【高考调研】2022高中数学 课时作业9 新人教A版选修2-2

课时作业(九)一、选择题1．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数(　　)A．2　　　　　　　　　　　B．1C．0D．由a确定答案　C解析　f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0恒成立．f(x)单调，故无极值点．2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个答案　A解析　导数的图像看符号，先负后正的分界点为极小值点．3．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围(　　)A．m>0B．m<0C．m>1D．m<1答案　B解析　y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0.4．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝(　　)A.B．－C．－ln2D．ln2答案　B解析　由y＝x·2x，得y′＝2x＋x·2x·ln2.令y′＝0，得2x(1＋x·ln2)＝0.8\n∵2x＞0，∴x＝－.5．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则(　　)A．0＜b＜1B．b＜1C．b＞0D．b＜答案　A解析　f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0.∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1.综上，b的范围为0＜b＜1.6．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)A．－1＜a＜2B．－3＜a＜0C．a＜－1或a＞2D．a＜－3或a＞6答案　D解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，∵f(x)有极大值和极小值，∴f′(x)＝0有两个不等实根．∴Δ＝4a2－4·3(a＋6)＞0，即(a－6)(a＋3)＞0，解得a＞6或a＜－3.7．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1,0)，则极小值为(　　)A．0B．－C．－D．1答案　A解析　f′(x)＝3x2－2px－q，由题知f′(1)＝3－2p－q＝0.又f(1)＝1－p－q＝0，联立方程组，解得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，解得x＝1或x＝.经检验知x＝1是函数的极小值点．8\n∴f(x)极小值＝f(1)＝0.8．三次函数当x＝1时，有极大值4，当x＝3时，有极小值0，且函数图像过原点，则此函数可能是(　　)A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9x答案　B解析　三次函数过原点，且四个选项中函数的最高次项系数均为1，∴此函数可设为f(x)＝x3＋bx2＋cx.则f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由题设知解得∴f(x)＝x3－6x2＋9x.∴f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．可以验证当x＝1时，函数取得极大值4；当x＝3时，函数取得极小值0，满足条件．9．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是(　　)A．(a，b)B．(a，c)C．(b，c)D．(a＋b，c)答案　A解析　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知x＝1和x＝－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，则1－1＝－，得b＝0.二、填空题10．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.答案　3解析　f′(x)＝＝＝，因为函数f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝＝0，解得a＝3.11．设函数f(x)＝x·(x－c)2在x＝2处有极大值，则c＝________.答案　68\n解析　f′(x)＝3x2－4cx＋c2，∵f(x)在x＝2处有极大值，∴f′(2)＝0，即c2－8c＋12＝0，解得c1＝2，c2＝6.当c＝2时，则f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)．当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)递增不合题意，∴c≠2，∴c＝6.12．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的编号是________．(写出所有不正确说法的编号)(1)当x＝时函数取得极小值；(2)f(x)有两个极值点；(3)c＝6；(4)当x＝1时函数取得极大值．答案　(1)解析　f′(x)的符号为正→负→正，则f(x)的单调性为增→减→增．草图如右图．三、解答题13．设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点．(1)求a和b的值；8\n(2)求f(x)的单调区间．解析　(1)f′(x)＝5x4＋3ax2＋b，由题意知f′(1)＝5＋3a＋b＝0，f′(2)＝24×5＋22×3a＋b＝0.解得a＝－，b＝20.(2)由(1)知f′(x)＝5x4－25x2＋20＝5(x2－1)(x2－4)＝5(x＋1)(x＋2)(x－1)(x－2)．当x∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(－2，－1)∪(1,2)时，f′(x)<0.因此，f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(－1,1)，(2，＋∞)；f(x)的单调递减区间是(－2，－1)，(1,2)．14．一个三次函数y＝f(x)，当x＝3时取得极小值y＝0，又在此函数的曲线上点(1,8)处的切线经过点(3,0)，求函数f(x)的表达式．解析　由题意，点(3,0)在曲线上，故可设y＝a(x－3)3＋b(x－3)2＋c(x－3)．∵当x＝3时，y取得极小值，∴y′|x＝3＝0.而y′＝3a(x－3)2＋2b(x－3)＋c，把x＝3代入得c＝0.∴y＝a(x－3)3＋b(x－3)2，y′＝3a(x－3)2＋2b(x－3)．∵曲线过点(1,8)，∴－8a＋4b＝8.①∵曲线在点(1,8)处的切线经过点(3,0)，∴该切线的斜率k＝＝－4.另一方面，应有k＝y′|x＝1，从而12a－4b＝－4.②由①②两式解得a＝1，b＝4.∴y＝(x－3)3＋4(x－3)2，即y＝x3－5x2＋3x＋9.15．已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)(1)当a＝1时，求函数f(x)在点x＝1处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值；(3)若函数f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数，试确定a的取值范围．解析　(1)当a＝1时，f(x)＝x2－lnx，f′(x)＝2x－，f′(1)＝1，又f(1)＝1，∴切线方程为y＝x.8\n(2)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－，当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)不存在极值．当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝，当x>时，f′(x)>0，当x<时，f′(x)<0,∴当x＝时，f(x)有极小值－ln.(3)∵f(x)在(2，＋∞)上递增，∴f′(x)＝2x－≥0对x∈(2，＋∞)恒成立，即a≤2x2恒成立．∴a≤8.16．求函数f(x)＝的极值．分析　首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数，利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值．解析　函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，由导数公式表和求导法则，得f′(x)＝.令f′(x)＝0，解得x＝e.下面分两种情况讨论：(1)当f′(x)>0时，0<x<e；(2)当f′(x)<0时，x>e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↘故当x＝e时函数取得极大值，且极大值为f(e)＝.17．已知函数f(x)＝3ax4－2(3a＋1)x2＋4x.(1)当a＝时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(－1,1)上是增函数，求a的取值范围．解析　(1)f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)．当a＝时，f′(x)＝2(x＋2)(x－1)2，f(x)在(－∞，－2)内单调减，在(－2，＋∞)内单调增，在x＝－2时，f(x)有极小值．8\n所以f(－2)＝－12是f(x)的极小值．(2)在(－1,1)上，f(x)单调增加，当且仅当f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)≥0，即3ax2＋3ax－1≤0，①(ⅰ)当a＝0时①恒成立；(ⅱ)当a＞0时①成立，当且仅当3a·12＋3a·1－1≤0.解得a≤.(ⅲ)当a＜0时①成立，即3a(x＋)2－－1≤0成立，当且仅当－－1≤0.解得a≥－.综上，a的取值范围是[－，]．►重点班·选做题18．已知函数f(x)＝x3－x2＋(a＋1)x＋1，其中a为实数．(1)已知函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)已知不等式f′(x)>x2－x－a＋1对任意a∈(0，＋∞)都成立，求实数x的取值范围．解析　(1)f′(x)＝ax2－3x＋a＋1，由于函数f(x)在x＝1时取得极值，所以f′(1)＝0，即a－3＋a＋1＝0，∴a＝1.(2)方法一　由题设知：ax2－3x＋a＋1>x2－x－a＋1对任意a∈(0，＋∞)都成立，即a(x2＋2)－x2－2x>0对任意a∈(0，＋∞)都成立．设g(a)＝a(x2＋2)－x2－2x(a∈R)，则对任意x∈R，g(a)为单调递增函数(a∈R)．所以对任意a∈(0，＋∞)，g(a)>0恒成立的充分必要条件是g(0)≥0，即－x2－2x≥0，∴－2≤x≤0.于是x的取值范围是{x|－2≤x≤0}．方法二　由题设知：ax2－3x＋a＋1>x2－x－a＋1对任意a∈(0，＋∞)都成立，即a(x2＋2)－x2－2x>0对任意a∈(0，＋∞)都成立．于是a>对任意a∈(0，＋∞)都成立，即≤0.所以－2≤x≤0.所以x的取值范围是{x|－2≤x≤0}．1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是(　　)8\nA．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极小值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值D．如果在点x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极大值答案　C2．根据图像指出下列函数的极值点．①y＝x＋(x≠0)；②y＝|lg|x－1||.答案　①(2,4)极小值点，(－2，－4)极大值点．②(0,0)，(2,0)极小值点．3．求函数y＝的极值．解析　∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且y′＝，令y′＝0，得x1＝－1，x2＝2.∴当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)(1,2)2(2，＋∞)y′＋0－＋0＋y极大值↘非极值故当x＝－1时，y有极大值，为－.8