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高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例知能训练轻松闯关理北师大版

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第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的(  )A.北偏东10°        B.北偏西10°C.南偏东80°D.南偏西80°解析:选D.由条件及题图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2.(2022·郑州模拟)已知A、B两地间的距离为10km,B、C两地间的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为(  )A.10kmB.10kmC.10kmD.10km解析:选D.如图所示,由余弦定理可得:AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700,所以AC=10(km).3.(2022·唐山模拟)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,则cos∠DAC=(  )A.B.C.D.解析:选B.由已知条件可得图形,如图所示,设CD=a,在△ACD中,CD2=AD2+AC2-2AD×AC×cos∠DAC,所以a2=(a)2+(a)2-2×a×a×cos∠DAC,所以cos∠DAC=.4.(2022·淮北质检)如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m、50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(  )A.30°B.45°C.60°D.75°解析:选B.依题意可得AD=20(m),AC=30(m),又CD=50(m),5\n所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD====,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.5.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=0.6km,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km,水的流速为2km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min,则客船在静水中的速度为(  )A.8km/hB.6km/hC.2km/hD.10km/h解析:选B.设AB与河岸线所成的角为θ,客船在静水中的速度为vkm/h,由题意知,sinθ==,从而cosθ=,所以由余弦定理得=+12-2××2×1×,解得v=6.6.(2022·高考四川卷)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于(  )A.240(-1)mB.180(-1)mC.120(-1)mD.30(+1)m解析:选C.如图,在△ACD中,∠CAD=90°-30°=60°,AD=60m,所以CD=AD·tan60°=60(m).在△ABD中,∠BAD=90°-75°=15°,所以BD=AD·tan15°=60(2-)(m).所以BC=CD-BD=60-60(2-)5\n=120(-1)(m).7.一船自西向东航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75°,距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船航行的速度为______海里/小时.解析:由题意知,在△PMN中,PM=68海里,∠MPN=75°+45°=120°,∠MNP=45°.由正弦定理,得=,解得MN=34海里,故这只船航行的速度为海里/小时=海里/小时.答案:8.某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶,在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上,15min后到点B处,测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上,则点B与电视塔的距离是________km.解析:由题意知AB=24×=6,在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,所以∠ASB=45°.由正弦定理知=,所以BS==3.答案:39.(2022·佛山一模)如图,为了测量河对岸A、B两点之间的距离,观察者找到一个点C,从C点可以观察到点A、B;找到一个点D,从D点可以观察到点A、C;找到一个点E,从E点可以观察到点B、C;并测量得到:CD=2,CE=2,∠D=45°,∠ACD=105°,∠ACB=48.19°,∠BCE=75°,∠E=60°,则A、B两点之间的距离为________.解析:依题意知,在△ACD中,∠A=30°,由正弦定理得AC==2,在△BCE中,∠CBE=45°,由正弦定理得BC==3,在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=10,所以AB=,即A、B两点之间的距离为.5\n答案:10.(2022·高考课标全国卷Ⅰ)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=________m.解析:根据题图,AC=100m.在△MAC中,∠CMA=180°-75°-60°=45°.由正弦定理得=⇒AM=100m.在△AMN中,=sin60°,所以MN=100×=150(m).答案:15011.某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量AD=BD=7米,BC=5米,AC=8米,∠C=∠D.求AB的长度.解:在△ABC中,由余弦定理得cosC==.在△ABD中,由余弦定理得cosD==.由∠C=∠D得cosC=cosD,解得AB=7,所以AB的长度为7米.12.(2022·贵阳监测考试)如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,cosB=.(1)求△ACD的面积;(2)若BC=2,求AB的长.5\n解:(1)因为∠D=2∠B,cosB=,所以cosD=cos2B=2cos2B-1=-.因为∠D∈(0,π),所以sinD==.因为AD=1,CD=3,所以△ACD的面积S=AD·CD·sinD=×1×3×=.(2)在△ACD中,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cosD=12,所以AC=2.因为BC=2,=,所以====sinB,所以AB=4.5

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发布时间:2022-08-25 16:57:04 页数:5
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文章作者:U-336598

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