2023版高考数学一轮复习课后限时集训12幂函数与二次函数含解析20230318174
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课后限时集训(十二) 幂函数与二次函数建议用时:40分钟一、选择题1.(多选)若幂函数y=f(x)的图象经过点(3,27),则幂函数f(x)是( )A.奇函数 B.偶函数C.增函数D.减函数AC [设幂函数为f(x)=xa(a为常数),因为其图象经过点(3,27),所以27=3a,解得a=3,所以幂函数f(x)=x3.因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以f(x)是奇函数,又a=3>0,所以f(x)在R上是增函数.故选AC.]2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是( )A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>cB [幂函数的图象在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,由下至上,幂指数增大,所以a>b>c>d.故选B.]3.设x=0.20.3,y=0.30.2,z=0.30.3,则x,y,z的大小关系为( )A.x<z<yB.y<x<zC.y<z<xD.z<y<xA [由函数y=0.3x在R上单调递减,可得y>z.由函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增,可得x<z.所以x<z<y.]4.(多选)(2020·广东深圳模拟改编)已知幂函数g(x)=(2a-1)xa+1的图象过函数f(x)=mx-b-(m>0,且m≠1)的图象所经过的定点,则b的值可以为( )A. B. C.- D.-BC [由于g(x)=(2a-1)xa+1为幂函数,则2a-1=1,解得a=1,所以g(x)=x2.函数f(x)=mx-b-(m>0,且m≠1),当x=b时,f(b)=mb-b-=,故f(x)的图象所经过的定点坐标为,所以g(b)=,所以b2=,解得b=±.故选BC.]\n5.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=f(4)>f(1),则( )A.a>0,4a+b=0B.a<0,4a+b=0C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=0A [由f(0)=f(4),得f(x)=ax2+bx+c图象的对称轴为x=-=2,∴4a+b=0,又f(0)>f(1),f(4)>f(1),∴f(x)先减后增,于是a>0,故选A.]6.二次函数f(x)的二次项系数为正数,且对任意的x∈R都有f(x)=f(4-x)成立,若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则实数x的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,2)C.(-2,0)D.(-∞,-2)∪(0,+∞)C [由题意知,二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=2,图象在对称轴左侧对应的函数为减函数.又1-2x2<2,1+2x-x2=2-(x-1)2≤2,所以由f(1-2x2)<f(1+2x-x2),得1-2x2>1+2x-x2,解得-2<x<0.故选C.]二、填空题7.已知二次函数f(x)的图象经过点(2,-6),方程f(x)=0的解集是{-1,4},则f(x)的解析式为________.f(x)=x2-3x-4 [因为f(x)是二次函数,且方程f(x)=0的解集是{-1,4},即f(x)的图象过点(-1,0)和(4,0),所以可设f(x)=a(x+1)(x-4)(a≠0).又因为f(x)的图象经过点(2,-6),所以(2+1)×(2-4)a=-6,即a=1.故f(x)=(x+1)(x-4)=x2-3x-4.]8.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m-8)x(m∈R)是奇函数,若对于任意的x∈R,关于x的不等式f(x2+1)<f(a)恒成立,则实数a的取值范围是________.(-∞,1) [由f(-x)=-f(x)得(m-2)x2-(m-8)x=-(m-2)x2-(m-8)x,则m-2=0,即m=2,∴f(x)=-6x,f(x)是R上的奇函数,且为减函数,由f(x2+1)<f(a)恒成立得x2+1>a恒成立.又当x∈R时,x2+1≥1,所以a<1.]9.若关于x的方程x2-x-m=0在[-1,1]上有解,则实数m的取值范围是________. [法一:由x2-x-m=0得m=x2-x,设f(x)=x2-x,则f(x)=2-,\n当x∈[-1,1]时,f(x)min=-,f(x)max=f(-1)=2,即-≤f(x)≤2,∴-≤m≤2.法二:设f(x)=x2-x-m,则f(x)=2-m-,因为方程f(x)=0在[-1,1]上有解,则解得-≤m≤2.]三、解答题10.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.[解] (1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3,x∈[-2,3],对称轴为x=-∈[-2,3],∴f(x)min=f=--3=-,f(x)max=f(3)=15,∴函数f(x)的值域为.(2)∵函数f(x)图象的对称轴为x=-.①当-≤1,即a≥-时,f(x)max=f(3)=6a+3,∴6a+3=1,即a=-,满足题意;②当->1,即a<-时,f(x)max=f(-1)=-2a-1,∴-2a-1=1,即a=-1,满足题意.综上可知,a=-或-1.11.已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;(3)在[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m\n的取值范围.[解] (1)∵f(x)是二次函数,且f(0)=f(2),∴函数f(x)图象的对称轴为直线x=1.又f(x)的最小值为1,故可设f(x)=A(x-1)2+1(A≠0).∵f(0)=3,∴A+1=3,解得A=2,∴f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3.(2)要使f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,则2a<1<a+1,解得0<a<.(3)由已知得2x2-4x+3>2x+2m+1在[-1,1]上恒成立,化简得m<x2-3x+1.设g(x)=x2-3x+1,则g(x)在区间[-1,1]上单调递减,∴g(x)在区间[-1,1]上的最小值为g(1)=-1,∴m<-1.1.(多选)(2020·天津北辰区一诊改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,则下列选项正确的是( )A.函数f(x)的值域为[-4,+∞)B.f(x)的零点有4个C.不等式f(x+2)<5的解集为(-7,3)D.方程|f(x)|=4的根有4个ACD [对于A,由于函数f(x)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,当x≥0时,f(x)=x2-4x≥-4,故函数f(x)的值域为[-4,+∞),A正确;对于B,当x≥0时,由f(x)=x2-4x=0,得x=0或x=4.由于函数f(x)为偶函数,故f(x)还有一个零点x=-4,f(x)的零点有3个,故选项B错误;对于C,当x≥0时,由f(x)=x2-4x<5,得0≤x<5;当x<0时,根据偶函数图象的对称性知不等式f(x)<5的解集为{x|-5<x<0},所以不等式f(x)<5的解集为{x|-5<x<5},所以不等式f(x+2)<5的解集为{x|-5<x+2<5}={x|-7<x<3},故C正确;作出函数y=|f(x)|的图象(图略),易得方程|f(x)|=4的根有4个,D正确.故选ACD.]2.(多选)若函数f(x)=(x-1)|x+a|在区间(1,2)上单调递增,则满足条件的实数a的值可能是( )A.0B.2\nC.-2D.-3ABD [根据题意可知f(x)=对于y=x2+(a-1)x-a及y=-x2-(a-1)x+a,其图象的对称轴均为直线x=.当≥-a,即a≥-1时,作出f(x)的大致图象(为方便说明,略去y轴以及坐标原点)如图1所示,图1由图可知,此时要满足题意,只需-a≥2或≤1,解得a≤-2或a≥-1,故a≥-1;当<-a,即a<-1时,作出f(x)的大致图象(为方便说明,略去y轴以及坐标原点)如图2所示,图2由图可知,此时要满足题意,只需-a≤1或≥2,解得a≥-1或a≤-3,故a≤-3.综上所述,a≥-1或a≤-3.结合选项可知,选ABD.]3.已知值域为[-1,+∞)的二次函数f(x)满足f(-1+x)=f(-1-x),且方程f(x)=0的两个实根x1,x2满足|x1-x2|=2.(1)求f(x)的表达式;(2)函数g(x)=f(x)-kx在区间[-1,2]上的最大值为f(2),最小值f(-1),求实数k的取值范围.[解] (1)由f(-1+x)=f(-1-x)可得f(x)的图象关于直线x=-1对称,设f(x)=a(x+1)2+h=ax2+2ax+a+h(a≠0),由函数f(x)的值域为[-1,+∞),可得h=-1,根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,\nx1x2=1+,所以|x1-x2|===2,解得a=1,所以f(x)=x2+2x.(2)由题意得函数g(x)在区间[-1,2]上单调递增,又g(x)=f(x)-kx=x2-(k-2)x.所以g(x)图象的对称轴为x=,则≤-1,解得k≤0,故实数k的取值范围为(-∞,0].
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