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2023版高考数学一轮复习课后限时集训55曲线与方程含解析202303181121

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课后限时集训(五十五) 曲线与方程建议用时:40分钟一、选择题1.若方程x2+=1(a是常数),则下列结论正确的是(  )A.任意实数a方程表示椭圆B.存在实数a方程表示椭圆C.任意实数a方程表示双曲线D.存在实数a方程表示抛物线B [当a>0且a≠1时,该方程表示椭圆;当a<0时,该方程表示双曲线;当a=1时,该方程表示圆.故选B.]2.已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且·=·,则动点P的轨迹C的方程为(  )A.x2=4yB.y2=3xC.x2=2yD.y2=4xA [设点P(x,y),则Q(x,-1).∵·=·,∴(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,∴动点P的轨迹C的方程为x2=4y.]3.(2020·静安区二模)方程2x2-9xy+8y2=0的曲线C所满足的性质为(  )①不经过第二、四象限;②关于x轴对称;③关于原点对称;④关于直线y=x对称.A.①③B.②③C.①④D.①②A [由题意,2x2-9xy+8y2=0化为:9xy=2x2+8y2≥0,说明x,y同号或同时为0,所以图形不经过第二、四象限,①正确;-y换y,方程发生改变,所以图形不关于x轴对称,所以②不正确;以-x代替x,以-y代替y,方程不变,所以③正确;方程2x2-9xy+8y2=0,x,y互换,方程化为8x2-9xy+2y2=0,方程已经改变,所以④不正确.故选A.]4.(2020·成都模拟)设C为椭圆x2+=1上任意一点,A(0,-2),B(0,2),延长AC至点P,使得|PC|=|BC|,则点P的轨迹方程为(  )A.x2+(y-2)2=20B.x2+(y+2)2=20C.x2+(y-2)2=5D.x2+(y+2)2=5\nB [如图,由椭圆方程x2+=1,得a2=5,b2=1,∴c==2,则A(0,-2),B(0,2)为椭圆两焦点,∴|CA|+|CB|=2a=2,∵|PC|=|BC|,∴|PA|=|PC|+|CA|=|BC|+|CA|=2.∴点P的轨迹是以A为圆心,以2为半径的圆,其方程为x2+(y+2)2=20.故选B.]5.在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:条件方程①△ABC周长为10C1:y2=25②△ABC面积为10C2:x2+y2=4(y≠0)③△ABC中,∠A=90°C3:+=1(y≠0)则满足条件①,②,③的轨迹方程依次为(  )A.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C2A [①△ABC的周长为10,即|AB|+|AC|+|BC|=10,又|BC|=4,所以|AB|+|AC|=6>|BC|,此时动点A的轨迹为椭圆,与C3对应;②△ABC的面积为10,所以|BC|·|y|=10,即|y|=5,与C1对应;③因为∠A=90°,所以·=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x2+y2-4=0,与C2对应.故选A.]6.设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且|AB|=5,=+,则点M的轨迹方程为(  )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1A [设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),由=+,得(x,y)=(x0,0)+(0,y0),则解得\n由|AB|=5,得2+2=25,化简得+=1.]二、填空题7.已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为__________.(x-10)2+y2=36(y≠0) [设A(x,y),则D.∴|CD|==3,化简得(x-10)2+y2=36,由于A,B,C三点构成三角形,∴A不能落在x轴上,即y≠0.]8.一条线段的长等于6,两端点A,B分别在x轴和y轴的正半轴上滑动,P在线段AB上且=2,则点P的轨迹方程是________.4x2+y2=16(x>0,y>0) [设P(x,y),A(a,0),B(0,b),则a2+b2=36.因为=2,所以(x-a,y)=2(-x,b-y),所以即代入a2+b2=36,得9x2+y2=36,即4x2+y2=16.]9.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是________.+=1(y≠0) [设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线的焦点轨迹方程为+=1(y≠0).]三、解答题10.在△ABC中,||=4,△ABC的内切圆切BC于D点,且||-||=2,求顶点A的轨迹方程.\n[解] 以BC的中点为原点,中垂线为y轴建立如图所示的坐标系,E,F分别为两个切点.则|BE|=|BD|,|CD|=|CF|,|AE|=|AF|.所以|AB|-|AC|=2<4,所以点A的轨迹为以B,C为焦点的双曲线的右支(y≠0),且a=,c=2,所以b=,所以轨迹方程为-=1(x>).11.如图,P是圆x2+y2=4上的动点,点P在x轴上的射影是点D,点M满足=.(1)求动点M的轨迹C的方程,并说明轨迹是什么图形;(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A,B,求以OA,OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.[解] (1)设M(x,y),则D(x,0),由=知,P(x,2y),∵点P在圆x2+y2=4上,∴x2+4y2=4,故动点M的轨迹C的方程为+y2=1,且轨迹C为椭圆.(2)设E(x,y),由题意知l的斜率存在,设l:y=k(x-3),代入+y2=1,得(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0,(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,∴y1+y2=k(x1-3)+k(x2-3)=k(x1+x2)-6k=-6k=-.∵四边形OAEB为平行四边形,∴=+=(x1+x2,y1+y2)=,又=(x,y),∴消去k,得x2+4y2-6x=0,由(*)中Δ=(-24k2)2-4(1+4k2)(36k2-4)>0,\n得k2<,∴0<x<.∴顶点E的轨迹方程为x2+4y2-6x=0.1.(2020·宁城模拟)如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片,壁灯轴线与墙面平行,则光影的边缘是(  )A.抛物线B.双曲线一支C.椭圆D.抛物线或双曲线B [房间壁灯向上照射,区域可理解为顶点在下面的圆锥,墙面不与圆锥面的母线平行,结果不是抛物线,又壁灯轴线与墙面平行,则不是椭圆,而墙面与圆锥侧面相交,且不过圆锥顶点,又与壁灯轴线平行,则结果为双曲线的一支.故选B.]2.(2020·湖北八校二联)如图,AB是与平面α交于点A的斜线段,点C满足|BC|=λ|AC|(λ>0),且在平面α内运动,给出以下几个命题:①当λ=1时,点C的轨迹是抛物线;②当λ=1时,点C的轨迹是一条直线;③当λ=2时,点C的轨迹是圆;④当λ=2时,点C的轨迹是椭圆;⑤当λ=2时,点C的轨迹是双曲线.其中正确的命题是________(将所有正确命题的序号填到横线上).②③ [在△ABC中,|BC|=λ|AC|,当λ=1时,|BC|=|AC|,过AB的中点作线段AB的垂面β,则点C在α与β的交线上,所以点C的轨迹是一条直线.当λ=2时,|BC|=2|AC|,设B在平面α内的射影为D,连接BD,CD,AD(图略).设|BD|=h,则|BC|=.设|AD|=2a,在平面α内,以AD所在直线为x轴,AD的垂直平分线为y轴,的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系(图略),设C(x,y),则A(-a,0),D(a,0),|CA|=,|CD|=,|CB|==,所以=2,化简可得2+y2=+,所以当λ=2时,点C的轨迹是圆.故②③正确.]3.在平面直角坐标系中,已知A1(-,0),A2(,0),P(x,y),M(x,1),N(x\n,-2),若实数λ使得λ2·=·(O为坐标原点).求P点的轨迹方程,并讨论P点的轨迹类型.[解] =(x,1),=(x,-2),=(x+,y),=(x-,y).∵λ2·=·,∴(x2-2)λ2=x2-2+y2,整理得(1-λ2)x2+y2=2(1-λ2).①当λ=±1时,方程为y=0,轨迹为一条直线;②当λ=0时,方程为x2+y2=2,轨迹为圆;③当λ∈(-1,0)∪(0,1)时,方程为+=1,轨迹为中心在原点,焦点在x轴上的椭圆;④当λ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,方程为-=1,轨迹为中心在原点,焦点在x轴上的双曲线.1.(2020·浦东新区三模)数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面,一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物.曲线C:(x2+y2)3=16x2y2为四叶玫瑰线,下列结论正确的有(  )①方程(x2+y2)3=16x2y2(xy<0),表示的曲线在第二和第四象限;②曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2;③曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4π;④曲线C上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点).A.①②B.①②③C.①②④D.①③④A [对于①,因为xy<0,所以x与y异号,故图象在第二和第四象限,即①正确.对于②,因为x2+y2≥2xy(x>0,y>0),所以xy≤,所以(x2+y2)3=16x2y2≤16×=4(x2+y2)2,所以x2+y2≤4,即②正确.对于③,以O为圆点,2为半径的圆O的面积为4π,显然曲线C\n围成的区域的面积小于圆O的面积,即③错误.把x=,y=代入曲线C,可知等号两边成立,所以曲线C在第一象限过点(,),由曲线的对称性可知,该点的位置是图中的点M,对于④,只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可,把(1,1),(1,2)和(2,1)代入曲线C的方程验证可知,等号不成立,所以曲线C在第一象限内不经过任何整点,再结合曲线的对称性可知,曲线C只经过整点(0,0),即④错误.故选A.]2.(2020·宝山区模拟)如图,某野生保护区监测中心设置在点O处,正西、正东、正北处有三个监测点A,B,C,且|OA|=|OB|=|OC|=30km,一名野生动物观察员在保护区遇险,发出求救信号,三个监测点均收到求救信号,A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒(注:信号每秒传播V0千米).(1)以O为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程;(2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同,求观察员遇险地点坐标,以及与监测中心O的距离;(3)若C点监测点信号失灵,现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描,为保证有救援希望,扫描半径r至少是多少公里?[解] (1)以O为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒,可知野生动物观察员在保护区遇险,发出求救信号的位置,在以AB为焦点的双曲线的左支,所以c=30,2a=40,所以a=20,则b=10,所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程为-=1,x<0.(2)已知C点与A点接收到信号的时间相同,则观察员遇险地点既在双曲线上,又在y=-x(x<0)上,所以可得x=-20,y=20,观察员遇险地点坐标(-20,20),观察员遇险地点与监测中心O的距离为=20.(3)由题意可得以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描,可得x2+(y-30)2=r2,与-\n=1,x≤0联立,消去x可得9y2-300y+6500-5r2=0,Δ=90000-36(6500-5r2)≥0,解得r≥20.为保证有救援希望,扫描半径r至少是20公里.

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发布时间:2022-08-25 17:22:15 页数:8
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文章作者:U-336598

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