河北高考数学一轮复习知识点攻破习题函数的单调性doc高中数学

函数的单调性时间：45分钟　　　　分值：100分一、选择题(每题5分，共30分)1．(2022·福建高考)以下函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是(　　)A．f(x)＝　　　　　　B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)解析：∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．应选A.答案：A2．(2022·辽宁高考)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，那么满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　)A.B.C.D.解析：f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上递增，∴f(2x－1)<f⇔|2x－1|<⇔<x<.应选A.答案：A3．函数y＝loga(x2＋2x－3)，当x＝2时y>0，那么此函数的单调递减区间是(　　)A．(－∞，－3)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1，＋∞)解析：当x＝2时，y＝loga5>0，∴a>1，由x2＋2x－3>0⇒x<－3或x>1，易见函数t＝x2＋2x－3在(－∞，－3)上递减，故函数y＝loga(x2＋2x－3)(其中a>1)也在(－∞，－3)上递减．答案：A4．已知f(x)＝loga[(3－a)x－a]是其定义域上的增函数，那么a的取值范围是(　　)A．(0,1)B．(1,3)C．(0,1)∪(1,3)D．(3，＋∞)解析：由题知，或，解得1<a<3.应选B.答案：B5．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，，那么函数f(x)在(1,2)上(　　)A．是增函数，且f(x)<0B．是增函数，且f(x)>0C．是减函数，且f(x)<0D．是减函数，且f(x)>0解析：4/4\n答案：D6．(2022·河南六市一模)奇函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，f(2)＝0，那么不等式(x－1)f(x＋1)>0的解集为(　　)A．(－2，－1)∪(1,2)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－3，－1)D．(－2,0)∪(2，＋∞)解析：奇函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递减，由f(2)＝0得f(－2)＝0，那么不等式(x－1)f(x＋1)>0，即或其解集为(－3，－1)，应选C.答案：C二、填空题(每题5分，共20分)7．函数y＝ln的单调递增区间是__________．解析：此题考察复合函数单调区间确实定；据题意需>0即函数定义域为(－1,1)，原函数的递增区间即为函数u(x)＝在(－1,1)上的递增区间，由于u′(x)＝()′＝>0.故函数u(x)＝在(－1,1)上的递增区间即为原函数的递增区间．答案：(－1,1)8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是__________．解析：y＝－(x－3)|x|＝图1作出该函数的图象，观察图象知递增区间为.答案：9．假设函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，那么f(x)的单调递增区间为__________．解析：当x∈(0，)时，0<2x2＋x<1，又f(x)>0，那么0<a<1.由2x2＋x>0，解得：x<－或x>0，那么f(x)的递增区间为(－∞，－)．答案：(－∞，－)10．(2022·湖南高考)已知函数f(x)＝(a≠1)．(1)假设a>0，那么f(x)的定义域是________；(2)假设f(x)在区间(0,1]上是减函数，那么实数a的取值范围是________．解析：(1)∵a>0且a≠1，要使f(x)有意义，只需3－ax≥0，即x≤.4/4\n∴x∈；(2)假设a＝0，f(x)＝－不合题意；假设a<0，y＝是(0,1]上的增函数，且a－1<0，∴f(x)是(0,1]上的减函数；假设a>0，∵y＝是(0,1]上的减函数，故需a－1>0，∴a>1，另一方面，f(x)的定义域为，∴≥1，∴a≤3，∴a∈(1,3]．综上知a∈(－∞，0)∪(1,3]．答案：(1)　(2)(－∞，0)∪(1,3]三、解答题(共50分)11．(15分)已知函数f(x)＝(x∈R)，求f(x)的单调区间，并加以证明．解：解法1：由函数的单调区间(增区间，减区间)的定义入手分析，取x1<x2，分析f(x1)－f(x2)的符号，由此找出单调增区间与单调减区间．∵f(x)＝(x∈R)是奇函数，∴只需研究(0，＋∞)上f(x)的单调区间即可．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，那么f(x1)－f(x2)＝－＝.∵x＋1>0，x＋1>0，x2－x1>0，而x1，x2∈(0,1)时，x1x2－1<0；x1，x2∈[1，＋∞)时，x1x2－1≥0，∴当x1，x2∈(0,1)时，f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)是增函数；当x1，x2∈[1，＋∞)时，f(x1)－f(x2)≥0，函数f(x)是减函数．又f(x)是奇函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数，在(－∞，－1]上是减函数．又x∈[0,1)，u∈(－1,0]上恒有f(x)≥f(u)，等号只在x＝u＝0时取到，故f(x)在(－1,1)上是增函数．综上知，函数f(x)在(－1,1)上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．解法2：f′(x)＝()′＝，f′(x)>0⇒x∈(－1,1)，即在(－1,1)上函数单调递增．f′(x)≤0⇒x∈[1，＋∞)∪(－∞，－1]即在(－∞，－1]和[1，＋∞)上函数单调递减．综上知，函数f(x)的单调增区间为(－1,1)，单调减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．12．(15分)函数f(x)的定义域为D＝{x|x>0}，且满足：对于任意m，n∈D，都有f(m·n)＝f(m)＋f(n)．(1)求f(1)的值；(2)如果f(2)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤2，且f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，求x的取值范围．解：(1)令m＝n＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2，所以f(3x＋1)＋f(2x－6)≤2⇔f(3x＋1)＋f(2x－6)≤f(4)．因为f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(3x＋1)＋f(2x－6)≤f(4)⇔⇔3<x≤，故x的取值范围为(3，]．13．(20分)已知函数f(x)＝lnx－.4/4\n(Ⅰ)判定函数f(x)的单调性；(Ⅱ)设a>1，证明：<.解：(Ⅰ)∵f′(x)＝－＝－＝－＝＝－.又∵函数f(x)的定义域为x>0，∴≤0，而在(0，＋∞)上，只有当x＝1时，f′(x)＝0，∴f(x)是定义域上的减函数．(Ⅱ)由(Ⅰ)f(x)是定义域上的减函数，∴当a>1时，f(a)<f(1)，即lna－<0，即lna<，又∵a－1>0，∴<成立．4/4