【走向高考】2022届高中数学二轮复习 专题2 三角函数与平面向量（第2讲）课时作业 新人教A版

【走向高考】2022届高中数学二轮复习专题2三角函数与平面向量（第2讲）课时作业新人教A版一、选择题1．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是(　　)A．等腰三角形　　　　B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形[答案]　B[解析]　∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0，∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为(　　)A.B.C.或D.或[答案]　D[解析]　由(a2＋c2－b2)tanB＝ac得，·tanB＝，再由余弦定理cosB＝得，2cosB·tanB＝，即sinB＝，∴角B的值为或，故应选D.3．(文)在△ABC中，已知b·cosC＋c·cosB＝3a·cosB，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边，则cosB的值为(　　)A.B．－C.D．－[答案]　A[解析]　由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，∴sinA＝3sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB＝.(理)(2022·东北三省四市联考)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是(　　)A．－B.C.D．－[答案]　B-10-\n[解析]　由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A＋B＝，则C＝，cosC＝，故选B.4．设tanα、tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)A．－3B．－1C．1D．3[答案]　A[解析]　本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式．由已知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝＝＝－3.故选A.[点评]　运用根与系数的关系，利用整体代换的思想使问题求解变得简单．5．(2022·哈三中二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且a2－c2＝2b，＝3，则b等于(　　)A．3　　　B．4　　　　C．6　　　D．7[答案]　B[解析]　∵＝3，∴sinAcosC＝3sinCcosA，∴sinB＝sin(A＋C)＝4sinCcosA，∴b＝4c·，∴b2＝2(a2－c2)＝4b，∵b>0，∴b＝4.6．(文)函数y＝cos(x＋)＋sin(－x)具有性质(　　)A．最大值为1，图象关于点(，0)对称B．最大值为，图象关于点(，0)对称C．最大值为1，图象关于直线x＝对称D．最大值为，图象关于直线x＝对称[答案]　B[解析]　y＝－sinx＋cosx－sinx＝－(sinx－cosx)＝－sin(x－)，∴最大值为，图象关于点(，0)对称．(理)给出下列四个命题：①f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z；-10-\n②函数f(x)＝sinx＋cosx最大值为2；③函数f(x)＝sinxcosx－1的周期为2π；④函数f(x)＝sin(x＋)在[－，]上是增函数．其中正确命题的个数是(　　)A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4[答案]　B[解析]　①由2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋(k∈Z)，即f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z，正确；②由f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)知，函数的最大值为2，正确；③f(x)＝sinxcosx－1＝sin2x－1，函数的周期为π，故③错误；④函数f(x)＝sin(x＋)的图象是由f(x)＝sinx的图象向左平移个单位得到的，故④错误．二、填空题7．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．[答案]　15[解析]　设三角形的三边长分别为a－4，a，a＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)·cos120°，则a＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为S＝×6×10×sin120°＝15.8．(文)(2022·新课标Ⅱ理，14)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．[答案]　1[解析]　∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)·cosφ＋cos(x＋φ)·sinφ－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)·cosφ－cos(x＋φ)·sinφ＝sinx≤1.∴最大值为1.(理)(2022·天津理，12)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．[答案]　－[解析]　∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c，又∵b－c＝a，-10-\n∴b＝a，c＝a，∴cosA＝＝＝－.9．在△ABC中，(－3)⊥，则角A的最大值为________．[答案]　[解析]　由已知可得(－3)·＝0，·＝3·，由数量积公式可得accosB＝3abcos(π－C)＝－3abcosC，可化为ccosB＝－3bcosC，由正弦定理可得sinCcosB＝－3sinBcosC，化简得sinA＝－2sinBcosC，可得cosC<0，角C为钝角，角A为锐角，又sinA＝sin(C－B)－sin(C＋B)，即有sinA＝sin(C－B)≤，综上，0<A≤，A的最大值为.三、解答题10．(文)(2022·山东文，17)△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a＝3，cosA＝，B＝A＋.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．[解析]　(1)∵cosA＝.0<A<π.∴sinA＝.又B＝A＋.∴sinB＝sin(A＋)＝cosA＝.又a＝3.∴由正弦定理得．＝即＝∴b＝3.(2)∵cosB＝cos(A＋)＝－sinA＝－，∴在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×(－)＋×＝∴S△ABC＝absinC＝×3×3×＝.-10-\n(理)(2022·陕西理，16)已知向量a＝，b＝(sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值．[解析]　f(x)＝a·b＝sinxcosx－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)(1)f(x)的最小正周期为T＝＝π(2)∵x∈[0，]，∴2x－∈[－，]，∴sin(2x－)∈[－，1]故当2x－＝即x＝时，f(x)max＝1当2x－＝－即x＝0时，f(x)min＝－.一、选择题11．(2022·天津理，6)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)A.B.C.D.[答案]　C[解析]　本题考查了余弦定理、正弦定理．由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cos＝2＋9－2××3×＝5，∴AC＝，由正弦定理，＝，∴sinA＝＝＝.12．(文)(2022·东北三省三校二模)已知方程＝k在(0，＋∞)上有两个不同的解α、β(α<β)，则下列的四个命题正确的是(　　)-10-\nA．sin2α＝2αcos2αB．cos2α＝2αsin2αC．sin2β＝－2βsin2βD．cos2β＝－2βsin2β[答案]　C[解析]　令y＝|cosx|，y＝kx，在同一坐标系中画出它们的图象，如图所示．∵α<β，∴0<α<，<β<π，检验可知，选C.(理)(2022·新课标Ⅰ理，8)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则(　　)A．3α－β＝B．3α＋β＝C．2α－β＝D．2α＋β＝[答案]　C[解析]　本题考查了诱导公式以及三角恒等变换．运用验证法．解法1：当2α－β＝时，β＝2α－，所以＝＝＝tanα.解法2：∵tanα＝＝，∴sin(α－β)＝cosα＝sin(－α)，∵α、β∈(0，)，∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，∴α－β＝－α，∴2α－β＝.13．已知函数f(x)＝1＋cos2x－2sin2(x－)，其中x∈R，则下列结论中正确的是(　　)A．f(x)是最小正周期为π的偶函数B．f(x)的一条对称轴是x＝C．f(x)的最大值为2D．将函数y＝sin2x的图象左移得到函数f(x)的图象[答案]　D[解析]　f(x)＝cos2x＋cos(2x－)＝cos2x＋cos2x＋sin2x-10-\n＝sin(2x＋)，故选D.14．(文)函数f(x)＝sin(x＋)＋asin(x－)的一条对称轴方程为x＝，则a＝(　　)A．1B.C．2D．3[答案]　B[解析]　由题意得f(x)＝sin(x＋)＋asin[(x＋)－]＝sin(x＋)－acos(x＋)，若x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴，则由对称轴的意义可得f()＝cos＋asin＝，解得a＝.(理)在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x、y的大小关系为(　　)A．x≤yB．x<yC．x>yD．x≥y[答案]　C[解析]　y－x＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，∵△ABC为锐角三角形，∴cosC>0，∴y－x<0，∴y<x.15．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，g(x)＝sinx－cosx，下列四个命题：①将f(x)的图象向右平移个单位可得到g(x)的图象；②y＝f(x)g(x)是偶函数；③y＝是以π为周期的周期函数；④对于∀x1∈R，∃x2∈R，使f(x1)>g(x2)．其中真命题的个数是(　　)A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4[答案]　C[解析]　∵f(x)＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，g(x)＝sinx－cosx＝sin(x－)，∴将f(x)的图象向右平移个单位，可以得到g(x)的图象，故①为真命题；又y＝f(x)·g(x)＝sin2x－cos2x＝－cos2x为偶函数，故②为真命题；y＝＝＝＝－tan(x＋)，故其最小正周期为π，∴③为真命题；取x1＝，则f(x1)＝sin(＋)＝－，∵∀x2∈R都有g(x2)≥－，∴不存在x2∈R，使f()>g(x2)，故选C.二、填空题16．(文)在△ABC中，sin2C＝sinAsinB＋sin2B，a＝2b，则角C＝________.-10-\n[答案]　[解析]　由正弦定理知c2＝ab＋b2，所以cosC＝＝＝＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝.(理)(2022·福建理，12)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．[答案]　2[解析]　本题考查正弦定理及三角形的面积公式，由正弦定理得，＝，∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，S＝×2×2＝2.三、解答题17．(文)(2022·浙江文，18)在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinB＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．[解析]　(1)由2asinB＝b及正弦定理＝，得sinA＝.因为A是锐角，所以A＝.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36，即(b＋c)2－3bc＝36.又b＋c＝8，所以bc＝.由三角形面积公式S＝bcsinA，得△ABC的面积为.(理)(2022·北京理，15)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．[解析]　(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得＝，所以＝，故cosA＝.-10-\n(2)由(1)知cosA＝，所以sinA＝＝.又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.所以sinB＝＝，在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.所以c＝＝5.18．(文)(2022·唐山市一模)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA＝a.(1)求sinB的值；(2)若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA－cosC的值．[解析]　(1)由4bsinA＝a，根据正弦定理得4sinBsinA＝sinA，所以sinB＝.(2)由已知得2b＝a＋c，由正弦定理以及(1)得，sinA＋sinC＝.①设cosA－cosC＝x，②①2＋②2，得2－2cos(A＋C)＝＋x2.③又由条件知a＜b＜c，∴A＜B＜C，所以0°＜B＜90°，cosA＞cosC，故cos(A＋C)＝－cosB＝－，且x>0.代入③式得x2＝.因此cosA－cosC＝.(理)已知△ABC中，a，b,c分别为角A，B，C的对边，a2＋b2<c2，且sin(2C－)＝.(1)求角C的大小；(2)求的取值范围．[解析]　(1)∵a2＋b2<c2，∴cosC＝<0，∴<C<π，故π<2C<2π，由sin(2C－)＝，得cos2C＝－，-10-\n∴2C＝，即C＝；(2)＝＝＝＝sin(A＋)，由C＝，知0<A<，故<A＋<，∴<sin(A＋)≤1，∴·<≤，即1<≤.-10-