湖南省长沙市高考数学模拟试卷（二模）试题 理（含解析）新人教A版

科目：数学（理科）说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上.【试卷综析】本试题是一份高三模拟测试的好题，涉及范围广，包括复数、正态分布、集合、命题、充要条件、直线与椭圆、三角函数解析式、线性规划、平面向量、异面直线、排列组合、导数、函数单调性、不等式、参数范围、几何证明、不等式选讲、参数方程与极坐标、双曲线、离心率、程序框图、数列、新定义集合等高考核心考点，又涉及了三角函数、解三角形、立体几何、概率统计、函数应用、解析几何、导数与数列结合应用等必考解答题型。本题难易程度设计合理，梯度分明；既有考查基础知识的经典题目，又有考查能力的创新题目；从16，22等题能看到命题者在创新方面的努力，从17,18，19三题看出考基础，考规范；从20题可以看出考数学应用；从,21两题可以看出，考运算。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．已知复数满足（i为虚数单位），则z的值为A．iB．－iC．1D．－1【知识点】复数运算【答案解析】A故选A【思路点拨】转化，分母实数化2．设随机变量X～N(2，32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c等于A．0B．1C．2D．3【知识点】正态分布【答案解析】C显然c=2【思路点拨】正确理解图像3．二项式的展开式中常数项为A．－15B．15C．－20D．20【知识点】二项式定理【答案解析】B故常数项为，选B【思路点拨】记住通项公式是关键4．设A，B为两个互不相同的集合，命题P：，命题q：或，则是的A．充分且必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分且非必要条件【知识点】并集，交集，补集，命题，充要条件-12-\n【答案解析】B显然则由逆否命题与原命题等价，所以故选B充分非必要条件【思路点拨】逆否命题与原命题等价最好回答5．已知集合，若，使得成立，则实数b的取值范围是A．B．C．D．【知识点】椭圆，直线系，直线与椭圆关系【答案解析】B显然在椭圆外，即或符合题意，故选B【思路点拨】直线显然过点，只有该点在椭圆外时才合题意6．函数的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A,B是图象与x轴的交点，若，则的值为A．B．C．D．【知识点】由图像得到解析式【答案解析】C所以故选C【思路点拨】本题是个创新题，通过图像蕴含方程式，求出周期，再求的值7．设变量x，y满足约束条件，则z＝x－3y的最大值为A．B．4C．3D．【知识点】线性规划【答案解析】B画出可行域，针对目标函数，研究最大值，知道时，有最大值。-12-\n【思路点拨】本题是个常规题目，高考考线性规划可在选择题考，也可以在填空题考，创新天地很大，需要留意。FDABC8．如图，正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，AE与BD相交于F，则的值是A．B．C．D．【知识点】平面向量【答案解析】C把该图形放在平面直角坐标系中，易知【思路点拨】向量问题坐标化最简单9．若两条异面直线所成的角为，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有A．12对B．18对C．24对D．30对【知识点】黄金异面直线对【答案解析】C以正方体中任一条连接两顶点的直线为例，和它成“黄金异面直线对”的有4对，因此所有的“黄金异面直线对”共有对【思路点拨】特殊分析，再拓广到一般，注意重复，要除以2.10．已知函数在区间(0,1)内任取两个实数p,q，且p≠q，不等式恒成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．【知识点】导数，单调性【答案解析】A由已知在上恒成立而所以即在上恒成立，【思路点拨】由形想式，联想单调性和斜率挂钩，从而转在导数上，分离变量，恒成立应用。二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）。11．（选修4－1：几何证明选讲）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B,C两点，，则=_________.-12-\n【知识点】几何知识，切线，割线，及切割线定理【答案解析】连接AO，【思路点拨】充分利用几何知识来求解12．（选修4－3：不等式证明）不等式有实数解的充要条件是_____.【知识点】含绝对值的不等式【答案解析】【思路点拨】分清有解与恒成立的区别13．（选修4－4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为.以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为，则圆心C到直线l距离为______.【知识点】参数方程，极坐标，点到直线距离【答案解析】直线l的的普通方程为圆C的普通方程为圆心C到直线l距离为【思路点拨】直线与圆都化归为普通方程，再运算距离。（二）必做题（14~16题）-12-\n14．设点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为______.【知识点】双曲线，离心率运算【答案解析】由题意知由圆的知识【思路点拨】双曲线第一定义，直径所对圆周角是直角，离心率定义15．已知数列中，，若利用如图所示的程序框图进行运算，则输出n的值为.【知识点】数列，程序框图【答案解析】11读透题意即由【思路点拨】弄清该程序框图解决问题的实质。16．若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足，则称a、b、c是调和的；若满足a+c=2b，则称a、b、c是等差的.若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”.若集合，集合.则（1）“好集”P中的元素最大值为；（2）“好集”P的个数为.【知识点】新定义，调和，等差，好集【答案解析】（1）2022；（2）1006由因为，可得的最大值为2022，即P中元素最大值为2022.-12-\n“好集”P的个数为个【思路点拨】理解透新名词再加以运用。三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足，求f(B)的取值范围．【知识点】三角函数，解三角形【答案解析】（Ⅰ）6分（Ⅱ）由可得，即，所以因为，所以12分【思路点拨】三角变换，余弦定理，角的范围的介入，函数值范围的确定都要小心。18．（12分）在如图所示的几何体中，平面，∥，是的中点，，．（Ⅰ）证明：∥平面；（Ⅱ）求二面角的大小的余弦值．【知识点】线面垂直，线面平行，二面角【答案解析】（Ⅰ）因为，∥，所以平面．故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的空间坐标分别是，，，，-12-\n，．所以，因为平面的一个法向量为，所以，又因为平面，所以平面．……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，．设是平面的一个法向量，由得不妨令8分设是平面的一个法向量，由得不妨令10分设二面角的大小为，故二面角的大小的余弦为12分【思路点拨】空间直角坐标系的建立与使用必须规范化，这样才能保证准确性。19．（12分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（Ⅰ）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为，求；（Ⅱ）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【知识点】概率与统计【答案解析】（Ⅰ）由已知得，张三中奖的概率为，李四中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”，-12-\n因为P(X＝5)＝×，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝1－×=，所以.……6分（Ⅱ）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．由已知可得，X1～B，X2～B，所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×，从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝6.若E(2X1)E(3X2)，则6；若E(2X1)E(3X2)，则6；若E(2X1)E(3X2)，则=6；综上所述，当时，他们都选择方案甲进行抽奖，累计得分的数学期望较大；当时，他们都选择方案乙进行抽奖，累计得分的数学期望较大；当时，他们选择方案甲或方案乙进行抽奖，累计得分的数学期望相等12分【思路点拨】二项分布，注意期望值大小的比较。20．（13分）某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf(x)，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化.（Ⅰ）如果投放的药剂质量为m=6，试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天?（Ⅱ）如果投放的药剂质量为m，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围.【知识点】不等式，函数【答案解析】（Ⅰ）由题设：投放的药剂质量为，渔场的水质达到有效净化-12-\n或或，即：，所以如果投放的药剂质量为，自来水达到有效净化一共可持续8天.………6分（Ⅱ）由题设：，因为，且且投放的药剂质量m的取值范围12分【思路点拨】分情况解不等式很重要21．（13分）已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点.（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，求面积的最小值.【知识点】抛物线，切线，面积，最值，导数应用【答案解析】（Ⅰ）设，（）.易知斜率存在，设为，则方程为.由得，……………①由直线与抛物线相切，知.于是，，方程为.同理，方程为.联立、方程可得点坐标为，∵，方程为，-12-\n过抛物线的焦点.，点P在直线上6分（Ⅱ）由（Ｉ）知C,D的坐标分别为∴.∴.设（），，由知，，当且仅当时等号成立.∴.设，则.∴时，；时，.在区间上为减函数；在区间上为增函数.∴时，取最小值.∴当，，即，时，面积取最小值.…………13分【思路点拨】解析几何与导数结合无疑增加了试题的难度，但这也是一个趋势。我们要适应并把握好导数的工具作用。22.（13分）设函数在上的最大值为（）．-12-\n（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：对任何正整数n(n≥2)，都有成立；（III）设数列的前n项和为Sn，求证：对任意正整数n，都有成立．【知识点】数列，函数，导数【答案解析】（Ⅰ），当时，由知或，当时，则，时，，在上单调递减，所以当时，，时，，时，，∴在处取得最大值，即综上所述，4分（Ⅱ）当时，欲证，只需证明所以，所以，对任何正整数n(n≥2)，都有成立8分（Ⅲ）当时，结论显然成立；-12-\n当时，由（II）知．所以，对任意正整数，都有成立．……13分【思路点拨】（Ⅰ）用导数研究数列，主要是求最大值；（Ⅱ）问的证明充满放缩技巧，不易掌握，细心体会；（Ⅲ）用数学归纳法证明。-12-