选C.(理)“sinα=”是“cos2α=”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件-6-\n[答案] A[解析] 本题主要考查充要条件和三角公式.∵cos2α=1-2sin2α=,∴sinα=±,∴sinα=⇒cos2α=,但cos2α=⇒sinα=,∴“sinα=”是“cos2α=”的充分而不必要条件.二、填空题7.(2022·本溪质检)在命题“若m>-n,则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是________.[答案] 3[解析] 原命题为假命题,所以逆否命题也是假命题,逆命题“若m2>n2,则m>-n”,也是假命题,从而否命题也是假命题.8.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________.[答案] [-3,0][解析] ax2-2ax-3≤0恒成立,当a=0时,-3≤0成立;当a≠0时,得,解得-3≤a<0,故-3≤a≤0.9.设有如下三个命题:甲:m∩l=A,m,lα,m,l⃘β;乙:直线m,l中至少有一条与平面β相交;丙:平面α与平面β相交.当甲成立时,乙是丙的__________条件.[答案] 充要[解析] 由题意乙⇒丙,丙⇒乙.故当甲成立时乙是丙的充要条件.三、解答题10.已知P={x|x2-8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1+m}.(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件,若存在,求出m的范围;(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件,若存在,求出m的范围.[解析] (1)由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10.∴P={x|-2≤x≤10},∵x∈P是x∈S的充要条件,∴P=S,∴∴∴这样的m不存在.(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P,∴∴m≤3.综上可知m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件.一、选择题1.(文)有下列命题:①两组对应边相等的三角形是全等三角形;-6-\n②“若xy=0,则|x|+|y|=0”的逆命题;③“若a>b,则2x·a>2x·b”的否命题;④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题共有( )A.1个B.2个C.3个 D.4个[答案] B[解析] ①是假命题,②是真命题,③是真命题,④是假命题.(理)下列命题中,假命题为( )A.存在四边相等的四边形不是正方形B.z1,z2∈C,z1+z2为实数的充分必要条件是z1,z2互为共轭复数C.若x,y∈R,且x+y>2,则x,y至少有一个大于1D.对于任意n∈N+,C+C+…+C都是偶数[答案] B[解析] 本题考查了命题的真假判断,选项A中,菱形满足条件,选项B中只需z1与z2的虚部互为相反数即可,故B错;选项C、D显然正确,故选B.2.(文)(2022·北京高考)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件[答案] D[解析] 本题考查充分必要条件.a>ba2>b2,如a=0,b=-1;a2>b2a>b,如a=-5,b=3.举特例是解决充要条件的好方法.(理)(2022·北京高考)设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件[答案] D[解析] 对于等比数列{an},若q>1,则当a1<0时有{an}为递减数列.故“q>1”不能推出“{an}为递增数列”.若{an}为递增数列,则{an}有可能满足a1<0且0<q<1,推不出q>1.综上,“q>1”为“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件,即选D.二、填空题3.(文)设集合A={x|<0},B={x|x2-4x<0},那么“m∈A”是“m∈B”的________条件.[答案] 充分不必要[解析] 若m∈A,则<0,∴0<m<1.若m∈B,则m2-4m<0,即0<m<4.故“m∈A”是“m∈B”的充分条件.取m=2,则=2,于是<0不成立,所以m∈A不成立.故“m∈A”不是“m∈B”的必要条件.综上所述,“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件.(理)对于下列四个结论:-6-\n①若A是B的必要不充分条件,则非B也是非A的必要不充分条件;②“”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件;③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件;④“x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件.其中,正确结论的序号是________.[答案] ①②④[解析] ∵“A⇐B”,∴“非A⇒非B”,故①正确.“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件是,故②正确.∵x≠1⇒x2≠1,例如x=-1,故③错误.∵x+|x|>0⇒x≠0,但x≠0⇒x+|x|>0,例如x=-1.故④正确.4.在“a,b是实数”的大前提之下,已知原命题是“若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b≥0”,给出下列命题:①若a2-4b≥0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;②若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是空集;③若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b<0;④若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b<0;⑤若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;⑥若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写).[答案] ①③②④[解析] “非空集”的否定是“空集”,“大于或等于”的否定是“小于”,根据命题的构造规则,题目的答案是①③②④.三、解答题5.(文)已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0},B={x|x<0},若命题“A∩B=∅”是假命题,求实数m的取值范围.[解析] 因为“A∩B=∅”是假命题,所以A∩B≠∅.设全集U={m|Δ=(-4m)2-4(2m+6)≥0},则U={m|m≤-1或m≥}.假设方程x2-4mx+2m+6=0的两根x1,x2均非负,则有⇒⇒m≥.又集合{m|m≥}关于全集U的补集是{m|m≤-1},所以实数m的取值范围是{m|m≤-1}.(理)在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点.(1)求证:“如果直线l过点(3,0),那么·=3”是真命题.(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.[解析] (1)设l:x=ty+3,代入抛物线y2=2x,消去x得y2-2ty-6=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=2t,y1·y2=-6,-6-\n·=x1x2+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2=t2y1y2+3t(y1+y2)+9+y1y2=-6t2+3t·2t+9-6=3.∴·=3,故为真命题.(2)(1)中命题的逆命题是:“若·=3,则直线l过点(3,0)”它是假命题.设l:x=ty+b,代入抛物线y2=2x,消去x得y2-2ty-2b=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1·y2=-2b.∵·=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-2bt2+bt·2t+b2-2b=b2-2b,令b2-2b=3,得b=3或b=-1,此时直线l过点(3,0)或(-1,0).故逆命题为假命题.6.(文)求证:方程x2+ax+1=0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>,这个条件充分吗?为什么?[解析] ∵方程x2+ax+1=0(a∈R)有两实根,则Δ=a2-4≥0,∴a≤-2或a≥2.设方程x2+ax+1=0的两实根分别为x1,x2,则∴x+x=(x1+x2)2-2x1x2=a2-2≥3.∴|a|≥>.∴方程x2+ax+1=0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>;但当a=2时,x+x=2≤3.因此这个条件不是其充分条件.(理)已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}.(1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的充要条件;(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件.[解析] (1)由M∩P={x|5<x≤8},得-3≤a≤5,因此M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是{a|-3≤a≤5}.(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件,就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值,如取a=0,此时必有M∩P={x|5<x≤8};反之,M∩P={x|5<x≤8}未必有a=0.故a=0是M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件.-6-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:14:11
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