【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第7章 第4节 基本不等式（含解析）北师大版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第7章第4节基本不等式北师大版一、选择题1．若M＝(a∈R，a≠0)，则M的取值范围为(　　)A．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]C．[4，＋∞)D．[－4,4][答案]　A[解析]　M＝＝a＋.当a>0时，M≥4；当a<0时，M≤－4.2．已知＋＝1(x>0，y>0)，则xy的最小值是(　　)A．15B．6C．60D．1[答案]　C[解析]　∵x>0，y>0，∴＋＝1≥2，∴xy≥60，当且仅当3x＝5y时等号成立．3．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为(　　)A．4B．8C．16D．32[答案]　B[解析]　设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,16>x>0，则围成的两个正方形面积之和为S＝()2＋()2≥＝8，当且仅当＝，即x＝8时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为8.4．(文)设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)A．8B．4C．1D．-8-\n[答案]　B[解析]　本小题主要考查等比中项的概念及均值不等式的应用．根据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥4.当a＝b＝时“＝”成立．故选B．(理)下列函数最小值为4的是(　　)A．y＝x＋　　　　　　B．y＝sinx＋(0＜x＜π)C．y＝3x＋4·3－xD．y＝lgx＋4logx10[答案]　C[解析]　A中没有强调x＞0不能直接运用基本不等式，故不对．B中虽然x∈(0，π)，sinx＞0，但运用基本不等式后，等号成立的条件是sinx＝即sinx＝±2矛盾，所以等号取不到，故不对．C中3x＞0，∴可直接运用基本不等式3x＋4·3－x≥2＝4，当且仅当3x＝，即3x＝2，x＝log32时取等号，故正确．D中由于没有给出x的范围，所以lgx不一定大于0，故不对．5．(2022·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)A．B．C．D．－1[答案]　D[解析]　设两年的平均增长率为x，则有(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)⇒x＝－1，故选D．6．(文)若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝1，则＋的最小值是(　　)A．eB．4C．D．8[答案]　C[解析]　由a>0，b>0，ln(a＋b)＝0得.故＋＝＝≥＝＝.-8-\n当且仅当a＝b＝时上式取“＝”．(理)若a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则(　　)A．R<P<QB．P<Q<RC．Q<P<RD．P<R<Q[答案]　B[解析]　解法1：取a＝100，b＝10.P＝，Q＝＝lg10＝lg，则有R＝lg55＝lg>Q，即P<Q<R.解法2：∵a>b>1，∴lga>lgb>0.∴P＝＝·<＝Q，∴Q＝(lga＋lgb)＝lg<lg＝R，∴P<Q<R.二、填空题7．已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．[答案]　3[解析]　∵12＝4x＋3y≥2，∴xy≤3.当且仅当即时xy取得最大值3.8．(2022·福建高考)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方形容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．[答案]　160[解析]　设底面长为x，宽为y，则容器的总造价为z＝80＋10(2x＋2y)且xy＝4，∴z＝80＋20(x＋y)≥80＋40＝160.9．已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是________．[答案]　4[解析]　由已知易得x＋3y＝1，-8-\n所以＋＝·(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝，y＝时取得等号．三、解答题10．(1)求函数y＝x(a－2x)(x>0，a为大于2x的常数)的最大值；(2)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝＋的最小值．[解析]　(1)∵x>0，a>2x，∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)≤×[]2＝，当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为.(2)由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.则＋＝≥＝2.∴(＋)min＝2.当且仅当2y＝5x，即x＝2，y＝5时等号成立．故z最小值为2.一、选择题1．(文)已知x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值是(　　)A．3B．1＋2C．6D．7[答案]　D[解析]　∵3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥2＋1＝2×3＋1＝7，(当且仅当x＝3y＝1等号成立)∴所求最小值为7.(理)若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为(　　)-8-\nA．B．C．2D．4[答案]　D[解析]　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋1＋＋≥2＋2＝4　(等号在a＝b＝时成立)．2．(2022·重庆高考)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)A．6＋2B．7＋2C．6＋4D．7＋4[答案]　D[解析]　本题考查对数的运算性质及均值定理“1”的代换．∵ab>0,3a＋4b>0，∴a>0，b>0，∵log4(3a＋4b)＝log2(3a＋4b)，log2＝log2(ab)，∴由题意知，3a＋4b＝ab，即＋＝1，而a＋b＝(a＋b)(＋)＝＋4＋3＋＝7＋＋≥7＋2＝7＋4.当且仅当＝，即a＝2＋4，b＝3＋2时，取“＝”．二、填空题3．设x>1，y>1，且lg(xy)＝4，则lgx·lgy的最大值为________．[答案]　4[解析]　∵x>1，y>1，∴lgx>0，lgy>0，∴lgx·lgy≤()2＝＝4(当且仅当lgx＝lgy＝2，即x＝y＝100时取等号)．∴当x＝y＝100时，lgx·lgy有最大值4.-8-\n4．规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a、b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．[答案]　1　3[解析]　1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，∴＝1或＝－2(舍)，∴k＝1.f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当＝即x＝1时等号成立．三、解答题5．(文)设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.[分析]　两次利用基本不等式时，注意等号能否成立及成立时的条件．[解析]　由于a，b均为正实数，所以＋≥2＝.当且仅当＝，即a＝b时等号成立．又因为＋ab≥2＝2.当且仅当＝ab时等号成立．所以＋＋ab≥＋ab≥2，当且仅当即a＝b＝时取等号．(理)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1.求证：≥9.[分析]　由不等式左边含字母a，b右边无字母，直接使用基本不等式既无法约掉字母a，b，不等号方向又不对，因a＋b＝1，能否把左边展开，实行“1”的代换．[解析]　方法一　因为a＞0，b＞0，a＋b＝1.所以1＋＝1＋＝2＋.-8-\n同理1＋＝2＋.所以＝＝5＋2≥5＋4＝9.所以≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．方法二　＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，因为a，b为正数，a＋b＝1，所以ab≤2＝，于是≥4，≥8，因此≥1＋8＝9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．6．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(x>0)(单位：元)．(1)将总费用y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用．[解析]　本小题主要考查函数和不等式等基础知识，考查用基本不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力．(1)如图，设矩形的另一边长为am，则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360，由已知xa＝360，得a＝，所以y＝225x＋－360(x>0)(2)∵x>0，∴225x＋≥2＝10800，-8-\n∴y＝225x＋－360≥10440.当且仅当225x＝时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．-8-