【高考调研】2022高中数学 课时作业11 新人教A版选修2-2

课时作业(十一)一、选择题1．函数f(x)＝x＋2cosx在区间[－，0]上的最小值是(　　)A．－　　　　　　　B．2C.＋D.＋1答案　A2．函数f(x)＝x3－3x2＋3x(－1<x<1)(　　)A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也无最小值C．无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值答案　C3．函数f(x)＝lnx－x在(0，e]上的最大值为(　　)A．－1B．1C．0D．e答案　A4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如下图，则导数y＝f′(x)的图像可能为下图中的(　　)8\n答案　D5．已知对任意实数x有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时(　　)A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0答案　B6．函数f(x)＝xcosx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图像大致是(　　)答案　A解析　∵f(x)＝xcosx，∴f′(x)＝cosx－xsinx.∴f′(－x)＝f′(x)，∴f′(x)为偶函数．∴函数图像关于y轴对称．由f′(0)＝1可排除C、D选项．8\n而f′(1)＝cos1－sin1<0，从而观察图像即可得到答案为A.二、填空题7．函数f(x)＝x2－(x<0)的最小值是________．答案　8．函数f(x)＝x2＋2ax＋1在[0,1]上的最小值为f(1)，则a的取值范围为________．答案　(－∞，－1]解析　f′(x)＝2x＋2a，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)，说明f(x)在[0,1]上单调递减，∴x∈[0,1]时f′(x)≤0恒成立．∴a≤－x，∴a≤－1.9．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间[0，]上的值域为________．答案　[，e]解析　∵x∈[0，]，∴f′(x)＝excosx≥0，∴f(0)≤f(x)≤f()．即≤f(x)≤e.10．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图像有三个相异的交点，则a的取值范围是________．答案　(－2,2)解析　f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可以得x＝1或－1.∵f(1)＝－2，f(－1)＝2，∴－2<a<2.11．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．答案　[－4，－2]解析　f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．三、解答题12．求下列各函数的最值：8\n(1)f(x)＝sin2x－x，x∈[－，]；(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正常数．解析　(1)因为f(x)＝sin2x－x，所以f′(x)＝2cos2x－1.又x∈[－，]，令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－(－，由上表可得函数f(x)的最大值为，最小值为－.(2)f′(x)＝()′－(ex)′＝－－ex＝－.当x∈[0，a]时，f′(x)<0恒成立，即f(x)在[0，a]上是减函数．故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；当x＝0时，f′(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.13．已知f(x)＝x3－x2－x＋3，x∈[－1,2]，f(x)－m<0恒成立，求实数m的取值范围．解析　由f(x)－m<0，即m>f(x)恒成立，知m>f(x)max.f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝1.8\n因为f(－)＝，f(1)＝2，f(－1)＝2，f(2)＝5，所以f(x)的最大值为5，故m的取值范围为(5，＋∞)．14．设函数f(x)＝x2ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．解析　(1)f′(x)＝xex＋x2ex＝x(x＋2)．由x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2.∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f(x)的增区间．由x(x＋2)<0，得－2<x<0.∴(－2,0)为f(x)的减区间．∴f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)；单调减区间为(－2,0)．(2)令f′(x)＝x(x＋2)＝0，得x＝0或x＝－2.∵f(－2)＝，f(2)＝2e2，f(0)＝0，∴f(x)∈[0,2e2]．又∵f(x)>m恒成立，∴m<0.故m的取值范围为(－∞，0)．15．设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g()的大小关系．解析　(1)由题设易知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋，∴g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调减区间．当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间．∴x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而也是最小值点，∴最小值为g8\n(1)＝1.(2)g()＝－lnx＋x，设h(x)＝g(x)－g()＝2lnx－x＋，则h′(x)＝－.当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g()．当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)<0，h′(1)＝0，∴h(x)在(0，＋∞)内单调递减．当0<x<1时，h(x)>h(1)＝0，即g(x)>g()；当x＝1时，g(x)＝g()；当x>1时，h(x)<h(1)＝0，即g(x)<g()．16．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)>0的x的取值范围为(1,3)．(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；(2)当x∈[2,3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x的最大值．解析　(1)由题意知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－1)(x－3)(a<0)，∴在(－∞，1)上f′(x)<0，f(x)是减函数，在(1,3)上f′(x)>0，f(x)是增函数，在(3，＋∞)上f′(x)<0，f(x)是减函数．因此f(x)在x0＝1处取得极小值－4，在x＝3处取得极大值．∴解得a＝－1，b＝6，c＝－9.∴f(x)＝－x3＋6x2－9x.∴f(x)在x＝3处取得极大值f(3)＝0.(2)g(x)＝－3(x－1)(x－3)＋6(m－2)x＝－3(x2－2mx＋3)，g′(x)＝－6x＋6m＝0，得x＝m.①当2≤m≤3时，g(x)max＝g(m)＝3m2－9；②当m<2时，g(x)在[2,3]上是递减的，g(x)max＝g(2)＝12m－21；③当m>3时，g(x)在[2,3]上是递增的，g(x)max＝g(3)＝18m－36.因此g(x)max＝8\n17．设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．解析　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m.由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g′(t)＋0－g(t)极大值1－m↘∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m，h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立，即g(t)<0在(0,2)内恒成立，即1－m<0，解得m>1，所以m的取值范围为(1，＋∞)．18．已知函数f(x)＝ax2－blnx＋在x＝x0处取得极小值1＋ln2，其导函数f′(x)的图像如图所示．求x0，a，b的值．解析　由图可知x0＝.∴当x＝时，f(x)极小值为1＋ln2.∴a－bln＋＝1＋ln2.∴a＋4bln2＝2＋4ln2.①8\n又∵f′(x)＝2ax－，∴f()＝2a×－2a＝0.∴a＝2b.②由①②解得b＝1，a＝2.8