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(新课标)2022年高考数学 题型全归纳 斐波那契数列

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斐波那契数列  每一对兔子过了出生第一个月之后,每个月生一对小兔子。现把一对初生小兔子放在屋内,问一年后屋内有多少对兔子?  先不在这里考虑兔子能否长大,或是某些月份没有生小兔子一类的问题,完全只由数学角度去考虑这问题,意大利数学家斐波那契(Fibonacci)解了这个题目,其内容大约是这样的:  在第一个月时,只有一对小兔子,过了一个月,那对兔子成熟了,在第三个月时便生下一对小兔子,这时有两对兔子。再过多一个月,成熟的兔子再生一对小兔子,而另一对小兔子长大,有三对小兔子。如此推算下去,我们便发现一个规律:时间(月)初生兔子(对)成熟兔子(对)兔子总数(对)110120113112412352356358不难发现,每个月成熟兔子的数目是上个月的兔子总数,而初生兔子的数目是上个月成熟兔子的数目,也即是两个月前的兔子总数,因此每个月的兔子总数刚好是上个月和两个月前的的兔子总数之和。由此可得每个月的兔子总数是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,23,377...,由此可知一年后有377对兔子。  若把上述数列继续写下去,得到的数列便称为斐波那契数列,数列中每个数便是前两个数之和,而数列的最初两个数都是1。若果设F0=1,F1=1,F2=2,F3=3,F4=5,F5=8,F6=13...则成立这个关系式:当n大于1,Fn+2=Fn+1+Fn,而F0=F1=1。下面是一个古怪的式子:  …(1)  Fn看似是无理数,但当n是非负整数时,Fn都是整数,而且组成斐波那契数列,因为F0=F1=1,并且Fn+2=Fn+1+Fn,这可用数学归纳法来证明。利用斐波那契数列解决兔子数目的问题似乎没有甚么用途,因为不能保证兔子真的每月只生一对小兔子一类的问题,但事实上这个数列的应用十分广泛。例如一个走梯级的问题,若某人走上一段梯级,他每一步可以走上一级,或是跳过一级而走到第二级,若他要走上六级,有多少个不同走法?我们可以考虑,若果设Fn是走n级梯级的走法的数目,若他在第n级,他可以走到第n-1级,或是跳过第n-1级,走到第n-2级,他在第n-1级有Fn-1个走法,而在第n-2级有Fn-2个走法,因此在第n级时的走法是Fn-2+Fn-1个走法,即Fn=Fn-2+Fn-1,而他在第二级和第三级的走法分别有1个和2个,因此可知走法的数目与斐波那契数列有关。  我们还可以利用斐波那契数列来做出一个新的数列,方法是把数列中相邻的数字相除,以组成新的数列如下:    从(1)中可知当n-2-\n无限增大时,数列的极限是    这个数值称为黄金分割,它正好是方程x2+x-1=0的一个根。-2-

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发布时间:2022-08-25 22:37:23 页数:2
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文章作者:U-336598

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