【走向高考】2022届高中数学二轮复习 专题3 数列（第1讲）课时作业 新人教A版

【走向高考】2022届高中数学二轮复习专题3数列（第1讲）课时作业新人教A版一、选择题1．(文)(2022·东北三省三校联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a6＝12，则S7的值是(　　)A．21　　B．24　　　C．28　　D．7[答案]　C[解析]　∵a2＋a4＋a6＝3a4＝12，∴a4＝4，∴2a4＝a1＋a7＝8，∴S7＝＝＝28.(理)(2022·新课标Ⅰ理，7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)A．3　　　B．4　　　　C．5　　　D．6[答案]　C[解析]　Sm－Sm－1＝am＝2，Sm＋1－Sm＝am＋1＝3，∴d＝am＋1－am＝3－2＝1，Sm＝a1m＋·1＝0，①am＝a1＋(m－1)·1＝2，∴a1＝3－m.②②代入①得3m－m2＋－＝0，∴m＝0(舍去)或m＝5，故选C.2．(文)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1＝1，＝4，则的值为(　　)A.　　　B.　　　C.　　D．4[答案]　A[解析]　由等差数列的性质可知S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，由＝4得＝3，则S6－S4＝5S2，所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝.(理)(2022·全国大纲文，8)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)A．31B．32C．63D．64-9-\n[答案]　C[解析]　解法1：由条件知：an>0，且∴∴q＝2.∴a1＝1，∴S6＝＝63.解法2：由题意知，S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即122＝3(S6－15)，∴S6＝63.3．(文)设Sn为等比数列{an}的前n项和，且4a3－a6＝0，则＝(　　)A．－5B．－3C．3D．5[答案]　D[解析]　∵4a3－a6＝0，∴4a1q2＝a1q5，∵a1≠0，q≠0，∴q3＝4，∴＝＝＝1＋q3＝5.(理)(2022·新课标Ⅱ理，3)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　)A.B．－C.D．－[答案]　C[解析]　∵S3＝a2＋10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，a3＝9a1＝a1q2，∴q2＝9，又∵a5＝9，∴9＝a3·q2＝9a3，∴a3＝1，又a3＝9a1，故a1＝.4．(2022·新乡、许昌、平顶山调研)设{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，对任意正整数n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，又a1＝2，则S101的值为(　　)A．2B．200C．－2D．0[答案]　A[解析]　设公比为q，∵an＋2an＋1＋an＋2＝0，∴a1＋2a2＋a3＝0，∴a1＋2a1q＋a1q2＝0，∴q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1，又∵a1＝2，∴S101＝＝＝2.5．(2022·哈三中二模)等比数列{an}，满足a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3，a＋a＋a＋a＋a＝15，则a1－a2＋a3－a4＋a5的值是(　　)A．3B.C．－D．5[答案]　D[解析]　由条件知，∴＝5，-9-\n∴a1－a2＋a3－a4＋a5＝＝＝5.6．(2022·镇江模拟)已知公差不等于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，如果S3＝－21，a7是a1与a5的等比中项，那么在数列{nan}中，数值最小的项是(　　)A．第4项B．第3项C．第2项D．第1项[答案]　B[解析]　设等差数列{an}的公差为d，则由S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝－21，得a2＝－7，又由a7是a1与a5的等比中项，得a＝a1·a5，即(a2＋5d)2＝(a2－d)(a2＋3d)，将a2＝－7代入，结合d≠0，解得d＝2，则nan＝n[a2＋(n－2)d]＝2n2－11n，对称轴方程n＝2，又n∈N*，结合二次函数的图象知，当n＝3时，nan取最小值，即在数列{nan}中数值最小的项是第3项．二、填空题7．(2022·广东六校联考)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2022x1＋log2022x2＋…＋log2022x2022的值为________．[答案]　－1[解析]　因为y′＝(n＋1)xn，所以在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，所以＝n＋1，所以xn＝，所以log2022x1＋log2022x2＋…＋log2022x2022＝log2022(x1·x2·…·x2022)＝log2022(··…·)＝log2022＝－1.8．(2022·中原名校二次联考)若{bn}为等差数列，b2＝4，b4＝8.数列{an}满足a1＝1，bn＝an＋1－an(n∈N*)，则a8＝________.[答案]　57[解析]　∵bn＝an＋1－an，∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋…＋(a2－a1)＋a1＝b7＋b6＋…＋b1＋a1.由{bn}为等差数列，b2＝4，b4＝8知bn＝2n∴数列{bn}的前n项和为Sn＝n(n＋1)．∴a8＝S7＋a1＝7×(7＋1)＋1＝57.9．(2022·辽宁省协作校联考)若数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝(－1)n＋1，bn＝，n∈N＋，且a1＝2，设数列{an}的前n项和为Sn，则S63＝________.[答案]　560[解析]　∵bn＝＝，又a1＝2，∴a2＝－1，a3＝4，a4＝－2，a5＝6，a6＝－3，…，∴S63＝a1＋a2＋a3＋…a63＝(a1＋a3＋a5＋…＋a63)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a62)＝(2＋4＋6＋…＋64)－(1＋2＋3＋…＋31)＝1056－496＝560.三、解答题-9-\n10．(2022·豫东、豫北十所名校联考)已知Sn为数列{an}的前n项和，且a2＋S2＝31，an＋1＝3an－2n(n∈N*)(1)求证：{an－2n}为等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.[解析]　(1)由an＋1＝3an－2n可得an＋1－2n＋1＝3an－2n－2n＋1＝3an－3·2n＝3(an－2n)，又a2＝3a1－2，则S2＝a1＋a2＝4a1－2，得a2＋S2＝7a1－4＝31，得a1＝5，∴a1－21＝3≠0，＝3，故{an－2n}为等比数列．(2)由(1)可知an－2n＝3n－1(a1－2)＝3n，故an＝2n＋3n，∴Sn＝＋＝2n＋1＋－.一、选择题11．(文)(2022·山西四校联考)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝(　　)A．1＋B．1－C．3＋2D．3－2[答案]　C[解析]　由条件知a3＝a1＋2a2，∴a1q2＝a1＋2a1q，∵a1≠0，∴q2－2q－1＝0，∵q>0，∴q＝1＋，∴＝q2＝3＋2.(理)在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于(　　)A．290B．300C．580D．600[答案]　B[解析]　由a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87得，a1＋a20＝30，∴S20＝＝300.12．(文)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝2，n∈N＋，则数列{ban}的前10项的和为(　　)A.(49－1)B.(410－1)C.(49－1)D.(410－1)[答案]　D-9-\n[解析]　由a1＝1，an＋1－an＝2得，an＝2n－1，由＝2，b1＝1得bn＝2n－1，∴ban＝2an－1＝22(n－1)＝4n－1，∴数列{ban}前10项和为＝(410－1)．(理)若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋等于(　　)A．1－B.(1－)C．1－D.(1－)[答案]　B[解析]　因为an＝1×2n－1＝2n－1，所以an·an＋1＝2n－1·2n＝2×4n－1，所以＝×()n－1，所以{}也是等比数列，所以Tn＝＋＋…＋＝×＝(1－)，故选B.13．给出数列，，，，，，…，，，…，，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是(　　)A．4900B．4901C．5000D．5001[答案]　B[解析]　根据条件找规律，第1个1是分子、分母的和为2，第2个1是分子、分母的和为4，第3个1是分子、分母的和为6，…，第50个1是分子、分母的和为100，而分子、分母的和为2的有1项，分子、分母的和为3的有2项，分子、分母的和为4的有3项，…，分子、分母的和为99的有98项，分子、分母的和为100的项依次是：，，，…，，，…，，第50个1是其中第50项，在数列中的序号为1＋2＋3＋…＋98＋50＝＋50＝4901.[点评]　本题考查归纳能力，由已知项找到规律，“1”所在项的特点以及项数与分子、分母的和之间的关系，再利用等差数列求和公式即可．14．(2022·唐山市一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则(　　)A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2n－1[答案]　C[解析]　设公比为q，则a1(1＋q2)＝，a2(1＋q2)＝，∴q＝，∴a1＋a1＝，∴a1＝2.-9-\n∴an＝a1qn－1＝2×()n－1，Sn＝＝4[1－()n]，∴＝＝2(2n－1－)＝2n－1.[点评]　用一般解法解出a1、q，计算量大，若注意到等比数列的性质及求，可简明解答如下：∵a2＋a4＝q(a1＋a3)，∴q＝，∴＝＝＝＝2n－1.二、填空题15．(2022·新乡、许昌、平顶山调研)如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，…，第n群，…，第n群恰好n个数，则第n群中n个数的和是________．[答案]　3·2n－2n－3[解析]　由图规律知，第n行第1个数为2n－1，第2个数为3·2n－2，第3个数为5·2n－3……设这n个数的和为S则S＝2n－1＋3·2n－2＋5×2n－3＋…＋(2n－3)·2＋(2n－1)·20　①2Sn＝2n＋3·2n－1＋5·2n－2＋…＋(2n－3)·22＋(2n－1)·21　②②－①得Sn＝2n＋2·2n－1＋2·2n－2＋…＋2·22＋2·2－(2n－1)＝2n＋2n＋2n－1＋…＋23＋22－(2n－1)＝2n＋－(2n－1)＝2n＋2n＋1－4－2n＋1＝3·2n－2n－3.16．在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*)(p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：①若数列{an}是等方差数列，则数列{a}是等差数列；②数列{(－1)n}是等方差数列；③若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列必为常数列；④若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}(k为常数，k∈N*)也是等方差数列．其中正确命题的序号为________．[答案]　①②③④[解析]　由等方差数列的定义、等差数列、常数列的定义知①②③④均正确．三、解答题17．(文)(2022·浙江理，18)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a-9-\n3成等比数列．(1)求d，an；(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.[解析]　(1)由题意得a1·5a3＝(2a2＋2)2，a1＝10，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n.当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝(理)(2022·天津十二区县联考)已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f()，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<对一切n∈N*成立，求最小的正整数m.[解析]　(1)∵an＋1＝f()＝＝an＋，∴{an}是以为公差，首项a1＝1的等差数列，∴an＝n＋.(2)当n≥2时，bn＝＝＝(－)，当n＝1时，上式同样成立．∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)，∵Sn<，即(1－)<对一切n∈N*成立，又(1－)随n递增，且(1－)<，-9-\n∴≤，∴m≥2022，∴m最小＝2022.18．(文)(2022·吉林市质检)已知数列{an}满足首项为a1＝2，an＋1＝2an，(n∈N*)．设bn＝3log2an－2(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝anbn.(1)求证：数列{bn}成等差数列；(2)求数列{cn}的前n项和Sn.[解析]　(1)由已知可得，an＝a1qn－1＝2n，bn＝3log22n－2∴bn＝3n－2，∵bn＋1－bn＝3，∴{bn}为等差数列，其中b1＝1，d＝3.(2)cn＝anbn＝(3n－2)·2nSn＝1·2＋4·22＋7·23＋…＋(3n－2)·2n①2Sn＝1·22＋4·23＋7·24＋……＋(3n－5)·2n＋(3n－2)·2n＋1②①－②得－Sn＝2＋3[22＋23＋24＋……＋2n]－(3n－2)·2n＋1＝2＋3·－(3n－2)·2n＋1＝－10＋(5－3n)·2n＋1∴Sn＝10－(5－3n)·2n＋1.(理)已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和Sn＝pn2＋2n(n∈N*)．(1)求p的值及an；(2)若bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn>成立的最小正整数n的值．[解析]　本题主要考查等差数列的概念及有关计算，数列求和的方法，简单分式不等式的解法，化归转化思想及运算求解能力等．(1)解法1：∵{an}是等差数列，∴Sn＝na1＋d＝na1＋×2＝n2＋(a1－1)n.又由已知Sn＝pn2＋2n，∴p＝1，a1－1＝2，∴a1＝3，∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1，∴p＝1，an＝2n＋1.解法2：由已知a1＝S1＝p＋2，S2＝4p＋4，即a1＋a2＝4p＋4，∴a2＝3p＋2.又等差数列的公差为2，∴a2－a1＝2，∴2p＝2，∴p＝1，∴a1＝p＋2＝3，∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1，∴p＝1，an＝2n＋1.解法3：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn2＋2n－[p(n－1)2＋2(n－1)]＝2pn－p＋2，∴a2＝3p＋2，由已知a2－a1＝2，∴2p＝2，∴p＝1，∴a1＝p＋2＝3，∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1，∴p＝1，an＝2n＋1.(2)由(1)知bn＝＝－，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn-9-\n＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.又∵Tn>，∴>，∴20n>18n＋9，即n>，又n∈N*.∴使Tn＝成立的最小正整数n的值为5.-9-