全国通用2022高考数学二轮复习大题规范天天练第三周综合限时练

星期六　(综合限时练)　2022年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟．)1．(本小题满分12分)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.(1)求角A的大小；(2)求函数y＝sinB＋sin的值域．解　(1)由＝，利用正弦定理可得2sinBcosA－sinCcosA＝sinAcosC，化为2sinBcosA＝sin(C＋A)＝sinB，∵sinB≠0，∴cosA＝，∵A∈，∴A＝.(2)y＝sinB＋sin＝sinB＋cosB＝2sin.∵B＋C＝，0＜B＜，∴＜B＜，∴＜B＋＜，∴sin∈，∴y∈(，2]．2．(本小题满分12分)据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：　　　态度调查人群　　　应该取消应该保留无所谓在校学生2100人120人y人社会人士600人x人z人而且已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．7\n解　(1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，∴＝0.05，解得x＝60，∴持“无所谓”态度的人数共有3600－2100－120－600－60＝720，∴应在“无所谓”态度抽取720×＝72人；(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人，∴在所抽取的6人中，在校学生为×6＝4人，社会人士为×6＝2人，于是第一组在校学生人数ξ＝1，2，3.P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，即ξ的分布列为：ξ123P∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.3．(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA＝AB＝AC＝2，BC＝2.(1)求证：CD⊥平面PAC；(2)如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．(1)证明　在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2，所以AB⊥AC.又AB∥CD，所以AC⊥CD.又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC.(2)解　如图，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(－2，2，0)．因为M是棱PD的中点，所以M(－1，1，1)．7\n所以＝(－1，1，1)，＝(2，0，0)．设n＝(x，y，z)为平面MAB的法向量，所以即令y＝1，则x＝0，y＝1，z＝－1，所以平面MAB的法向量n＝(0，1，－1)．因为N是在棱AB上一点，所以设N(x，0，0)，＝(－x，2，0)．设直线CN与平面MAB所成角为α，因为平面MAB的法向量n＝(0，1，－1)，所以sinα＝＝＝.解得x＝1，即AN＝1，NB＝1，所以＝1.4.已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为单位圆C2：x2＋y2＝1的直径，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆短轴的上顶点B1作直线分别与单位圆C2和椭圆C1交于A，B两点(A，B两点均在y轴的右侧)，设B2为椭圆的短轴的下顶点，求∠AB2B的最大值．解　(1)由题知b＝1，又e＝＝＝，得a2＝3，∴椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由(1)得B1(0，1)，B2(0，－1)，设过椭圆的短轴的上顶点B1的直线的方程为y＝kx＋1，由于B1B2为圆的直径，所以直线B2A的斜率k1＝－.把y＝kx＋1代入C1得B，由题意易知k＜0，且直线B2B的斜率为k2＝＝－，所以k1，k2＞0，且k1＝3k2，又△B2AB是直角三角形，所以∠AB2B必为锐角，因为与的方向向量分别为(1，k1)，(1，k2)，所以·＝(1，k1)·(1，k2)＝1＋3k，7\n又·＝·cos∠AB2B，从而cos∠AB2B＝＝＝≥，当且仅当k2＝时，cos∠AB2B取得最小值，由∠AB2B为锐角得∠AB2B的最大值为.5．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋1，g(x)＝ln(x＋1)．(1)当实数a为何值时，函数g(x)在x＝0处的切线与函数f(x)的图象相切；(2)当x∈[0，＋∞)时，不等式f(x)＋g(x)≤x＋1恒成立，求a的取值范围；(3)已知n∈N*，试判断g(n)与g′(0)＋g′(1)＋…＋g′(n－1)的大小，并证明之．解　(1)∵g(x)＝ln(x＋1)，∴g′(x)＝，g′(0)＝1，故g(x)在x＝0处的切线方程为y＝x.由得ax2－x＋1＝0，∴Δ＝1－4a＝0，∴a＝.(2)当x∈[0，＋∞)时，不等式f(x)＋g(x)≤x＋1恒成立，即ax2＋ln(x＋1)－x≤0恒成立．设h(x)＝ax2＋ln(x＋1)－x(x≥0)，只需h(x)max≤0即可．h′(x)＝2ax＋－1＝.①当a＝0时，h′(x)＝，当x＞0时，h′(x)＜0，函数h(x)在[0，＋∞)上单调递减，故h(x)≤h(0)＝0成立．②当a＞0时，由h′(x)＝0，得x＝－1或x＝0.1°－1＜0，即a＞时，在区间(0，＋∞)上，h′(x)＞0，则函数h(x7\n)在(0，＋∞)上单调递增，h(x)在(0，＋∞)上无最大值，此时不满足条件．2°若－1≥0，即0＜a≤时，函数h(x)在上单调递减，在区间上单调递增，同样h(x)在[0，＋∞)上无最大值，不满足条件．③当a＜0时，h′(x)＜0，函数h(x)在[0，＋∞)上单调递减，故h(x)≤h(0)＝0成立，综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0]．(3)结论：g(n)＜g′(0)＋g′(1)＋g′(2)＋…＋g′(n－1)．证明：当a＝0时，ln(x＋1)≤x(当且仅当x＝0时取等号)，令x＝，∴ln＜，∴ln(n＋1)－lnn＜.故有ln(n＋1)－lnn＜，lnn－ln(n－1)＜，ln(n－1)－ln(n－2)＜，……ln3－ln2＜，ln2－ln1＜1，所以ln(n＋1)＜1＋＋＋…＋，即g(n)＜g′(0)＋g′(1)＋g′(2)＋…＋g′(n－1)．6．请同学从下面所给三题中选定一题作答A．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．(1)若＝，＝，求的值；(2)若EF2＝FA·FB，证明：EF∥CD.(1)解　∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC＝∠EBF，又∵∠CED＝∠AEB，∴△CED∽△AEB，7\n∴＝＝，∵＝，＝，∴＝.(2)证明　∵EF2＝FA·FB，∴＝，又∵∠EFA＝∠BFE，∴△FAE∽△FEB，∴∠FEA＝∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC＝∠EBF，∴∠FEA＝∠EDC，∴EF∥CD.B．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D.(1)求曲线C1，C2的普通方程；(2)A(ρ1，θ)，B是曲线C1上的两点，求＋的值．解　(1)∵C1的参数方程为∴C1的普通方程为＋y2＝1.∵射线θ＝与曲线C2交于点D，∴C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，∴ρ2＝，7\n∴ρ＝，ρ＝＝，∴＋＝＋＝.C．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－a|.(1)不等式|f(x)－1|≤1的解集为A，且2∈A，3∉A，求实数a的取值范围；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2(a＞0)的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a的值．解　(1)由|f(x)－1|≤1得－1≤|x－a|－1≤1，即0≤|x－a|≤2，即－2≤x－a≤2，解得a－2≤x≤a＋2，所以a－2≤2≤a＋2，且a＋2＜3或a－2＞3，∴0≤a＜1，所以a的取值范围为[0，1)．(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)＝|2x|－2|x－a|.则h(x)＝由|f(2x＋a)－2f(x)|≤2得|h(x)|≤2，即|4x－2a|≤2⇒－2≤4x－2a≤2⇒≤x≤，由已知不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}．亦即|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}．所以解得a＝3.7