五年高考真题2022届高考数学复习第五章第一节平面向量的概念及坐标运算理全国通用

考点一　平面向量的线性运算1．(2022·新课标全国Ⅰ，7)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)A.＝－＋B.＝－C.＝＋D.＝－解析　∵＝3，∴－＝3(－)，即4－＝3，∴＝－＋.答案　A2．(2022·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是(　　)A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)解析　法一　若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，则e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，因为≠，所以e1，e2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a＝(3，2)表示出来，故选B.法二　因为a＝(3，2)，若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以解得所以a＝2e1＋e2，故选B.答案　B3．(2022·天津，7)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，则λ＝(　　)6\nA.B.C.D.解析　设＝a，＝b，则|a|＝|b|＝2，且a，b＝.＝－＝(1－λ)b－a，＝－＝λa－b.·＝[(1－λ)b－a]·(λa－b)＝[λ(1－λ)＋1]a·b－λa2－(1－λ)b2＝(λ－λ2＋1)×2－4λ－4(1－λ)＝－2λ2＋2λ－2＝－.即(2λ－1)2＝0，∴λ＝.答案　A4．(2022·新课标全国Ⅱ，13)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得解得λ＝μ＝.答案　5．(2022·北京，13)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________．解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－，∴x＝，y＝－.6\n答案　　－6．(2022·新课标全国Ⅰ，15)已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．解析　由＝(＋)可知O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC＝90°，所以与的夹角为90°.答案　90°考点二　平面向量基本定理及坐标运算1．(2022·湖南，8)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，则|＋＋|的最大值为(　　)A．6B．7C．8D．9解析　由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆直径，故＋＝2＝(－4，0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1，1]，＝(x－2，y)，所以＋＋＝(x－6，y)．故|＋＋|＝，∴x＝－1时有最大值＝7，故选B.答案　B2．(2022·安徽，10)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acosθ＋bcosθ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0<r≤||≤R，r<R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则(　　)A．1<r<R<3B．1<r<3≤RC．r≤1<R<3D．1<r<3<R解析　由已知可设＝a＝(1，0)，＝b＝(0，1)，P(x，y)，则＝(，)，曲线C＝{P|＝(cosθ，sinθ)，0≤θ<2π}，即C：x2＋y2＝1，区域Ω＝{P|0<r≤||≤R，r<R}表示圆P1：(x－)2＋(y－)2＝r2与圆P2：(x－)2＋(y－)2＝R2所形成的圆环，如图所示，要使C∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r<R<3.答案　A6\n3．(2022·广东，3)若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝(　　)A．(－2，－4)B．(2，4)C．(6，10)D．(－6，－10)解析　∵＝(2，3)，＝(4，7)，∴＝＋＝－＝(2，3)－(4，7)＝(2－4，3－7)＝(－2，－4)．答案　A4．(2022·大纲全国，6)△ABC中，AB边的高为CD.若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)A.a－bB.a－bC.a－bD.a－b解析　解Rt△ABC得AB＝，AD＝.即＝＝(－)＝a－b，故选D.答案　D5．(2022·山东，12)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是(　　)A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上解析　∵C，D调和分割点A，B，∴＝λ，＝μ，且＋＝2(*)，不妨设A(0，0)，B(1，0)，则C(λ，0)，D(μ，0)，对A，若C为AB的中点，则＝，即λ＝，将其代入(*)式，得＝0，这是无意义的，故A错误；6\n对B，若D为AB的中点，则μ＝，同理得＝0，故B错误；对C，要使C，D同时在线段AB上，则0<λ<1且0<μ<1，∴>1，>1，∴＋>2，这与＋＝2矛盾；故C错误；显然D正确．答案　D6．(2022·江苏，6)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析　∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得故m－n＝2－5＝－3.答案　－37．(2022·湖南，16)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．解析　设D(x，y)，由||＝1，得(x－3)2＋y2＝1，向量＋＋＝(x－1，y＋)，故|＋＋|＝的最大值为圆(x－3)2＋y2＝1上的动点到点(1，－)距离的最大值，其最大值为圆(x－3)2＋y2＝1的圆心(3，0)到点(1，－)的距离加上圆的半径，即＋1＝1＋.答案　1＋8．(2022·北京，13)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.解析　以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，令每个小正方形的边长为1个单位，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb可得解得所以＝4.6\n答案　46