河北高考数学一轮复习知识点攻破习题反函数doc高中数学

反函数时间：45分钟　　　　分值：100分一、选择题(每题5分，共30分)1．设函数f(x)＝log2x＋3，x∈[1，＋∞)，那么f－1(x)的定义域是(　　)A．(0,1)B．[1，＋∞)C．[3，＋∞)D．R解析：由x≥1，得log2x≥0，∴y＝log2x＋3≥3，∵反函数的定义域就是原函数的值域，∴f－1(x)的定义域为[3，＋∞)．答案：C2．函数f(x)＝2x＋1的反函数的图象大致是(　　)解析：由y＝2x＋1得x＋1＝log2y，x＝log2y－1(y>0)，即函数f(x)＝2x＋1的反函数是f－1(x)＝log2x－1(x>0)，注意到函数f－1(x)在(0，＋∞)上是增函数，结合各选项知，选A.答案：A3．函数y＝ln，x∈(1，＋∞)的反函数为(　　)A．y＝，x∈(0，＋∞)B．y＝，x∈(0，＋∞)C．y＝，x∈(－∞，0)D．y＝，x∈(－∞，0)解析：由y＝ln得x＝，∵x>1，∴>1，∴>0，ey>1，∴y>0，因此y＝ln的反函数为y＝，x∈(0，＋∞)．答案：B4．假设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x，那么f－1(－)的值是(　　)A．－2B．2C．－D.解析：当x>0时，－x<0，∴f(x)＝－f(－x)＝－3－x，令f(x)＝－，可解得x＝2，即f－1(－)＝2.4/4\n答案：B5．(2022·湖北八校联考)已知函数f(x)＝(ex＋ex－2)(x<1)(其中e是自然对数的底数)的反函数为f－1(x)，那么有(　　)A．f－1()<f－1()B．f－1()>f－1()C．f－1()<f－1(2)D．f－1()>f－1(2)解析：∵函数f(x)＝(ex＋ex－2)＝·ex是一个单调递增函数，∴f－1(x)在(0，＋∞)上也是单调递增函数．又∵x<1，∴f(x)＝·ex<·e＝.－2＝＝，∵2<e<3，∴0<e－2<1，∴(e－2)2－3<0，∴<2；－＝＝，∵2.7<e<2.8，∴1.2<e－<1.3，∴(e－)2－>0，∴>，∴<<2.∴在x<1时，函数f(x)＝(ex＋ex－2)的值域为(0，)，其中<<2，应选A.答案：A6．(2022·唐山一模)函数y＝(x≤1且x∈R)的图象与其反函数图象的交点共有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：求其反函数为y＝1－x2(x≥0)，由，判断其解的个数即可．答案：C二、填空题(每题5分，共20分)7．函数y＝(x>1)的反函数是__________．解析：依题意，由y＝(x>1)得x＝(y>1)，所以函数y＝(x>1)的反函数是y＝(x>1)．答案：y＝(x>1)8．(2022·成都一诊)设函数f(x)＝e2(x－1)，y＝f－1(x)为y＝f(x)的反函数，假设函数g(x)＝，那么g[g(－1)]＝__________.解析：依题意得g(－1)＝－1＋2＝1，g[g(－1)]＝g(1)＝f－1(1)．设f－1(1)＝t，那么有f(t)＝1，即e2(t－1)＝1，t＝1，所以g[g(－1)]＝1.答案：19．已知函数f(x)＝的反函数f－1(x)的图象的对称中心是(－1,3)，那么实数a的值为__________．4/4\n解析：因为f－1(x)的图象的对称中心是(－1,3)，所以f(x)的图象的对称中心为(3，－1)．又由f(x)＝＝－1－，那么f(x)的图象可由g(x)＝－的图象中心(0,0)平移到(3，－1)得到，所以a＋1＝3，即a＝2.答案：210．(2022·重庆二次调研)假设函数f(x)＝log2(4x－2)，那么方程f－1(x)＝x的解是__________．解析：由f－1(x)＝x，得x＝f(x)，∴x＝log2(4x－2)，即2x＝4x－2，∴2x＝2.∴x＝1.答案：x＝1三、解答题(共50分)11．(15分)求y＝lg(x－)的反函数．解：由x－>0，得x>，∴　∴x≥2.∴lg(x－)＝lg≤lg＝lg2.由y＝lg(x－)．得x－＝10y，＝x－10y.∴x2－4＝x2－2·10yx＋102y.∴x＝(4·10－y＋10y)．故f－1(x)＝(10x＋4·10－x)，x∈(－∞，lg2]．12．(15分)设函数f(x)＝2x－1有反函数f－1(x)，g(x)＝log4(3x＋1)，(1)假设f－1(x)≤g(x)，求x的取值范围D；(2)设H(x)＝g(x)－f－1(x)，当x∈D时，求函数H(x)的值域及它的反函数H－1(x)．解：(1)∵f(x)＝2x－1的定义域是R，值域是(－1，＋∞)．由y＝2x－1解得x＝log2(y＋1)(y>－1)，∴f－1(x)＝log2(x＋1)(x>－1)，于是f－1(x)≤g(x)即为log2(x＋1)≤log4(3x＋1)，即∴0≤x≤1，即D＝[0,1]．(2)H(x)＝g(x)－f－1(x)＝log4(3x＋1)－log2(x＋1)＝log2＝log2(3－)．∵0≤x≤1，∴1≤3－≤2.∴0≤log2(3－)≤.∴H(x)的值域为[0，]．由y＝log2(3－)得3－＝22y，∴＝3－4y，x＋1＝，x＝，y∈[0，]．∴H－1(x)＝(x∈[0，])．13．(20分)(2022·上海高考)已知函数y＝f－1(x)是y＝f(x)的反函数．定义：假设对给定的实数a(a≠0)，函数y＝f(x＋a)与y＝f－1(x＋a)互为反函数，那么称y＝f(x)满足“a和性质”；假设函数y＝f(ax)与y＝f－1(ax)互为反函数，那么称y＝f(x)满足“a积性质”．(1)判断函数g(x)＝x2＋1(x>0)是否满足“1和性质”，并说明理由；(2)求所有满足“2和性质”的一次函数；4/4\n(3)设函数y＝f(x)(x>0)对任何a>0，满足“a积性质”．求y＝f(x)的表达式．解：(1)函数g(x)＝x2＋1(x>0)的反函数是g－1(x)＝(x>1)，∴g－1(x＋1)＝(x>0)，而g(x＋1)＝(x＋1)2＋1(x>－1)，其反函数为y＝－1(x>1)，故函数g(x)＝x2＋1(x>0)不满足“1和性质”．(2)设函数f(x)＝kx＋b(x∈R)满足“2和性质”，k≠0.∴f－1(x)＝(x∈R)，∴f－1(x＋2)＝，而f(x＋2)＝k(x＋2)＋b(x∈R)，得反函数为y＝，由“2和性质”定义可知＝对x∈R恒成立，∴k＝－1，b∈R，即所求一次函数为f(x)＝－x＋b(b∈R)．(3)设a>0，x0>0，且点(x0，y0)在y＝f(ax)图象上，那么(y0，x0)在函数y＝f－1(ax)图象上，故可得ay0＝f(x0)＝af(ax0)．令ax0＝x，那么a＝，∴f(x0)＝f(x)，即f(x)＝.综上所述，f(x)＝(k≠0)，此时f(ax)＝，其反函数就是y＝，而f－1(ax)＝，故y＝f(ax)与y＝f－1(ax)互为反函数．4/4