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【高考调研】2022高中数学 模块综合检测题 新人教A版选修2-2
【高考调研】2022高中数学 模块综合检测题 新人教A版选修2-2
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模块综合检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分,考试时间120分。第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z1=2+i,z2=1+i,则在复平面内对应的点位于( )A.第一象限 B.第三象限C.第二象限D.第四象限答案 D解析 ==-,对应点(,-)在第四象限.2.设f(x)=10x+lgx,则f′(1)等于( )A.10B.10ln10+lgeC.+ln10D.11ln10答案 B3.函数y=(1-sinx)2的导数是( )A.y=2sin2x-cosxB.y=sin2x+2cosxC.y=2sin2x-2cosxD.y=sin2x-2cosx答案 D解析 y′=2(1-sinx)(1-sinx)′=2(1-sinx)(-cosx)=2sinxcosx-2cosx=sin2x-2cosx.4.函数f(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是( )8\nA.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2)B.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2)C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3)答案 B5.如果复数的实部和虚部互为相反数,那么实数b的值为( )A.B.-2C.-D.答案 C6.观察按下列顺序排列的等式:9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=31,…,猜想第n(n∈N*)个等式应为( )A.9(n+1)+n=10n+9B.9(n-1)+n=10n-9C.9n+(n-1)=10n-9D.9(n-1)+(n-1)=10n-10答案 B解析 等式的左边是9×(等式的序号-1)+等式的序号,故选B.7.如图阴影部分的面积是( )8\nA.e+B.e+-1C.e+-2D.e-答案 C8.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调增函数,则m取值范围是( )A.m>3B.m≥C.m<D.m<0答案 B9.曲线y=x3+x在点(1,)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A.B.C.D.答案 A解析 ∵y′=x2+1,∴切线斜率k=12+1=2.∴切线方程为y-=2(x-1),与坐标轴的交点坐标为(0,-),(,0).∴所求三角形面积为××=.10.a、b是非零实数,若a<b,则下列不等式成立的是( )A.a2<b2B.ab2<a2bC.<D.<8\n答案 C11.若函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是( )A.a≥3B.a=2C.a≤3D.0<a<3答案 A12.若关于x的方程x3-3x+m=0在[0,2]上有根,则实数m的取值范围是( )A.[-2,2]B.[0,2]C.[-2,0]D.(-∞,-2)∪(2,+∞)答案 A解析 m=-x3+3x,令f(x)=-x3+3x,则f′(x)=-3x2+3.令f′(x)=-3x2+3=0,得x=±1,且f(0)=0,f(1)=2,f(2)=-2.∴f(x)max=2,f(x)min=-2.∴m∈[-2,2].第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)13.()2+()2=________.答案 -4-3i14.变速直线运动的物体的速度为v(t)=1-t2(m/s)(其中t为时间,单位:s),则它在前2s内所走过的路程为________m.答案 215.数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),依次计算a2,a3,a4,然后归纳猜想出an的表达式为________.答案 an=16.已知f(x)=x3+3x2+a(a为常数)在[-3,3]上有最小值3,那么[-3,3]上f(x)的最大值是________.答案 57解析 f′(x)=3x2+6x,令f′(x)=0,得x=0或x=-2.①当0≤x≤3,-3≤x≤-2时,f′(x)≥0,f(x)单调递增;②当-2<x<0时,f(x)单调递减.8\n则最小值为f(-3)或f(0).又由f(-3)=(-3)3+3×(-3)2+a=a,f(0)=a,则a=3.所以f(x)=x3+3x2+3在x=-2或x=3处取得最大值,而f(-2)=7,f(3)=57.所以最大值为57.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知复数z1=2-3i,z2=,求(1)z1·z2; (2).解析 ∵z2=====1-3i.(1)z1·z2=(2-3i)(1-3i)=2-9-9i=-7-9i;(2)====+i.18.(12分)在曲线y=x2(x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为,试求切点A的坐标以及切线方程.解析 设点A(x0,x),函数y=x2的导函数为y′=2x,所以当x=x0导数为2x0.曲线在点A处的切线方程为y-x=2x0(x-x0),即y=2x0x-x.可得切线与x轴交于点(,0),阴影部分的面积S=x2dx-··x=x3x00-x=x=,解得x0=1.所以切点为(1,1),切线方程为y=2x-1.19.(12分)(1)求证:tan(x+)=;(2)设x∈R,a≠0,f(x)是非常数函数,且f(x+a)=.试问f(x)是周期函数吗?证明你的结论.解析 (1)tan(x+)==.8\n(2)类比猜想:f(x)是以T=4a为周期的周期函数.因为f(x+2a)=f(x+a+a)===-,所以f(x+4a)=-=f(x).所以f(x)是以T=4a为周期的周期函数.20.(12分)已知a<2,函数f(x)=(x2+ax+a)ex.(1)当a=1时,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)的极大值是6·e-2,求a的值.解析 (1)当a=1时,f(x)=(x2+x+1)ex,∴f′(x)=(x2+3x+2)ex.由f′(x)≥0,得x2+3x+2≥0,解得x≤-2或x≥-1.∴f(x)的单调递增区间是(-∞,-2],[-1,+∞).(2)f′(x)=[x2+(a+2)x+2a]ex.由f′(x)=0,得x=-2或x=-a.∵a<2,∴-a>-2.当x变化时,f′(x),f(x)变化情况列表如下:x(-∞,-2)-2(-2,-a)-a(-a,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值∴x=-2时,f(x)取得极大值.而f(-2)=(4-a)·e-2,∴(4-a)e-2=6·e-2.∴a=-2.21.(12分)设正数数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(an+),试求an,并用数学归纳法证明你的结论.解析 当n=1时,a1=(a1+),∴a1=1.当n=2时,a1+a2=(a2+),∴a2=-1(an>0).当n=3时,a1+a2+a3=(a3+),∴a3=-.8\n猜想:an=-.证明:(1)当n=1时,已证.(2)假设n=k时,ak=-成立,则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=(ak+1+)-(ak+),即ak+1-=-(ak+)=-(-+)=-2.∴ak+1=-.由(1)、(2)可知,对n∈N*,an=-.22.(12分)已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.(1)求f(x)的单调区间和极大值;(2)证明对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.解析 (1)由奇函数的定义,应有f(-x)=-f(x),x∈R,即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d,∴d=0.因此f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c.由条件f(1)=-2为f(x)的极值,必有f′(1)=0.故解得a=1,c=-3.因此f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),f′(-1)=f′(1)=0.当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0,故f(x)在区间(-∞,-1)上是增函数;当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,故f(x)在区间(-1,1)上是减函数;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)上是增函数.∴f(x)在x=-1处取得极大值,极大值为f(-1)=2.(2)由(1)知,f(x)=x3-3x(x∈[-1,1])是减函数,且f(x)在[-1,1]上的最大值M=f(-1)=2,f(x)在[-1,1]上的最小值m=f(1)=-2.8\n∴对任意的x1,x2∈(-1,1),恒有|f(x1)-f(x2)|<M-m=2-(-2)=4.8
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发布时间:2022-08-26 00:06:33
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