全国通用2022高考数学二轮复习第2部分大专题综合测2三角函数与平面向量含解析

2　三角函数与平面向量时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(x,2)是角θ终边上一点，且cosθ＝，则x的值为(　　)A．±3　　　B．－3C．3　　　　D．±13[答案]　C[解析]　P到原点的距离|PO|＝，由三角函数的定义及题设条件得，解之得x＝3.2．(2022·河南商丘市二模)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k的值为(　　)A．1B．－1C．2D．－2[答案]　A[解析]　a－2b＝(，3)，∵a－2b与c共线，∴()2－3k＝0，∴k＝1.3．(文)下列函数中，周期为π，且在区间[，]上单调递增的函数是(　　)A．y＝sin2xB．y＝cos2xC．y＝－sin2xD．y＝－cos2x[答案]　C(理)已知f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a、b∈R，ab≠0，若f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立，且f()＞0，则f(x)的单调递增区间是(　　)A．[kπ－，kπ＋](k∈Z)B．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)C．[kπ，kπ＋](k∈Z)D．[kπ－，kπ](k∈Z)33\n[答案]　B[解析]　用淘汰法求解．由条件f(x)≤|f()|知x＝时f(x)取得最大值或最小值，故kπ＋为单调区间的一个端点，排除C、D，又当单调区间为A时，应有f()<0，排除A，∴选B．4．(2022·太原市二模)已知a＝(x,2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则|a－b|＝(　　)A.B．C．2D．10[答案]　B[解析]　∵a⊥b，∴a·b＝2x－2＝0，∴x＝1，∴a－b＝(－1,3)，∴|a－b|＝.5．(文)函数y＝tan(x－)(0<x<4)的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则(＋)·等于(　　)A．－8B．－4C．4D．8[答案]　D[解析]　A点坐标为(2,0)，即＝(2,0)，由y＝tan(x－)的图象的对称性知A是BC的中点．∴＋＝2，∴(＋)·＝2·＝2×||2＝8.故选D．(理)(2022·江西质监)已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为△ABC内一点，且＋2＋3＝0，则·等于(　　)A．－B．－C．D．33\n[答案]　A[解析]　以AB中点O为原点，OC所在直线为y轴建立直角坐标系如图，设P(x，y)，∵＋2＋3＝(－1－x，－y)＋2(1－x，－y)＋3(－x，－y)＝(1－6x,3－6y)＝0，∴∴∴P，·＝－.6．(文)已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，则tan2α的值为(　　)A.　　　B．　　　C．　　　D．[答案]　C[解析]　∵tanα＝，∴tan2α＝＝.(理)(2022·太原市二模)已知sinα＋cosα＝，α∈，则tanα＝(　　)A．－1B．－C．D．1[答案]　D[解析]　解法1：∵sinα＋cosα＝，∴sinαcosα＝，∴＝2，即tanα＋＝2，解之得tanα＝1.解法2：∵sinα＋cosα＝，∴sin(α＋)＝1，∵α∈(－，)，∴α＝，∴tanα＝1，故选D．7．(文)函数y＝cos2(2x－)的图象向左平移个单位，所得的图象对应的函数是(　　)A．值域为[0,2]的奇函数B．值域为[0,1]的奇函数C．值域为[0,2]的偶函数33\nD．值域为[0,1]的偶函数[答案]　D[解析]　y＝cos2(2x－)＝，左移个单位后为y＝＋cos4x为偶函数，值域为[0,1]，故选D．(理)若把函数y＝sinωx的图象向左平移个单位，则与函数y＝cosωx的图象重合，则ω的值可能是(　　)A.B．C．D．[答案]　B[解析]　由条件知，＝，∴T＝，又T＝，∴ω＝.8．(2022·梧州二模)设非零向量a，b，c，满足|a|＝|b|＝|c|，|a＋b|＝|c|，则向量a，b的夹角是(　　)A.B．C．D．[答案]　C[解析]　由|a＋b|＝|c|，得|a＋b|2＝|c|2，即a2＋b2＋2a·b＝c2，又因为|a|＝|b|＝|c|，所以a·b＝－＝|a||b|cos〈a，b〉，所以cos〈a，b〉＝－，故〈a，b〉＝.9．(文)(2022·河南六市联考)若α∈，则3cos2α＝sin，则sin2α的值为(　　)A.B．－C．D．－33\n[答案]　D[解析]　由已知得3(cos2α－sin2α)＝(cosα－sinα)，∵α∈(，π)，∴cosα＋sinα＝，∴1＋2sinαcosα＝，∴sin2α＝－1＝－.(理)(2022·唐山市一模)函数f(x)＝|sinx|＋2|cosx|的值域为(　　)A．[1，]B．[1,2]C．[2，]D．[，3][答案]　A[解析]　解法1：∵f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＋2|cos(x＋π)|＝|－sinx|＋2|－cosx|＝|sinx|＋2|cosx|，∴f(x)为周期函数，其中一个周期为T＝π，故只需考虑f(x)在[0，π]上的值域即可．当x∈时，f(x)＝sinx＋2cosx＝sin(x＋α)，其中cosα＝，sinα＝，∴f(x)max＝f＝，f(x)≥f＝1.当x∈时，f(x)＝sinx－2cosx＝sin(x＋β)，其中cosβ＝，sinβ＝－，∴f(x)max＝f＝，f(x)min＝f＝1，∴f(x)的值域为[1，]．解法2：∵f(0)＝2，∴排除D；f()＝1，排除C；又0≤x≤时，f(x)＝sinx＋2cosx＝sin(x＋φ)，此时f(x)max>2，排除B，故选A.10．(文)(2022·河北衡水中学一模)已知平面向量a＝(2cos2x，sin2x)，b＝(cos2x，－2sin2x)，f(x)＝a·b，要得到y＝sin2x＋cos2x的图象，只需要将y＝f(x)的图象(　　)A．向左平行移动个单位B．向右平行移动个单位C．向左平行移动个单位D．向右平行移动个单位[答案]　D[解析]　由题意得：f(x)＝a·b＝2cos4x－2sin4x＝2(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝2cos2x＝2sin，而y＝sin2x＋cos2x＝2sin＝2sin2＋33\n，故只需将y＝f(x)的图象向右平移个单位即可．(理)(2022·昆明市质检)若将函数y＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位后，得到的图象关于直线x＝对称，则ω的最小值为(　　)A.B．1C．2D．[答案]　A[解析]　平移后所得函数解析式为y＝sinω＋＝sin，由题意得：sin＋＋＝sin的值为1或－1，故ω的最小值为，选A.11．(文)已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则·(＋)(　　)A．最大值为8B．是定值6C．最小值为2D．与P的位置有关[答案]　B[解析]　如图，∵＋＝＝2，△ABC为正三角形，∴四边形ABDC为菱形，BC⊥AO，∴在向量上的投影为，又||＝，∴·(＋)＝||·||＝6，故选B．(理)如图，已知△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上且满足＝＝2，若||＝2，||＝3，∠BAC＝120°，则·的值为(　　)A．－2B．2C．D．－[答案]　A[解析]　由条件知＝，＝，·＝2×3cos120°＝－3，33\n∴·＝(＋)·＝(＋)·＝(＋－)·＝(＋·)·＝(＋)·(－)＝·－||2＋||2＝－2.12．(文)(2022·唐山市一模)F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A,交另一条渐近线于点B．若2＝，则C的离心率是(　　)A.B．C．D．2[答案]　A[解析]　由已知得渐近线为l1：y＝x，l2：y＝－x，由条件得，F到渐近线的距离|FA|＝b，则|FB|＝2b，在Rt△AOF中，|OF|＝c，则|OA|＝＝a.设l1的倾斜角为θ，即∠AOF＝θ，则∠AOB＝2θ.在Rt△AOF中，tanθ＝，在Rt△AOB中，tan2θ＝，而tan2θ＝，即＝，即a2＝3b2，∴a2＝3(c2－a2)，∴e2＝＝，即e＝.(理)(2022·河南商丘市二模)已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝3，则弦AB中点到准线的距离为(　　)A.B．2C．D．33\n[答案]　A[解析]　由已知得F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由＝3得，(1－x1，－y1)＝3(x2－1，y2)，∴y1＝－3y2，设AB方程为：x＝my＋1，由得：y2－4my－4＝0，∴y1y2＝－4，∴y＝，y＝12，∴x1＝＝3，x2＝＝，所以AB中点到准线的距离d＝(x1＋x2＋p)＝.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．(2022·河北衡水中学一模)已知平面向量a与b的夹角等于，如果|a|＝2，|b|＝3，那么|2a－3b|等于________．[答案]　[解析]　|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×22－12×2×3×cos＋9×32＝133，∴|2a－3b|＝.14．已知函数f(x)＝cosxsinx，给出下列四个结论：①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；②f(x)的最小正周期是2π；③f(x)在区间[－，]上是增函数；④f(x)的图象关于直线x＝对称．其中正确的结论是________．[答案]　③④[解析]　f(x)＝sin2x最小正周期T＝π，对称轴x＝＋，k∈Z，令k＝1得x＝；由2kπ－≤2x≤2kπ＋得，kπ－≤x≤kπ＋，取k＝0知，f(x)在区间[－，]上为增函数，f(x)为奇函数，当x1＝－x2时，有f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2)，但f(x1)＝－f(x2)时，由周期性知不一定有x1＝－x2，故正确选项为③④.15．(文)关于平面向量a、b、c，有下列四个命题：①若a∥b，a≠0，则∃λ∈R，使b＝λa；②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；③存在不全为零的实数λ，μ，使得c＝λa＋μb；33\n④若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)．其中正确的命题序号是________．[答案]　①④[解析]　逐个判断．由向量共线定理知①正确；若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，所以②错误；在a，b能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，所以③错误；若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)，所以④正确．故正确命题序号是①④.(理)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于________．[答案]　－[解析]　AM＝1，＝2，∴||＝，||＝，∴·(＋)＝·(2)＝－2××＝－.16．(文)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且＝＝.若c＝10，则△ABC的面积是________．[答案]　24[解析]　由＝得acosA＝bcosB，由正弦定理得sin2A＝sin2B，由＝知A≠B，∴2A＝π－2B，∴A＋B＝，∴C＝，又＝，c＝10，∴b＝6，a＝8，S＝ab＝24.(理)(2022·河南八市监测)已知△ABC的内角A、B、C对应的边分别为a，b，c，且关于x的方程2a2＋2x2＋b2＝2bx＋2ax只有一个零点x0，(b＋a)cosC＋ccosA＝0，S△ABC＝sinA·sinB，则边c＝________.[答案]　1[解析]　方程2a2＋2x2＋b2＝2bx＋2ax可化为2x2－2(b＋a)x＋2a2＋b2＝0，由题意可得4(b＋a)2－8(2a2＋b2)＝0，即2a2－2ab＋b2＝0，所以(b－a)2＝0，33\n所以b＝a，又因为(b＋a)cosC＋ccosA＝0，所以3acosC＋ccosA＝0⇒3sinAcosC＋cosAsinC＝0，∴2sinAcosC＋sin(A＋C)＝0，所以2sinAcosC＋sinB＝0，∴2acosC＋b＝0⇒2acosC＋a＝0，所以cosC＝－，因为0<C<π，∴C＝π.由余弦定理：c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋2a2＋2a×a×＝5a2，所以c＝a，由于＝＝，所以a＝csinA，b＝csinB，∴S△ABC＝absinC＝×csinA×csinB×＝c2sinAsinB＝sinAsinB，∴c2＝1，∴c＝1.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)(文)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sinCcosC－cos2C＝，且c＝3.(1)求角C；(2)若向量m＝(1，sinA)与n＝(2，sinB)共线，求a、b的值．[解析]　(1)∵sinCcosC－cos2C＝，∴sin2C－cos2C＝1，∴sin(2C－)＝1，∵－<2C－<，∴2C－＝，∴C＝.(2)∵m＝(1，sinA)与n＝(2，sinB)共线，∴sinB＝2sinA，∴sin(－A)＝2sinA，∴cosA＋sinA＝2sinA，∴cosA＝sinA，即tanA＝，又0<A<，∴A＝，∴B＝.33\n在直角三角形ABC中c＝3，∴a＝，b＝.(理)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a>c，已知·＝2，cosB＝，b＝3，求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．[分析]　(1)根据数量积的定义、余弦定理联立解方程组求解．(2)根据正弦定理，结合两角差的余弦公式求解．[解析]　(1)由·＝2得c·acosB＝2.又cosB＝，所以ac＝6.由余弦定理得a2＋c2＝b2＋2accosB．又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因a>c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝＝＝.由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.因a＝b>c，所以C为锐角，因此cosC＝＝＝.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝·＋·＝.18．(本题满分12分)(文)(2022·北京理，15)已知函数f(x)＝sincos－sin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．[分析]　考查三角恒等变形；三角函数的图象与性质．先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m33\n形式，再利用周期公式T＝求出周期，第二步由于－π≤x≤0则可求出－≤x＋≤，借助正弦函数图象找出在这个范围内f(x)的最小值．[解析]　(1)f(x)＝sincos－sin2＝·sinx－·＝sinx＋cosx－＝sin－.f(x)的最小正周期为T＝2π；(2)∵－π≤x≤0，∴－≤x＋≤，当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值为－1－.(理)(2022·山东理，16)设f(x)＝sinxcosx－cos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．[解析]　f(x)＝sinx·cosx－cos2(x＋)＝sin2x－＝sin2x－＋sin2x＝sin2x－.(1)由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)，由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z.33\n∴函数f(x)的单调递减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．(2)∵f()＝0，∴sinA－＝0，∴sinA＝，∵A是锐角，∴A＝，由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，∴1＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝(2－)bc.(其中等号当且仅当b＝c时成立)∴bc≤＝2＋∴S△ABC＝bcsinA≤×(2＋)sin＝.∴△ABC面积最大值为.19．(本题满分12分)(2022·乌鲁木齐地区5月诊断)已知a＝(cosx，2cosx)，b＝(2cosx，sinx)，且f(x)＝a·B．(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若(a＋2c)cosB＝－bcosA成立，求f(A)的取值范围．[分析]　先按照向量的数量积运算求出f(x)并化为“一角一函”形式，再求第(1)问；第二问先按正弦定理化边为角或化角为边，考虑到求f(A)的取值范围，应化边为角，进行三角变换，再依据变换后的结果确定下一步．考虑结论求f(A)的范围，应先求得A的范围，故只需将sinC用sin(A＋B)代换求出B即可．[解析]　(1)∵a＝(cosx,2cosx)，b＝(2cosx，sinx)，∴f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sinxcosx＝1＋cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋)＋1.∴函数f(x)的最小正周期为π.由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，∴函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．(2)由正弦定理得：(sinA＋2sinC)cosB＝－sinBcosA，33\n∴sin(A＋B)＝－2sinCcosB，∴cosB＝－.又∵B为三角形的内角，∴B＝.∴f(A)＝2sin(2A＋)＋1.∵0<A<，∴<2A＋<，∴<sin(2A＋)≤1，∴f(A)∈(2,3]．20．(本题满分12分)(文)(2022·海南六校联盟二模)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知b(cosA－2cosC)＝(2c－a)·cosB．(1)求的值；(2)若cosB＝，△ABC的周长为5，求B．[解析]　(1)在△ABC中，有＝＝＝2R，又b(cosA－2cosC)＝(2c－a)cosB，则sinB(cosA－2cosC)＝(2sinC－sinA)cosB，即sinBcosA－2sinBcosC＝2sinCcosB－sinAcosB，∴sin(A＋B)＝2sin(B＋C)⇒sinC＝2sinA⇒＝2.(也可用余弦定理求解)(2)由(1)＝2⇒c＝2a，又a＋b＋c＝5，∴b＝5－3a.由余弦定理得：b2＝c2＋a2－2accosB，∴(5－3a)2＝(2a)2＋a2－4a2×⇒a＝1，或a＝5，当a＝1⇒b＝2，当a＝5与a＋b＋c＝5矛盾．故b＝2.(理)(2022·新课标Ⅱ理，17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．[解析]　考查1.三角形面积公式；2.正弦定理和余弦定理．(1)由△ABD和△ADC面积关系得边AB和AC的关系，进而在△ABC33\n中，利用正弦定理求解；(2)由△ABD和△ADC面积关系得BD和DC的关系，结合DC＝可求BD，分别在两个三角形中利用余弦定理求解．(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，SΔADC＝AC·ADsin∠CAD，因为SΔABD＝2SΔADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC，由正弦定理可得＝＝.(2)因为S△ABDS△ADC＝BDDC，所以BD＝.在△ABD和△ADC中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.21．(本题满分12分)(文)函数f(x)＝sinωxcosφ－cosωxsinφ(ω>0,0<φ<π)的图象过点(，0)，且相邻两条对称轴间的距离为.(1)求f(x)的表达式；(2)试求函数y＝f2(x)＋的单调增区间．[解析]　(1)由题意y＝sin(ωx－φ)，∵相邻两条对称轴间的距离为，∴T＝π＝，∴ω＝2，故f(x)＝sin(2x－φ)，又y＝f(x)的图象过点(，0)，∴2×－φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝－kπ，k∈Z，又0<φ<π，∴φ＝，f(x)＝sin(2x－)．33\n(2)y＝f2(x)＋＝sin2(x－)＋＝＋＝1－cos(2x－)，由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，解之得kπ＋≤x≤kπ＋，∴y＝f2(x)＋的增区间为[kπ＋，kπ＋]，(k∈Z)．(理)如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.(1)证明：sinα＋cos2β＝0；(2)若AC＝DC，求β.[解析]　(1)证明：∵AB＝AD，∠ABC＝β，∠CAD＝α，∴2β＝＋α，∴sinα＋cos2β＝sinα＋cos(＋α)＝sinα－sinα＝0.(2)在△ABC中，∵AC＝DC，∴sinβ＝sinα，∴sinβ＝sinα＝－cos2β＝2sin2β－.∵β∈(0，)，∴sinβ＝，∴β＝.22．(本题满分12分)(文)已知向量a＝(sinωx,2cosωx)，b＝(cosωx，－cosωx)(ω>0)，函数f(x)＝a·(b＋a)－1，且函数f(x)的最小正周期为.(1)求ω的值；(2)设△ABC的三边a、b、c满足：b2＝ac，且边b所对的角为x，若方程f(x)＝k33\n有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．[解析]　(1)∵f(x)＝a·(b＋a)－1＝(sinωx,2cosωx)·(sinωx＋cosωx,0)－1＝sin2ωx－cos2ωx－＝sin(2ωx－)－.∵T＝＝，∴ω＝2.(2)由(1)知，f(x)＝sin(4x－)－，∵在△ABC中，cosx＝≥＝，∴0<x≤，∴－<4x－≤.∴f(x)＝sin(4x－)－＝k有两个不同的实数解时，k的取值范围是(－1，)．(理)(2022·江西质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A>0，ω>0，φ∈在其一个周期内的图象最高点和最低点的坐标分别是，.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)三角形ABC的三个内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若f＝，a＝6,4sinB＝5sinC，求边b，c.[解析]　(1)由已知得A＝2，T＝2＝π，∴ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)，从而2＝2sin，∴sin(＋φ)＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z.∴φ＝2kπ－，∴可取φ＝－，∴f(x)＝2sin.(2)由f＝，得到sin＝<，又A－∈，所以cos＝，33\n所以cosA＝coscos－sinsin＝，由4sinB＝5sinC得到c＝b，根据余弦定理，得到36＝b2＋b2－2b×b×，解得b＝，c＝.反馈练习一、选择题1．(文)将函数y＝cos(x＋)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数的最小正周期为(　　)A．πB．2πC．4πD．8π[答案]　C[解析]　y＝cos(x＋)y＝cos(＋)y＝cos(＋)．∴最小正周期为T＝＝4π.(理)(2022·洛阳市期末)把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为(　　)A．x＝－B．x＝－C．x＝D．x＝[答案]　A[解析]　y＝sin(x＋)上各点横坐标缩小到原来的得到y＝sin(2x＋)的图象，再向右平移个单位得到y＝sin[2(x－)＋]，即y＝－cos2x，因此图象变换后所得函数解析式为y＝－cos2x，由选项知选A.2．(2022·山东理，4)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝(　　)33\nA．－a2B．－a2C.a2D．a2[答案]　D[解析]　BD―→·CD―→＝BD―→·BA―→＝(BA―→＋BC―→)·BA―→＝(BA―→)2＋BC―→·BA―→＝|BA―→|2＋|BC―→|·|BA―→|cos∠ABC＝a2＋a2×cos60°＝a2.故选D．3．(文)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，|φ|<)的部分图象如右图所示，则函数f(x)的表达式为(　　)A．f(x)＝sin(2x＋)B．f(x)＝sin(2x－)C．f(x)＝sin(4x＋)D．f(x)＝sin(4x－)[答案]　A[解析]　周期T＝4(－)＝π，故ω＝2，又点(，1)在图象上，代入可得φ＝，故选A.(理)如图所示为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象，其中A、B两点之间的距离为5，那么f(－1)等于(　　)A．2B．C．－D．－2[答案]　A[解析]　设函数f(x)的最小正周期为T，因为A，B两点之间的距离为5，所以＝5，解得T＝6.所以ω＝＝.又图象过点(0,1)，代入得2sinφ33\n＝1，所以φ＝2kπ＋或φ＝2kπ＋(k∈Z)．又0≤φ≤π，所以φ＝或φ＝.故f(x)＝2sin(x＋)或f(x)＝2sin(x＋)．对于函数f(x)＝2sin(x＋)，当x略微大于0时，有f(x)>2sin＝1，与图象不符，故舍去；综上，f(x)＝2sin(x＋)．故f(－1)＝2sin(－＋)＝2.故选A.4．已知向量|a|＝2，|b|＝3，a、b的夹角为120°，那么|a－b|等于(　　)A．19B．C．7D．[答案]　B[解析]　∵|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝120°，∴a·b＝|a|·|b|·cos120°＝－3，∴|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2·a·b＝4＋9－2×(－3)＝19，∴|a－b|＝.5．(文)在△ABC中，若2cosB·sinA＝sinC，则△ABC的形状一定是(　　)A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形[答案]　C[解析]　解法1：∵C＝π－(A＋B)，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝2cosBsinA.∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.∵－π<A－B<π，∴A－B＝0，即A＝B．解法2：由正弦定理sinA＝，sinC＝，cosB＝，代入条件式得2··＝，∴a2＝b2.故a＝B．(理)在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，则cosC的值为(　　)A.B．C.或D．－或[答案]　A33\n[解析]　由cosA＝>0得A为锐角，且sinA＝，sinB＝，sinA>sinB，因此B为锐角，于是cosB＝，cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝，选A.6．(2022·新课标Ⅰ文，6)设D，E，F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则＋＝(　　)A.B．C．D．[答案]　A[解析]　如图，＋＝－(＋)－(＋)＝－(＋)＝(＋)＝.选A.7．(文)如果sinα＝，那么sin(α＋)－cosα等于(　　)A.B．－C．D．－[答案]　A[解析]　sin(α＋)－cosα＝sinαcos＋cosαsin－cosα＝×＝.33\n(理)已知sinα＋cosα＝，则tanα＝(　　)A.B．C．－D．－[答案]　A[解析]　∵sinα＋cosα＝，∴sin2α＋2sinαcosα＋2cos2α＝3，∴＝3，∴＝3，∴2tan2α－2tanα＋1＝0，∴tanα＝.8．(2022·南昌市二模)将函数y＝sin的图象向左移动个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则函数y＝f(x)的一个单调递增区间是(　　)A.B．C.D．[答案]　C[解析]　由已知得：f(x)＝sin＝sin，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得：－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)知f(x)的一个单调递增区间为C.9．(文)(2022·洛阳市期末)在平面直角坐标系xOy中，点A与B关于y轴对称，若向量a＝(1，k)，则满足不等式2＋a·≤0的点A(x，y)的集合为(　　)A．{(x，y)|(x＋1)2＋y2≤1}B．{(x，y)|x2＋y2≤k2}C．{(x，y)|(x－1)2＋y2≤1}D．{(x，y)|(x＋1)2＋y2≤k2}[答案]　C[解析]　由已知得B(－x，y)，∴＝(－2x,0)，∴x2＋y2＋(－2x)≤0，即(x－1)2＋y2≤1，选C.33\n(理)(2022·河南高考适应性测试)已知O是△ABC的重心，且满足·＋·＋·＝0，则角B等于(　　)A．30°B．60°C．90°D．120°[答案]　B[解析]　由正弦定理得：＋＋＝0，又由题意得：＋＋＝0，∴＝＝，∴由余弦定理得：cosB＝＝＝，∴B＝60°.10．在△ABC中，∠A＝60°，最大边和最小边恰为方程x2－7x＋11＝0的两根，则第三边的长是(　　)A．3　　　　B．4C．5　　　　D．6[答案]　B[解析]　设最大边为x1，最小边为x2，且x1＋x2＝7，x1x2＝11.而a边不是最大边和最小边，故a2＝x＋x－2x1x2·cosA＝(x1＋x2)2－2x1x2－2x1x2cosA＝(x1＋x2)2－3x1x2＝72－3×11＝16，∴a＝4.11．(2022·山西大学附中第二次月考)△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(sinB，a＋c)，q＝(sinC－sinA，b－a)．若∃λ∈R，使p＝λq，则角C的大小为(　　)A.B．C．D．[答案]　C[解析]　由题意知，sinB＝λ(sinC－sinA)，a＋c＝λ(b－a)，∴b＝λ(c－a)，∴λ＝，∴a＋c＝(b－a)，∴c2－a2＝b2－ab，即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝，∴C＝.12．若a、b、c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)A.－1B．133\nC．D．2[答案]　B[解析]　|a＋b－c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a·c＋b·c)(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋|c|2＝1－(a·c＋b·c)≤0，∴|a＋b－c|2≤1，∴|a＋b－c|max＝1.二、填空题13．(文)(2022·北京西城区二模)已知角α的终边经过点(－3,4)，则cosα＝________；cos2α＝________.[答案]　－　－[解析]　本题考查余弦函数的概念与二倍角公式，难度较小．由题意得cosα＝＝－，则cos2α＝2cos2α－1＝－.(理)已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，若c＝2，b＝，A＋C＝3B，则sinC＝________.[答案]　[解析]　本题主要考查正弦定理及应用．由A＋C＝3B得B＝，由正弦定理知，sinC＝sinB＝.14．(文)在正三角形ABC中，D是边BC上的点，若AB＝3，BD＝1，则·＝________.[答案]　[解析]　·＝(＋)＝2＋·＝32＋3×1×cos120°＝9－＝.(理)(2022·北京东城区检测)已知非零向量a，b满足|b|＝1，a与b－a的夹角为120°，则|a|的取值范围是________．[答案]　(0，][解析]　本题考查平面向量的运算、正弦定理的应用．33\n设＝a，＝b－a，则＝b，则在△ABO中，∠OAB＝180°－120°＝60°，OB＝|b|＝1，则由正弦定理得＝，所以OA＝·sin∠OBA＝sin∠OBA，又因为∠OBA∈(0，)，所以sin∠OBA∈(0,1]，OA＝sin∠OBA∈(0，]，即|a|＝OA∈(0，]．15．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F(c,0)是右焦点，经过坐标原点O的直线l与椭圆交于点A、B，且·＝0，|－|＝2|－|，则该椭圆的离心率为________．[答案]　－1[解析]　∵|－|＝||，|－|＝||，且|－|＝2|－|，∴AB＝2AF，∵·＝0，∴FA⊥FB，∴OF＝OA＝AF，∴A(，－c)在椭圆上，∴＋＝1，∴＋＝1，∴e2＋＝1，∵0<e<1，∴e＝－1.16．(文)(2022·河北衡水中学二调)在△ABC中，边AC＝1，AB＝2，角A＝，过A作AP⊥BC于P，且＝λ＋μ，则λμ＝________.[答案]　33\n[解析]　如图，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos＝4＋1－2×2×1×(－)＝7，∴BC＝，设BP＝x，则CP＝－x，∵AB2－BP2＝AP2＝AC2－PC2，∴4－x2＝1－(－x)2，∴x＝，∴PC＝－x＝.∴＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝，μ＝，∴λμ＝.(理)(2022·杭州市质检)设P是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)右支上的任意一点，已知A(a，b)和B(a，－b)．若＝λ＋μ(O为坐标原点)，则λ2＋μ2的最小值为(　　)A.abB．C．abD．[答案]　D[解析]　本题考查平面向量的坐标运算、基本不等式，难度中等．利用坐标运算求解点P的坐标，结合基本不等式求解．由题意可得＝(aλ＋aμ，bλ－bμ)，又点P(aλ＋aμ，bλ－bμ)在双曲线C上，得(λ＋μ)2－(λ－μ)2＝1，∴λμ＝，则λ2＋μ2≥2λμ＝，当且仅当λ＝μ＝时取等号，所以λ2＋μ2的最小值为，故选D．三、解答题17．(文)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC＝(3a－c)cosB．(1)求cosB的值；(2)若·＝2，且b＝2，求a和c的值．[解析]　(1)由正弦定理得，sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，可得sinA＝3sinAcosB．33\n又sinA≠0，∴cosB＝.(2)由·＝2，可得accosB＝2.又cosB＝，∴ac＝6.由b2＝a2＋c2－2accosB，及b＝2，可得a2＋c2＝12，∴(a－c)2＝0，即a＝c.∴a＝c＝.(理)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若m＝(2b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，且m∥n.(1)求角A的大小；(2)记B＝x，作出函数y＝2sin2x＋cos的图象．[解析]　(1)由m∥n得，(2b－c)·cosA－acosC＝0，由正弦定理得：2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0，∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，∴2sinBcosA－sinB＝0，∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA＝，∴A＝.(2)y＝2sin2x＋cos(－2x)＝2sin2x＋cos2x＋sin2x＝1－cos2x＋sin2x＝sin(2x－)＋1，∵B＝x，∴由(1)知x∈(0，)．列表：x0y121函数y＝2sin2x＋cos(－2x)的图象如图所示．33\n18．(2022·东北三省四市联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，tan(A＋)＝－.(1)求角C；(2)若b－c＝－，求△ABC的面积．[解析]　(1)∵B＝，∴0<A<π，∴<A＋<π.∵tan(A＋)＝－，∴A＋＝，∴A＝.∴C＝.(2)∵B＝，C＝，∴sinB＝，sinC＝，∴cosB＝，cosC＝，∴bc＝.∵b－c＝－，∴b＝，c＝.sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝.∴S△ABC＝bcsinA＝×××＝.19．(文)已知在△ABC中，cosA＝，a、b、c分别是角A、B、C所对的边．(1)求tan2A的值；(2)若sin(＋B)＝，c＝2，求△ABC的面积．[解析]　(1)因为cosA＝，A∈(0，π)，所以sinA＝，则tanA＝.所以tan2A＝＝2.(2)由sin(＋B)＝，得cosB＝，又B∈(0，π)，所以sinB＝.则sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.33\n由正弦定理知a＝＝2，所以△ABC的面积为S＝acsinB＝.(理)在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sinBsinC的值．[解析]　(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0.即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)因为0<A<π，所以A＝(2)由S＝bcsinA＝bc·＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，所以c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝，又由正弦定理得sinBsinC＝sinA·sinA＝sin2A＝×＝.20．(2022·深圳市二调)设函数f(x)＝Acos(2x＋φ)(其中A>0,0<φ<π，x∈R)．已知x＝时，f(x)取得最小值－2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若角θ满足2sin(θ＋)＝f(θ)，且0≤θ<π，求sin(θ＋)的值．[解析]　(1)由f(x)的最小值为－2且A>0得A＝2.因为f()＝－2，所以cos(＋φ)＝－1，由0<φ<π可得<＋φ<，所以＋φ＝π，所以φ＝.故f(x)的解析式为f(x)＝2cos(2x＋)．(2)由(1)结合条件得sin(θ＋)＝cos(2θ＋)，即sin(θ＋)＝1－2sin2(θ＋)，所以2sin2(θ＋)＋sin(θ＋)－1＝0，33\n所以sin(θ＋)＝－1或sin(θ＋)＝.又0≤θ<π，所以≤θ＋<.所以sin(θ＋)＝.21．(文)(2022·安徽理，16)在△ABC中，∠A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．[分析]　考查正弦定理、余弦定理的应用．根据题意，设出△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理求出a的长度，再由正弦定理求出角B的大小，在△ABD中，利用正弦定理即可求出AD的长度．[解析]　如图，设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝3.又由正弦定理得sinB＝＝.由题设知0<B<，所以cosB＝＝＝.在△ABD中，由正弦定理得AD＝＝＝＝.(理)(2022·湖北理，17)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2πx33\nAsin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．[分析]　(1)由表中数据可得到A的值与函数的周期，从而得到ω的值，进而求得φ的值，即可得到函数f(x)的解析式．(2)由f(x)的解析式可设出g(x)的解析式，由g(x)图象的对称中心可求出符合题意的θ的最小值．[解析]　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：ωx＋φ0π2πxπAsin(ωx＋φ)050－50函数f(x)的表达式为f(x)＝5sin(2x－)．(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－)，故g(x)＝5sin(2x＋2θ－)．因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.又函数y＝g(x)的图象关于点(，0)中心对称，因此可以令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.又θ＞0，所以当k＝1时，θ取最小值.22．(文)已知向量m＝1，sinωx＋，n＝(其中ω为正常数)．(1)若ω＝1，x∈，求m∥n时tanx的值；(2)设f(x)＝m·n－2，若函数f(x)的图象的相邻两个对称中心的距离为，求f(x33\n)在区间上的最小值．[解析]　(1)m∥n时，sin＝sin，sinxcos－cosxsin＝sinxcos＋cosxsin，则sinx－cosx＝sinx＋cosx.∴sinx＝cosx，所以tanx＝＝2＋.(2)f(x)＝2sinsin＝2sincos＝2sincos＝sin.(或f(x)＝2sinsin＝2＝2＝－sin2ωx＋sin2ωx＝sin.)∵函数f(x)的图象的相邻两个对称中心的距离为，∴f(x)的最小正周期为π，又ω为正常数，∴＝π，解得ω＝1.故f(x)＝sin.因为x∈，所以－≤2x－≤.故当x＝－时，f(x)取最小值－.(理)设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且(2b－c)cosA＝acosC.(1)求角A的大小；(2)若角B＝，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．33\n[解析]　(1)∵(2b－c)cosA＝acosC，∴(2sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosA＝sinB，∵sinB≠0，∴cosA＝，∵0<A<π，∴A＝.(2)由(1)知A＝B＝，所以AC＝BC，C＝，设AC＝x，则MC＝x.又AM＝，在△AMC中，由余弦定理得，x2＋()2－2x··cos＝()2，解得x＝2，故S△ABC＝x2sin＝.33