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大纲版数学高考名师一轮复习教案94二面角及平面的垂直microsoftword文档doc高中数学
大纲版数学高考名师一轮复习教案94二面角及平面的垂直microsoftword文档doc高中数学
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9.4二面角及平面的垂直一、明确复习目标1.掌握两平面垂直的判定和性质,并用以解决有关问题2.掌握二面角及其平面角的概念,能灵活作出二面角的平面角,并能求出大小3.在研究垂直和求二面角的问题时,要能灵活运用三垂线定理及逆定理二.建构知识网络1.二面角、平面角的定义——;范围:.两个平面相交成900二面角时,叫两个平面垂直.2.判定两平面垂直的方法:①利用“面面垂直的定义”,即证“两平面所成的二面角是直二面角;②利用“面面垂直的判定定理”,即由“线面垂直Þ面面垂直”.3.二面角的平面角的作法:①直接利用定义;②利用三垂线定理及其逆定理;③作棱的垂面.三、双基题目练练手1.在三棱锥A—BCD中,假设AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD是锐角三角形,那么必有()A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCD15/15\nD.平面ABC⊥平面BCD2.设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面.考察以下命题,其中正确的命题是()3.设两个平面α、β,直线l,以下三个条件:①l⊥α;②l∥β;③α⊥β,假设以其中两个作为条件,另一个作为结论,可构成正确命题的个数是()A.3B.2C.1D.04.P为△ABC所在平面外的一点,那么点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是A.PA=PB=PCB.PA⊥BC,PB⊥AC()C.点P到△ABC三边所在直线距离相等D.平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等5.如图在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足__________时,平面MBD⊥平面PCD.6.夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°,过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线,那么两垂足间的距离为_____________.◆答案提示:1-4.CBBB;5.MD⊥PC或MB⊥PC;6.a15/15\n四、典型例题做一做【例1】如以以下图,在三棱锥S—ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.(1)求证:AB⊥BC;(2)假设设二面角S—BC—A为45°,SA=BC,求二面角A—SC—B的大小.ABCSEH证明(1):作AH⊥SB于H,∵平面SAB⊥平面SBC,∴AH⊥平面SBC.,又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC.SA∩SB=S,∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.解(2):∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC.∴平面SAB⊥BC,∠SBA为二面角S—BC—A的平面角.∴∠SBA=45°.设SA=AB=BC=a.作AE⊥SC于E,连结EH.由(1)知AH⊥平面SBC,∴AE在面SBC内的射影EH⊥SC,∠AEH为二面角A—SC—B的平面角,AH=a,AC=a,SC=a,AE=a,∴sin∠AEH=,二面角A—SC—B为60°.【例2】已知正三棱柱ABC—A1B1C1,假设过面对角线AB1且与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D.15/15\n(1)确定D的位置,并证明你的结论;(2)证明:平面AB1D⊥平面AA1D;(3)假设AB∶AA1=,求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小.C1_B1_A1_BCA分析:此题结论不定,是“开放性”的,点D位置确实定如果仅凭已知条件推理难以得出.由于AB1与BC1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线,于是可考虑将BC1沿BA平行移动,BC1取AE1位置,那么平面AB1E1一定平行BC1,问题可以解决.(1)解:如以以下图,将正三棱柱ABC—A1B1C1补成一直平行六面体ABCE—A1B1C1E1,由AE1∥BC1,AE1平面AB1E1,知BC1∥平面AB1E1,故平面AB1E1应为所求平面,此时平面AB1E1交A1C1于点D,由平行四边形对角线互相平行性质知,D为A1C1的中点.AE1B1C1BCEDA1(2)证明:连结B1D,那么B1D⊥A1C1;从直三棱柱定义知AA1⊥底面A1B1C1,∴AA1⊥B1D,又A1D∩AA1=A1,∴B1D⊥平面AA1D,又B1D平面AB1D,∴平面AB1D⊥平面AA1D.(3)解:因为平面AB1D∩平面AA1D=AD,所以过A1作A1H⊥AD于点H.作HF⊥AB1于点F,连结A1F,从三垂线定理知A1F⊥AB1.15/15\n故∠A1FH是二面角A1—AB1—D的平面角.设侧棱AA1=1,侧棱AB=.于是AB1==.在Rt△AB1A1中,A1F===,在Rt△AA1D中,AA1=1,A1D=A1C1=,AD==. ∴A1H==.在Rt△A1FH中,sin∠A1FH==,∴∠A1FH=45°.因此知平面AB1D与平面AB1A1所成角为450或1350.【例3】在四棱锥P-ABCD中,已知ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,设PA=AB=1,BC=2,求二面角B-PC-D的大小.解析1.定义法 过D作DE⊥PC于E,过E作EF⊥PC,交BC于F,连接FD,那么是所求二面角B-PC-D的平面角.求解二面角B-PC-D的大小,只需解△DEF即可.所求角为15/15\nBDPCAEF解析一解析2.垂面法 易证面PAB⊥面PBC,过A作AM⊥BP于M,显然AM⊥面PBC,从而有AM⊥PC,同法可得AN⊥PC,再由AM与AN相交与A得PC⊥面AMN.设面AMN交PC于Q,那么为二面角B-PC-D的平面角;∠MAN为它的补角,在三角形AMN中可解.计算较繁.BDPCAMNQ解析二解析3.利用三垂线求解把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC,显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补,转化为求二面角E-PC-D.易证面PEDA⊥PDC,过E作EF⊥PD于F,显然PF⊥面PDC,在面PCE内,过E作EG⊥PC于G,连接GF,由三线得GF⊥PC即为二面角E-PC-D的平面角,只需解△EFG即可.15/15\nBDPCA解析三EFG解析4.射影面积法。由解析3知,△PFC为△PEC在面PDC上的射影,由射影面积公式得,所求角为BDPCA解析四EFG解析5.在面PDC内,分别过D、B作DE⊥PC于E,BF⊥PC于F,连接EF即可.利用平面知识求BF、EF、DE的长度,再利用空间余弦定理求出q即可.BDPCA解析五EF◆思悟提炼:想一想求二面角都用了哪些方法:【例4】由一点S引不共面的三条射线SA、SB、SC,设ÐASB=a,ÐBSC=b,ÐASC=g,其中a,b,g均为锐角,那么平面ASB^平面BSC的充要条件是cosa×cosb=cosg.证明:必要性.如图(1),过点A作AD^SB于D.15/15\n∵平面ASB^平面BSC,∴AD^平面BSC.过D作DE^SC于E,连AE,那么AE^SC.在Rt△ADS中,cosa=;在Rt△DES中,cosb=;(1)gbaESDABC例3.在Rt△AES中,cosg=,由此可得cosa×cosb=×==cosg.必要性得证.充分性.如图2,过点A作AA1^SB于A1,过点A1作A1C1^SC于C1.在Rt△AA1S中,cosa=;在Rt△A1C1S中,cosb=;∵cosg=cosa×cosb=×=,∴SC1=SA×cosg.(2)bgaC1¢C1SA1ABC过A作AC1¢^SC,垂足为C1¢,在Rt△AC1¢S中,SC1¢=SA×cosg.15/15\n由此得SC1¢=SC1,即C1¢与C1重合,故SC^AC1.而SC^A1C1,且AC1IA1C1=C1,∴SC^平面AA1C1,∴SC^AA1.又∵SB^AA1,SBISC=S,∴AA1^平面BSC,而AA1Ì平面ASB,∴平面ASB^平面BSC.充分性得证.五.提炼总结以为师1.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化和应用.2.求二面角的方法是:①找(或作)平面角,②用射影法:cosθ=;③用异面直线上两点间距离公式.3.作平面角的方法:(1)定义法(2)三垂线定理;(3)垂面法.同步练习9.4二面角、面面垂直【选择题】1.PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A、B的任一点,那么以下关系不正确的选项是()APA⊥BCBAC⊥PBCPC⊥BCDBC⊥平面PAC15/15\n2.在边长为a的正三角形ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B—AD—C后,BC=a,且二面角B—AD—C的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°3.在1200的二面角内,有一点P到面α、β的距离分别是6和9,那么点P到棱l的距离等于()A.3B.C.2D.12【填空题】4.设a、b是异面直线,α、β是两个平面,且a⊥α,b⊥β,aβ,bα,那么当_______(填上一种条件即可)时,有α⊥β.5.(2022浙江)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于E(如图).现将△ADE沿DE折起,使二面角A-DE-B为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,那么M、N的连线与AE所成角的大小等于_________.6.一条直线与直二面角的两个面所成的角分别是α和β,那么α+β的范围是_____.◆答案提示:1-3.BCB;4.a⊥b;5.;6.[0°,90°];提示:3.l⊥平面PAB于C,PC是ΔPAB外接圆直径,用余、正弦定理.【解答题】15/15\n7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形ABC为等腰直角三角形,且∠ABC=90ο,E为C1C的中点,F是BB1上是BF=BB1,AC=AA1=2,求平面EFA与面ABC所成角的大小答案:arctan8.已知矩形ABCD中,AB=1,BC=(>0),PA⊥面ABCD,PA=1(1)问BC边上是否存在一点Q,使得PQ⊥QD并且说明理由(2)假设BC边上有且只有一个点Q使得PQ⊥QD,求这时二面角Q—PD—A大小DBACPQ解:(1)a=2时只有一点;a>2时有两点;a<2时没有点;(2)arctan9.(2022天津)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(Ⅰ)证明PA//平面EDB;(Ⅱ)证明PB⊥平面EFD;(Ⅲ)求二面角C—PB—D的大小.15/15\n(1)证明:连结AC,AC交BD于O,连结EO.∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点在中,EO是中位线,∴PA//EO而平面EDB且平面EDB,所以,PA//平面EDB(2)证明:∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,∴.①同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.而平面PDC,∴.②由①和②推得平面PBC.而平面PBC,∴又且,所以PB⊥平面EFD.15/15\n(3)解:由(2)知,,故是二面角C—PB—D的平面角.由(2)知,.设正方形ABCD的边长为a,那么,,,.在中,.在中,,∴,二面角C—PB—D的大小为.10.(2022福建)如图,直二面角D—AB—E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)求证AE⊥平面BCE;(Ⅱ)求二面角B—AC—E的大小;(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.15/15\n分析:本小题主要考察直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等根底知识,考察空间想象能力,逻辑思维能力与运算能力.解法一:(Ⅰ)平面ACE..∵二面角D—AB—E为直二面角,且,平面ABE.(Ⅱ)连结BD交AC于C,连结FG,∵正方形ABCD边长为2,∴BG⊥AC,BG=,平面ACE,由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.是二面角B—AC—E的平面角.由(Ⅰ)AE⊥平面BCE,又,∴在等腰直角三角形AEB中,BE=.15/15\n又直角,∴二面角B—AC—E等于(Ⅲ)过点E作交AB于点O.OE=1.∵二面角D—AB—E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h,平面BCE,∴点D到平面ACE的距离为15/15
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发布时间:2022-08-25 16:09:14
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