2023版高考数学一轮复习课后限时集训49圆的方程含解析202303181114
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课后限时集训(四十九) 圆的方程建议用时:40分钟一、选择题1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2D [因为圆心为(1,1)且过原点,所以该圆的半径r==,则该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.]2.(2020·西城二模)圆x2+y2+4x-2y+1=0截x轴所得弦的长度等于( )A.2B.2C.2D.4B [令y=0得x2+4x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-4,x1x2=1.∴|AB|==2.]3.(2020·北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( )A.4B.5C.6D.7A [设圆心C(x,y),则=1,化简得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,1为半径的圆,所以|OC|+1≥|OM|==5,所以|OC|≥5-1=4,当且仅当C在线段OM上时取得等号,故选A.]4.(多选)若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为( )A.4B.6C.3+1D.8ABC [如图.圆C:(x+3)2+(y-3)2=1的圆心坐标为(-3,3),半径为1,直线y=kx-1过定点(0,-1),由图可知,圆心C到直线y=kx-1距离的最大值为=5,则点P到直线y=kx-1距离的最大值为5+1=6.选项ABC中的值均符合,只有D不符合.故选ABC.]\n5.动点A在圆x2+y2=1上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=4C.(2x-3)2+4y2=1D.2+y2=C [设中点M(x,y),则动点A(2x-3,2y).∵点A在圆x2+y2=1上,∴(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.故选C.]6.(多选)(2020·山东青岛检测)已知圆C过点M(1,-2)且与两坐标轴均相切,则下列叙述正确的是( )A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上B.满足条件的圆C有且只有一个C.点(2,-1)在满足条件的圆C上D.满足条件的圆C有且只有两个,它们的圆心距为4ACD [因为圆C和两个坐标轴都相切,且过点M(1,-2),所以设圆心坐标为(a,-a)(a>0),故圆心在直线y=-x上,A正确;圆C的方程为(x-a)2+(y+a)2=a2,把点M的坐标代入可得a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,则圆心坐标为(1,-1)或(5,-5),所以满足条件的圆C有且只有两个,故B错误;圆C的方程分别为(x-1)2+(y+1)2=1,(x-5)2+(y+5)5=25,将点(2,-1)代入可知满足圆的方程,故C正确;它们的圆心距为=4,D正确.]二、填空题7.圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为________.(x-2)2+(y-1)2=1 [设对称圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,圆心(1,2)关于直线y=x的对称点为(2,1),故对称圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.]8.(2020·湖北随州期末)已知O为坐标原点,直线l与圆x2+y2-6y+5=0交于A,B两点,|AB|=2,点M为线段AB的中点.则点M的轨迹方程是________,|+|的取值范围为________.x2+(y-3)2=3 [6-2,6+2] [由题意,圆x2+y2-6y+5=0的圆心为C(0,3),半径R=2,设圆心到直线l的距离为d,可得|AB|=2,即2=2,整理得d=,即|MC|=,所以点M的轨迹表示以C(0,3)为圆心,以为半径的圆,所以点M的轨迹方程为x2+(y-3)2=3.根据向量的运算可得|+|=|2|=2||,又|OC|=3,所以|OC|-≤||≤|OC|+,即3-≤||≤3+,所以6-2≤2||≤6+2,即|+|的取值范围为[6-2,6+2].]9.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2距离的最大值是________.\n+1 [将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d==,故圆上的点到直线x-y=2距离的最大值为d+1=+1.]三、解答题10.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.(1)求直线CD的方程;(2)求圆P的方程.[解] (1)由已知得直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2).所以直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.①又直径|CD|=4,所以|PA|=2.所以(a+1)2+b2=40.②由①②解得或所以圆心P(-3,6)或P(5,-2),所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.11.如图,等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2,高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程;(2)若线段MN的端点N的坐标为(5,2),端点M在圆E上运动,求线段MN的中点P的轨迹方程.[解] (1)由已知可知A(-3,0),B(3,0),C(,3),D(-,3),设圆心E(0,b),由|EB|=|EC|可知(0-3)2+(b-0)2=(0-)2+(b-3)2,解得b=1.所以r2=(0-3)2+(1-0)2=10.所以圆的方程为x2+(y-1)2=10.(2)设P(x,y),由点P是MN中点,得M(2x-5,2y-2).将M点代入圆的方程得(2x-5)2+(2y-3)2=10,即2+2=.\n1.(多选)(2020·山东德州期末)已知点A是直线l:x+y-=0上一定点,点P,Q是圆x2+y2=1上的动点,若∠PAQ的最大值为90°,则点A的坐标可以是( )A.(0,)B.(1,-1)C.(,0)D.(-1,1)AC [原点O到直线l的距离为d==1,则直线l与圆x2+y2=1相切,当AP,AQ均为圆x2+y2=1的切线时,∠PAQ取得最大值.连接OP,OQ(图略),由于∠PAQ的最大值为90°,且∠APO=∠AQO=90°,|OP|=|OQ|=1,故四边形APOQ为正方形,所以|OA|=|OP|=,设点A的坐标为(t,-t),由两点间的距离公式得|OA|==,整理得2t2-2t=0,解得t=0或t=,因此,点A的坐标为(0,)或(,0).故选AC.]2.已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线l:x-2y=0的距离为,且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1,则圆C的方程为________.(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2 [设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则点C到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|.由题意可知∴或故所求圆C的方程为(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.]3.动圆C与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1,x2是方程x2+2mx-4=0的两根.(1)若线段AB是动圆C的直径,求动圆C的方程;(2)证明:当动圆C过点M(0,1)时,动圆C在y轴上截得弦长为定值.[解] (1)∵x1,x2是方程x2+2mx-4=0的两根,∴x1+x2=-2m,x1x2=-4.∵动圆C与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且线段AB是动圆C的直径,∴动圆C的圆心C的坐标为(-m,0),半径为===.∴动圆C的方程为(x+m)2+y2=m2+4.(2)证明:设动圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵动圆C与y轴交于M(0,1),N(0,y1),令y=0,则x2+Dx+F=0,由题意可知D=2m,F=-4,又动圆C过点M(0,1),∴1+E-4=0,解得E=3.令x=0,则y2+3y-4=0,解得y=1或y=-4,∴y1=-4.∴动圆C在y轴上截得弦长为|y1-1|=5.故动圆C在y轴上截得弦长为定值.\n1.(2020·青岛模拟)如图A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),是以OD为直径的圆上一段圆弧,是以BC为直径的圆上一段圆弧,是以OA为直径的圆上一段圆弧,三段弧构成曲线W.给出以下4个结论:①曲线W与x轴围成的面积等于2π;②曲线W上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点);③所在圆的方程为:x2+(y-1)2=1;④与的公切线方程为:x+y=+1.则上述结论正确的是( )A.①②③④B.②③④C.①②③D.②③B [曲线W与x轴的图形为以(0,1)圆心,1为半径的半圆加上以(1,0)为圆心,1为半径的圆,加上以(-1,0)为圆心,1为半径的圆,加上长为2,宽为1的矩形构成,可得其面积为π+2×π+2=2+π≠2π,故①错误;曲线W上有(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,1),(2,0)共5个整点,故②正确;是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,其所在圆的方程为x2+(y-1)2=1,故③正确;设与的公切线方程为y=kx+t(k<0,t>0),由直线和圆相切的条件可得=1=,解得k=-1,t=1+(t=1-舍去),则其公切线方程为y=-x+1+,即x+y=1+,故④正确.故选B.]2.在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.(2)求证:过A,B,C三点的圆过定点.[解] 由曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R),令y=0,得x2-mx+2m=0.设A(x1,0),B(x2,\n0),可得Δ=m2-8m>0,则m<0或m>8,x1+x2=m,x1x2=2m.令x=0,得y=2m,即C(0,2m).(1)若存在以AB为直径的圆过点C,则·=0,得x1x2+4m2=0,即2m+4m2=0,所以m=0(舍去)或m=-.此时C(0,-1),AB的中点M即圆心,半径r=|CM|=,故所求圆的方程为2+y2=.(2)证明:设过A,B两点的圆的方程为x2+y2-mx+Ey+2m=0,将点C(0,2m)代入可得E=-1-2m,所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0.整理得x2+y2-y-m(x+2y-2)=0.令可得或故过A,B,C三点的圆过定点(0,1)和.
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