江西省高安灰埠中学2022年高考数学复习专题解析几何理

江西省高安灰埠中学2022年高考数学复习专题解析几何理1.如图15所示，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．图15解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2，∴a＝2，b＝1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得xP＝，从而yP＝，∴点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)．∵AP⊥AQ，∴AP·AQ＝0，即[k－4(k＋2)]＝0，∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.27\n经检验，k＝－符合题意，故直线l的方程为y＝－(x－1)．方法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，比照方法一给分．2.如图15所示，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．图15解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2，∴a＝2，b＝1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得xP＝，从而yP＝，∴点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)．∵AP⊥AQ，∴AP·AQ＝0，即[k－4(k＋2)]＝0，∵k≠0，27\n∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.经检验，k＝－符合题意，故直线l的方程为y＝－(x－1)．方法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，比照方法一给分．3.设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)．由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.又b2＝a2－c2，则＝，所以椭圆的离心率e＝.(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.故椭圆方程为＋＝1.设P(x0，y0)．由F1(－c，0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①又因为点P在椭圆上，所以＋＝1.②由①和②可得3x＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c.代入①得y0＝，即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，进而圆的半径r＝＝c.设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.由l与圆相切，可得＝27\nr，即＝c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±，所以直线l的斜率为4＋或4－.4.如图16，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.图16解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)，由消去y得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0.由于l与C只有一个公共点，故Δ＝0，即b2－m2＋a2k2＝0，解得点P的坐标为.又点P在第一象限，故点P的坐标为P.(2)由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线l1的距离d＝，整理得d＝.因为a2k2＋≥2ab，所以≤＝a－b，当且仅当k2＝时等号成立．所以，点P到直线l1的距离的最大值为a－b.5.如图14所示，设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．27\n图14解：(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c2＝a2－b2.由＝2得|DF1|＝＝c.从而S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c2＝，故c＝1.从而|DF1|＝，由DF1⊥F1F2得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，因此|DF2|＝，所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，故a＝，b2＝a2－c2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1>0，y2>0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2，|P1P2|＝2|x1|.由(1)知F1(－1，0)，F2(1，0)，所以＝(x1＋1，y1)，＝(－x1－1，y1)．再由F1P1⊥F2P2得－(x1＋1)2＋y＝0.由椭圆方程得1－＝(x1＋1)2，即3x＋4x1＝0，解得x1＝－或x1＝0.当x1＝0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在．当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2.又|CP1|＝|CP2|，故圆C的半径|CP1|＝|P1P2|＝|x1|＝.6.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)A.B.C．3D．2A　[解析]设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，r1>r2，椭圆的长半轴长为a127\n，双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，平方得4a＝r＋r＋2r1r2，4a＝r－2r1r2＋r.又由余弦定理得4c2＝r＋r－r1r2，消去r1r2，得a＋3a＝4c2，即＋＝4.所以由柯西不等式得＝≤＝.所以＋≤.故选A.7.设双曲线C经过点(2，2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．11.－＝1　y＝±2x　[解析]设双曲线C的方程为－x2＝λ，将(2，2)代入得－22＝－3＝λ，∴双曲线C的方程为－＝1.令－x2＝0得渐近线方程为y＝±2x.8.已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝(　　)A.B.C.D.A　[解析]根据题意，|F1A|－|F2A|＝2a，因为|F1A|＝2|F2A|，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a.又因为双曲线的离心率e＝＝2，所以c＝2a，|F1F2|＝2c＝4a，所以在△AF1F2中，根据余弦定理可得cos∠AF2F1＝＝＝.9.已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.(1)求双曲线E的离心率．(2)如图16，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．27\n图16解：方法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以＝2，所以＝2，故c＝a，从而双曲线E的离心率e＝＝.(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8，所以|OC|·|AB|＝8，因此a·4a＝8，解得a＝2，此时双曲线E的方程为－＝1.若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．27\n设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得y1＝，同理得y2＝.由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得·＝8，即m2＝4＝4(k2－4)．由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.因为4－k2<0，所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．又因为m2＝4(k2－4)，所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.方法二：(1)同方法一．(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意得－<m<.由得y1＝，同理得y2＝.设直线l与x轴相交于点C，则C(t，0)．由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|＝8，得|t|·＝8.所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．由得(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.因为4m2－1<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，即4m2a2＋t2－a2＝0,即4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0，即(1－4m2)(a2－4)＝0，所以a2＝4，因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.方法三：(1)同方法一．(2)当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意得k>2或k<－2.由得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0，27\n因为4－k2<0，Δ>0，所以x1x2＝，又因为△OAB的面积为8，所以|OA|·|OB|·sin∠AOB＝8，又易知sin∠AOB＝，所以·＝8，化简得x1x2＝4.所以＝4，即m2＝4(k2－4)．由(1)得双曲线E的方程为－＝1，由得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0.因为4－k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4，所以双曲线E的方程为－＝1.当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：－＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.10.若实数k满足0<k<9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等4．A　[解析]本题考查双曲线的几何性质，注意利用基本量的关系进行求解．∵0<k<9，∴9－k>0，25－k>0.对于双曲线－＝1，其焦距为2＝2；对于双曲线－＝1，其焦距为2＝2.所以焦距相等．11.如图17，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q27\n两点时，求四边形APBQ面积的最小值．图17解：(1)因为e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b，0)，F4(b，0)，于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝，y1y2＝.因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0.由得(2－m2)x2＝4，所以2－m2>0，且x2＝，y2＝，从而|PQ|＝2＝2.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.27\n又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝＝2·.而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取最小值2.综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.12.如图17所示，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．图17(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．解：(1)设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝.由题意，直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，所以B.又直线OA的方程为y＝x，则A，所以kAB＝＝.又因为AB⊥OB，所以·＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1.(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝(y0≠0)．因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x＝的交点为N，，则＝＝＝27\n·.又P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，代入上式得＝·＝·＝，所以＝＝，为定值．13.已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)A.B．3C.mD．3mA　[解析]双曲线的一条渐近线的方程为x＋y＝0.根据双曲线方程得a2＝3m，b2＝3，所以c＝，双曲线的右焦点坐标为(，0)．故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为＝.14.已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)A.x±y＝0B.x±y＝0C.x±2y＝0D.2x±y＝0．A　[解析]椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝.由e1e2＝·＝×＝，解得＝，所以＝，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x.故选A.15.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1A　[解析]由题意知，双曲线的渐近线为y＝±x，∴＝2.∵双曲线的左焦点(－c，0)在直线l上，∴0＝－2c＋10，∴c＝5.又∵a2＋b2＝c2，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的方程为－＝1.16．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．.　[解析]双曲线的渐近线为y＝±x，渐近线与直线x－3y＋m＝027\n的交点为A，B.设AB的中点为D，由|PA|＝|PB|知AB与DP垂直，则D，kDP＝－3，解得a2＝4b2，故该双曲线的离心率是.17.设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)A.B.C.D．3B　[解析]不妨设P为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，联立|PF1|＋|PF2|＝3b，平方相减得|PF1|·|PF2|＝，则由题设条件，得＝ab，整理得＝，∴e＝＝＝＝.18.曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．y＝－5x＋3　[解析]本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y′＝－5e－5x，所以切线的斜率k＝－5e0＝－5，所以切线方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3.19.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)A.B.C.D.D　[解析]因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2，3)在准线上，所以p＝4.设直线AB的方程为x＋2＝m(y－3)，与抛物线方程y2＝8x联立得到y2－8my＋24m＋16＝0，由题易知Δ＝0，解得m＝－(舍)或者m＝2，这时B点的坐标为(8，8)，而焦点F的坐标为(2，0)，故直线BF的斜率kBF＝＝.20.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝(　　)27\nA.B．3C.D．2B　[解析]由题知F(2，0)，设P(－2，t)，Q(x0，y0)，则FP＝(－4，t)，＝(x0－2，y0)，由FP＝4FQ，得－4＝4(x0－2)，解得x0＝1，根据抛物线定义得|QF|＝x0＋2＝3.21.如图14，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1＞0)和E2：y2＝2p2x(p2＞0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．图14(1)证明：A1B1∥A2B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点，记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，则由得A1，由得A2.同理可得B1，B2.所以＝＝2p1，＝＝2p2.故＝，所以A1B1∥A2B2(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2，所以△A1B1C1∽△A2B2C2，因此＝.27\n又由(1)中的＝||知，＝，故＝.22.在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x<0)．依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③(i)若由②③解得k<－1或k>.即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点．故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．(ii)若或由②③解得k∈或－≤k<0.即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点．当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．(iii)若由②③解得－1<k<－或0<k<.即当k∈∪时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．综上可知，当k∈∪∪{0}时，直线l与轨迹C27\n恰好有一个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．23.如图14，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝________．图141＋　[解析]依题意可得C，F，代入抛物线方程得a＝p，b2＝2a，化简得b2－2ab－a2＝0，即2－2－1＝0，解得＝1＋.24.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2，所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)，|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．又直线l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，27\n则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．故线段MN的中点为E，|MN|＝|y3－y4|＝.由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即4(m2＋1)2＋＋＝，化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.25.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)A.B.C.D.D　[解析]抛物线的焦点为F，则过点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝，即x＝y＋，代入抛物线方程得y2－3y－＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3，y1y2＝－，则S△OAB＝|OF||y1－y2|＝××＝.26.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程．(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知F.设D(t，0)(t>0)，则FD的中点为.因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋＝，解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．27\n由＝3，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)①证明：由(1)知F(1，0)．设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD>0)．因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2，0)．故直线AB的斜率kAB＝－.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y＝－x＋b，代入抛物线方程得y2＋y－＝0，由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.当y≠4时，kAE＝＝－＝，可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)，由y＝4x0，整理可得y＝(x－1)，直线AE恒过点F(1，0)．当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)．所以直线AE过定点F(1，0)．②由①知，直线AE过焦点F(1，0)，所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.设直线AE的方程为x＝my＋1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m＝.设B(x1，y1)．直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)，由y0≠0，得x＝－y＋2＋x0.代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0，27\n所以y0＋y1＝－，可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.所以点B到直线AE的距离为d＝＝＝4，则△ABE的面积S＝×4x0＋＋2≥16，当且仅当＝x0，即x0＝1时，等号成立．所以△ABE的面积的最小值为16.27.如图15所示，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．图15解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2，∴a＝2，b＝1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．27\n由求根公式，得xP＝，从而yP＝，∴点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)．∵AP⊥AQ，∴AP·AQ＝0，即[k－4(k＋2)]＝0，∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.经检验，k＝－符合题意，故直线l的方程为y＝－(x－1)．方法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，比照方法一给分．28.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2，所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)，|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．又直线l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，27\n并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．故线段MN的中点为E，|MN|＝|y3－y4|＝.由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即4(m2＋1)2＋＋＝，化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.29.如图14，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1＞0)和E2：y2＝2p2x(p2＞0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．图14(1)证明：A1B1∥A2B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点，记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，则由得A1，由得A2.27\n同理可得B1，B2.所以＝＝2p1，＝＝2p2.故＝，所以A1B1∥A2B2(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2，所以△A1B1C1∽△A2B2C2，因此＝.又由(1)中的＝||知，＝，故＝.30.已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，得t＝±，故直线AB的方程为x＝±.圆心O到直线AB的距离d＝，此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝(x－t)，即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.27\n圆心O到直线AB的距离d＝.又x＋2y＝4，t＝－，故d＝＝＝.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．31.已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.(1)求双曲线E的离心率．(2)如图16，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．图16解：方法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以＝2，所以＝2，故c＝a，从而双曲线E的离心率e＝＝.(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8，27\n所以|OC|·|AB|＝8，因此a·4a＝8，解得a＝2，此时双曲线E的方程为－＝1.若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得y1＝，同理得y2＝.由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得·＝8，即m2＝4＝4(k2－4)．由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.因为4－k2<0，所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．又因为m2＝4(k2－4)，所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.方法二：(1)同方法一．(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意得－<m<.27\n由得y1＝，同理得y2＝.设直线l与x轴相交于点C，则C(t，0)．由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|＝8，得|t|·＝8.所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．由得(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.因为4m2－1<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，即4m2a2＋t2－a2＝0,即4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0，即(1－4m2)(a2－4)＝0，所以a2＝4，因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.方法三：(1)同方法一．(2)当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意得k>2或k<－2.由得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0，因为4－k2<0，Δ>0，所以x1x2＝，又因为△OAB的面积为8，所以|OA|·|OB|·sin∠AOB＝8，又易知sin∠AOB＝，所以·＝8，化简得x1x2＝4.所以＝4，即m2＝4(k2－4)．由(1)得双曲线E的方程为－＝1，由得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0.因为4－k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4，所以双曲线E的方程为－＝1.当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：－＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.27\n32.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．33.在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．．解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x<0)．依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③(i)若由②③解得k<－1或k>.即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点．故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．(ii)若或由②③解得k∈或－≤k<0.即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点．当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．(iii)若由②③解得－1<k<－或0<k<.即当k∈∪时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．综上可知，当k∈∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪27\n时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．27