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高考数学一轮复习第7章立体几何第3讲平行关系知能训练轻松闯关文北师大版

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第3讲平行关系1.(2022·河北省衡水中学调研)已知空间直线l不在平面α内,则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.因为直线l不在平面α内,且直线l上有两个点到平面α的距离相等,所以直线l∥α或l与α相交.当l与α平行时,此时存在两点到平面α的距离相等.所以“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件.2.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A,B分别在α,β内运动时,所有的点C(  )A.不共面B.当且仅当A,B在两条相交直线上移动时才共面C.当且仅当A,B在两条给定的平行直线上移动时才共面D.不论A,B如何移动都共面解析:选D.根据平面平行的性质,不论A,B如何运动,动点C均在与α,β都平行的平面上.3.(2022·惠州模拟)已知两条不同的直线l,m,两个不同的平面α,β,则下列条件能推出α∥β的是(  )A.lα,mα,且l∥β,m∥βB.lα,mβ,且l∥mC.l⊥α,m⊥β,且l∥mD.l∥α,m∥β,且l∥m解析:选C.借助正方体模型进行判断.易排除选项A,B,D,故选C.4.(2022·东莞模拟)已知m,n是两条直线,α,β是两个平面,给出下列命题:①若n⊥α,n⊥β,则α∥β;②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β;③若m,n为异面直线,nα,n∥β,mβ,m∥α,则α∥β.其中正确命题的个数是(  )A.3个        B.2个C.1个D.0个解析:选B.①若n⊥α,n⊥β,则n为平面α与β的公垂线,则α∥β,故①正确;②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等,三点可能在平面β的异侧,此时α与β相交,故②错误;③若n,m为异面直线,nα,n∥β,mβ,m∥α,根据面面平行的判定定理,可得③正确.故选B.5.(2022·长沙模拟)用a,b,c表示空间中三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;②若a∥b,a∥c,则b∥c;③若a∥γ,b∥γ,则a∥b.其中真命题的序号是(  )A.①②B.③C.①③D.②解析:选D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c或a与c相交或a与c异面,所以①是假命题;在空间中,平行于同一直线的两条直线平行,所以②是真命题;若a∥γ,b∥γ,则a∥b或a与b相交或a与b异面,所以③是假命题,故选D.6.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为边AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别为BC,CD的中点,则(  )5\nA.BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形解析:选B.由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知EF綊BD,所以EF∥平面BCD.又H,G分别为BC,CD的中点,所以HG綊BD,所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形.7.如图,在空间四边形ABCD中,M∈AB,N∈AD,若=,则直线MN与平面BDC的位置关系是__________.解析:在平面ABD中,=,所以MN∥BD.又MN⃘平面BCD,BD平面BCD,所以MN∥平面BCD.答案:平行8.棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积是________.解析:由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线,所以截面是梯形CD1MN,易求其面积为.答案:9.设α,β,γ是三个不同的平面,a,b是两条不同的直线,有下列三个条件:①a∥γ,bβ;②a∥γ,b∥β;③b∥β,aγ.如果命题“α∩β=a,bγ,且________,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确条件的序号都填上).解析:由面面平行的性质定理可知,①正确;当b∥β,aγ时,a和b在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.故填入的条件为①或③.答案:①或③10.(2022·周口一模)已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过P点的两条直线AC,BD分别交α于A,B,交β于C,D,且PA=6,AC=9,AB=8,则CD的长为________.解析:若P在α,β的同侧,由于平面α∥平面β,故AB∥CD,则==,可求得CD=20;若P在α,β之间,则==可求得CD=4.答案:20或411.如图,斜三棱柱ABCA1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.(1)当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?5\n(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.解:(1)如图,取D1为线段A1C1的中点,此时=1.连接A1B交AB1于点O,连接OD1.由棱柱的性质,知四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点.在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,所以OD1∥BC1.又因为OD1平面AB1D1,BC1⃘平面AB1D1,所以BC1∥平面AB1D1.所以=1时,BC1∥平面AB1D1.(2)由已知,平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O.因此BC1∥D1O,同理AD1∥DC1.所以=,=.又因为=1,所以=1,即=1.1.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点P是棱AD上一点,且AP=,过B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ,Q在直线CD上,则PQ=________.解析:因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD,而平面B1D1P∩平面ABCD=PQ,平面B1D1P∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1∥PQ.又因为B1D1∥BD,所以BD∥PQ,设PQ∩AB=M,因为AB∥CD,所以△APM∽△DPQ.所以==2,即PQ=2PM.又知△APM∽△ADB,所以==,5\n所以PM=BD,又BD=a,所以PQ=a.答案:a2.(2022·山西省调研)如图,在四棱锥PABCD中,BC∥AD,BC=1,AD=3,AC⊥CD,且平面PCD⊥平面ABCD.(1)求证:AC⊥PD;(2)在线段PA上,是否存在点E,使BE∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.解:(1)证明:因为平面PCD⊥平面ABCD,且平面PCD∩平面ABCD=CD,又AC⊥CD,所以AC⊥平面PCD,因为PD平面PCD,所以AC⊥PD.(2)在线段PA上,存在点E,使BE∥平面PCD.因为AD=3,所以在△PAD中,存在EF∥AD(E,F分别在AP,PD上),又BC∥AD,所以BC∥EF,且BC=EF,且使EF=1,所以四边形BCFE是平行四边形,所以BE∥CF,BE⃘平面PCD,CF平面PCD,所以BE∥平面PCD,因为EF=1,AD=3,所以==.3.(2022·阜阳月考)如图,在三棱锥ABOC中,AO⊥平面COB,∠OAB=∠OAC=,AB=AC=2,BC=,D,E分别为AB,OB的中点.(1)求证:CO⊥平面AOB;(2)在线段CB上是否存在一点F,使得平面DEF∥平面AOC,若存在,试确定F的位置,并证明此点满足要求;若不存在,请说明理由.解:(1)证明:因为AO⊥平面COB,所以AO⊥CO,AO⊥BO,即△AOC与△AOB为直角三角形.又因为∠OAB=∠OAC=,AB=AC=2,所以OB=OC=1.由OB2+OC2=1+1=2=BC2,可知△BOC为直角三角形.所以CO⊥BO,又因为AO∩BO=O,所以CO⊥平面AOB.(2)在线段CB上存在一点F,使得平面DEF∥平面AOC,此时F为线段CB的中点.5\n证明如下,如图,连接DF,EF,因为D,E分别为AB,OB的中点,所以DE∥OA.又DE⃘平面AOC,所以DE∥平面AOC.因为E,F分别为OB,BC的中点,所以EF∥OC.又EF⃘平面AOC,所以EF∥平面AOC,又EF∩DE=E,EF平面DEF,DE平面DEF,所以平面DEF∥平面AOC.5

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发布时间:2022-08-25 16:57:13 页数:5
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文章作者:U-336598

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