河北高考数学一轮复习知识点攻破习题函数的奇偶性与周期性doc高中数学

函数的奇偶性与周期性时间：45分钟　　　　分值：100分一、选择题(每题5分，共30分)1．以下函数中是偶函数的是(　　)①f(x)＝lg(1＋x2)②g(x)＝2－|x|③h(x)＝tan2x④s(x)＝A．①②B．①④C．②④D．①②④解析：f(x)，g(x)，h(x)显然为偶、偶、奇函数．对于s(x)，当x<－1时，s(x)＝x＋2，s(－x)＝x＋2＝s(x)．当x>1时，s(x)＝－x＋2，s(－x)＝－x＋2＝s(x)；|x|≤1时，s(x)＝0，s(－x)＝0＝s(x)．∴s(x)也为偶函数．答案：D2．设f(x)是增函数，那么以下结论一定正确的选项是(　　)A．y＝[f(x)]2是增函数　　　B．y＝是减函数C．y＝－f(x)是减函数D．y＝|f(x)|是增函数解析：根据函数单调性定义判定，设x1<x2，那么f(x1)<f(x2)，那么－f(x1)>－f(x2)，但[f(x1)]2<[f(x2)]2，>，|f(x1)|<|f(x2)|，三个关系式不一定成立．答案：C3．已知f(x)＝lg(－ax)是一个奇函数，那么实数a的值是(　　)A．1B．－1C．10D．±1解析：据题意知：f(x)＋f(－x)＝lg(－ax)＋lg(＋ax)＝0，即lg[()2－(ax)2]＝lg[(1－a2)x2＋1]＝0，即(1－a2)x2＝0，而x不恒为0，那么必有1－a2＝0⇒a＝±1，代入检验，函数定义域均关于原点对称．答案：D4．(2022·福建高考)函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，假设f(a)＝2，那么f(－a)的值为(　　)A．3B．0C．－1D．－2解析：∵f(a)＝a3＋sina＋1＝2，∴a3＋sina＝1，而f(－a)＝－a3－sina＋1＝－1＋1＝0，应选B.答案：B5．(2022·全国卷Ⅰ)函数f(x)的定义域为R，假设f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，那么(　　)A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)＝f(x＋2)D．f(x＋3)是奇函数解析：由f(x＋1)为奇函数，可知f(x)关于点(1,0)对称，f(x－1)为奇函数，可知f(x)关于点(－1,0)对称，那么f(x)为周期函数且T＝4，那么f(x＋3)＝f(x－1)，应选D.4/4\n(排除法)假设取函数f(x)＝sinπx，g(x)＝cosx，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(x)＝sinπx左、右分别移1个单位都是奇函数，g(x)＝cosx左、右分别移1个单位也都是奇函数，所以排除A、B.又f(x)的周期为2，g(x)的周期为4，所以排除C，应选D.答案：D6．(2022·四川高考)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，那么f(f())的值是(　　)A．0B.C．1D.解析：由已知令x＝0，那么f(0)＝0，由已知令x＝－，得－f()＝f(－)＝f()，∴f()＝0.又令x＝，得f()＝f()，又∵f()＝0，∴f()＝0.再令x＝，得f()＝f()，∵f()＝0，∴f()＝0.∴f(f())＝f(0)＝0.答案：A二、填空题(每题5分，共20分)7．(2022·重庆高考)假设f(x)＝＋a是奇函数，那么a＝________.解析：∵f(x)是{x|x≠0}上的奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．∴a＝.答案：8．(2022·上海高考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数．假设当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，那么满足f(x)>0的x的取值范围是__________．图1解析：根据题意画出函数f(x)的草图，由图象可知f(x)>0的x的取值范围是－1<x<0或x>1.答案：(－1,0)∪(1，＋∞)9．设周期为4的奇函数f(x)的定义域为R，且当x∈[4,6)时，f(x)＝2－x2，那么f(－1)的值为__________．4/4\n解析：∵f(－1)＝－f(1)＝－f(1＋4)＝－f(5)＝－(2－52)＝23.答案：2310．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，且f(－4)＝－2，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有>0.那么给出以下命题：①f(2022)＝－2；②函数y＝f(x)图像的一条对称轴为x＝－6；③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为减函数；④方程f(x)＝0在[－9,9]上有4个根．其中所有正确命题的序号为________．解析：当x＝－3时，f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)＝2f(3)，∴f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)，即函数y＝f(x)是周期为6的偶函数，∴x＝－6为其一条对称轴；又f(－4)＝－2，∴f(2022)＝f(334×6＋4)＝f(4)＝f(－4)＝－2；由题意函数y＝f(x)在区间[0,3]上单调递增，又函数y＝f(x)是周期为6的偶函数，∴y＝f(x)在[－9，－6]上单调递减；∵f(3)＝f(9)＝f(－3)＝f(－9)＝0，∴f(x)＝0在区间[－9,9]上有4个根，综上应填①②③④.答案：①②③④三、解答题(共50分)11．(15分)已知函数y＝f(x)(x∈R且x≠0)，对任意非零实数x1，x2恒有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，试判断函数f(x)的奇偶性．解：令x1＝－1，x2＝x得：f(－x)＝f(－1)＋f(x)①再令x1＝1，x2＝－1得：f(－1)＝f(1)＋f(－1)，即f(1)＝0②再取x1＝x2＝－1得：f(1)＝f(－1)＋f(－1)③由②、③得：f(－1)＝0，代入①得：f(－x)＝f(x)∴f(x)为偶函数．12．(15分)设f(x)是周期函数，且最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x，试求函数f(x)在区间[－1,3]上的表达式．解：∵f(－x)＝f(2－x)＝f[1＋(1－x)]＝f[1－(1－x)]＝f(x)，∴f(x)是偶函数．于是由“当－1≤x≤0时，f(x)＝－x”可知当0≤x≤1时，f(x)＝x；进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0⇒f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2；当2≤x≤3时，0≤x－2≤1⇒f(x)＝f(x－2)＝x－2.13．(20分)(2022·湖北模拟)已知函数f(x)＝x|x＋m|＋n，其中m，n∈R.(Ⅰ)求证：m2＋n2＝0是f(x)是奇函数的充要条件；(Ⅱ)假设常数n＝－4，且f(x)<0对任意x∈[0,1]恒成立，求m的取值范围．证明：(Ⅰ)充分性：假设m2＋n2＝0，那么m＝n＝0，∴f(x)＝x|x|，又有f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．必要性：假设f(x)为奇函数，∵x∈R，∴f(0)＝0，即n＝0，∴f(x)＝x|x＋m|.由f(1)＝－f(－1)，有|m＋1|＝|m－1|，∴m＝0.∴f(x)为奇函数，那么m＝n＝0，即m2＋n2＝0.∴m2＋n2＝0是f(x)为奇函数的充要条件．解：(Ⅱ)假设x＝0时，m∈R，f(x)<0恒成立；4/4\n假设x∈(0,1]时，原不等式可变形为|x＋m|<－.即－x＋<m<－x－.∴只需对x∈(0,1]，满足对①式f1(x)＝－x＋在(0,1]上单调递减，∴m<f1(1)＝3.③对②式，设f2(x)＝－x－，根据单调函数的定义可证明f2(x)在(0,1]上单调递增，∴f2(x)max＝f(1)，∴m>f2(1)＝－5④由③④知－5<m<3.4/4