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高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7讲正弦定理与余弦定理知能训练轻松闯关文北师大版
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7讲正弦定理与余弦定理知能训练轻松闯关文北师大版
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第7讲正弦定理与余弦定理1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsinB+csinC<asinA,则△ABC的形状是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形解析:选B.由正弦定理得b2+c2<a2,由余弦定理可得cosA<0,故△ABC是钝角三角形.2.由下列条件解△ABC,其中有两解的是( )A.b=20,A=45°,C=80°B.a=30,c=28,B=60°C.a=14,c=16,A=45°D.a=12,c=15,A=120°解析:选C.对于A,由A=45°,C=80°,得B=55°,由正弦定理==得,a==,c=,此时△ABC仅有一解,A不符合条件;对于B,由a=30,c=28,B=60°,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=844,可得b=2,此时△ABC仅有一解,B不符合条件;对于D,由a=12,c=15,知a<c,则A<C,而A=120°,得C也为钝角,此时△ABC无解,D不符合条件;对于C,由a=14,c=16,A=45°及正弦定理=,得sinC==>,又c>a,故C>45°,由正弦函数的图像和性质知,此时△ABC有两解,故选C.3.(2022·上饶模拟)在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知=,且a2-c2=2b,则b=( )A.4 B.3C.2D.1解析:选A.由题意可得3ccosA=acosC,由余弦定理可得3c×=a×,整理得b2=2(a2-c2),又因为a2-c2=2b,代入得b=4.4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2=a2+bc,A=,则角C=( )A.B.C.D.或5\n解析:选B.在△ABC中,由余弦定理得cosA=,即=,所以b2+c2-a2=bc,又b2=a2+bc,所以c2+bc=bc,所以c=(-1)b<b,a=b,所以cosC==,所以C=.5.(2022·河南省六校联考)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=,a=2,S△ABC=,则b的值为( )A.B.C.2D.2解析:选A.由sinA=及A为锐角可得cosA=,由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=,即bc=,所以bc=3,①由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得b2+c2=6,②由①②可得b=c=.6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=1,a=2c,则当C取最大值时,△ABC的面积为( )A.B.C.D.解析:选B.当C取最大值时,cosC最小,由cosC===≥,当且仅当c=时取等号,且此时sinC=,所以当C取最大值时,△ABC的面积为absinC=×2c×1×=.7.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-,则b=________. 解析:在△ABC中,由b2=a2+c2-2accosB及b+c=7知,b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×,整理得15b-60=0,所以b=4.答案:48.在△ABC中,b=ccosA+asinC,则角C的大小为________. 解析:因为b=ccosA+asinC,由余弦定理得b=c·+asinC.即b2+a2-c2=2absinC.所以2abcosC=2absinC,即tanC=.又0<C<π,所以C=.答案:5\n9.(2022·高考北京卷)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=________.解析:由正弦定理得=,由余弦定理得cosA=,因为a=4,b=5,c=6,所以==2··cosA=2××=1.答案:110.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,sinA,sinB,sinC成等差数列,且a=2c,则cosA=________.解析:因为sinA,sinB,sinC成等差数列,所以2sinB=sinA+sinC.因为==,所以a+c=2b,又a=2c,可得b=c,所以cosA===-.答案:-11.(2022·高考全国卷Ⅰ)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=,求△ABC的面积.解:(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cosB==.(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2,故a2+c2=2ac,进而可得c=a=.所以△ABC的面积为××=1.1.(2022·河北省衡水中学调研)设锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,B=2A,则b的取值范围为( )A.(,) B.(1,)C.(,2)D.(0,2)解析:选A.因为B=2A,所以sinB=sin2A,所以sinB=2sinAcosA,所以b=2acosA,又因为a=1,所以b=2cosA.因为△ABC为锐角三角形,5\n所以0<A<,0<B<,0<C<,即0<A<,0<2A<,0<π-A-2A<,所以<A<,所以<cosA<,所以<2cosA<,所以b∈(,).2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.(1)若c=2,C=,且△ABC的面积为,求a,b的值;(2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC的形状.解:(1)因为c=2,C=,所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得a2+b2-ab=4.又因为△ABC的面积为,所以absinC=,ab=4.联立方程组解得a=2,b=2.(2)由sinC+sin(B-A)=sin2A,得sin(A+B)+sin(B-A)=2sinAcosA,即2sinBcosA=2sinAcosA,所以cosA·(sinA-sinB)=0,所以cosA=0或sinA-sinB=0,当cosA=0时,因为0<A<π,所以A=,△ABC为直角三角形;当sinA-sinB=0时,得sinB=sinA,由正弦定理得a=b,即△ABC为等腰三角形.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.3.(2022·洛阳统考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2C+2cosC+2=0.(1)求角C的大小;(2)若b=a,△ABC的面积为sinAsinB,求sinA及c的值.解:(1)因为cos2C+2cosC+2=0,所以2cos2C+2cosC+1=0,即(cosC+1)2=0,所以cosC=-.又C∈(0,π),所以C=.(2)因为c2=a2+b2-2abcosC=3a2+2a2=5a2,5\n所以c=a,即sinC=sinA,所以sinA=sinC=.因为S△ABC=absinC,且S△ABC=sinAsinB,所以absinC=sinAsinB,所以sinC=,由正弦定理得:sinC=,解得c=1.5
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 16:57:03
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