全国版2023高考数学二轮复习专题检测二十导数的几何意义及简单应用文含解析20230325124

专题检测（二十）导数的几何意义及简单应用A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.已知函数f(x)的导函数f′(x)满足下列条件：①f′(x)>0时，x<－1或x>2；②f′(x)<0时，－1<x<2；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.则函数f(x)的大致图象是(　　)解析：选A　根据条件知，函数f(x)在(－1，2)上是减函数.在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，故选A.2.设函数f(x)＝xex＋1，则(　　)A.x＝1为f(x)的极大值点B.x＝1为f(x)的极小值点C.x＝－1为f(x)的极大值点D.x＝－1为f(x)的极小值点解析：选D　由题意得，f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，所以x＝－1为f(x)的极小值点，故选D.3.已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为(　　)A.ln2　　　　　　　B.1C.1－ln2D.1＋ln2解析：选D　由y＝xlnx知y′＝lnx＋1，设切点为(x0，x0lnx0)，则切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)·(x－x0)，因为切线y＝kx－2过定点(0，－2)，所以－2－x0lnx0＝(lnx0＋1)(0－x0)，解得x0＝2，故k＝1＋ln2，选D.4.若x＝是函数f(x)＝(x2－2ax)ex的极值点，则函数y＝f(x)的最小值为(　　)A.e－B.0C.eD.－e\n解析：选C　f(x)＝(x2－2ax)ex，f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋2(1－a)x－2a]ex，由已知得，f′＝0，所以2＋2－2a－2a＝0，解得a＝1.所以f(x)＝(x2－2x)ex，所以f′(x)＝(x2－2)ex，所以函数的极值点为－，，当x∈时，f′(x)＜0；所以函数y＝f(x)是减函数，当x∈或x∈时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)是增函数.又当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，x2－2x＞0，f(x)＞0，当x∈(0，2)时，x2－2x＜0，f(x)＜0，所以f(x)min在x∈(0，2)上，又当x∈时，函数y＝f(x)递减，当x∈时，函数y＝f(x)递增，所以f(x)min＝f＝e.5.已知函数f(x)＝(2x＋lnx－a)ex在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的最大值是(　　)A.5－ln2B.5－2ln2C.2－ln2D.5＋2ln2解析：选A　∵f(x)＝(2x＋lnx－a)ex，∴f′(x)＝(2x＋lnx＋＋2－a)ex，x∈(0，＋∞).依题意，知x∈(0，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，即a≤2x＋lnx＋＋2在(0，＋∞)上恒成立.设g(x)＝2x＋lnx＋＋2，则g′(x)＝2＋－＝＝，x∈(0，＋∞).令g′(x)＝0，得x＝或x＝－1(舍去).令g′(x)＜0，则0＜x＜，令g′(x)＞0，则x＞，∴当x＝时，函数g(x)取得最小值，g(x)min＝g＝5－ln2，∴a≤5－ln2，即实数a的最大值是5－ln2.故选A.6.已知函数f(x)为偶函数，当x＞0时，f(x)＝－4－x，设a＝f(log30.2)，b＝f(3－0.2)，c＝f(－31.1)，则(　　)A.c＞a＞bB.a＞b＞cC.c＞b＞aD.b＞a＞c解析：选A　因为函数f(x)为偶函数，所以a＝f(log30.2)＝f(－log30.2)，c＝f(－31.1)＝f(31.1).\n因为log3＜log30.2＜log3，所以－2＜log30.2＜－1，所以1＜－log30.2＜2，所以31.1＞3＞－log30.2＞1＞3－0.2.因为y＝在(0，＋∞)上为增函数，y＝－4－x在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以f(31.1)＞f(－log30.2)＞f(3－0.2)，所以c＞a＞b，故选A.二、填空题7.(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________.解析：设A(m，n)，则曲线y＝lnx在点A处的切线方程为y－n＝(x－m).又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝(m＋e).再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1).答案：(e，1)8.若函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是________.解析：由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋，要使函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则需方程1＋＝0在(0，＋∞)上有解，即x＝－a，∴a<0.答案：(－∞，0)9.设定义在R上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x).如果存在x0∈[a，b]，使得f(b)－f(a)＝f′(x0)(b－a)成立，则称x0为函数f(x)在区间[a，b]上的“中值点”.那么函数f(x)＝x3－3x在区间[－2，2]上的“中值点”为________.解析：由f(x)＝x3－3x求导可得f′(x)＝3x2－3，设x0为函数f(x)在区间[－2，2]上的“中值点”，则f′(x0)＝＝1，即3x－3＝1，解得x0＝±.答案：±三、解答题10.已知函数f(x)＝x2＋ax－alnx.(1)若曲线y＝f(x)在x＝2处的切线与直线x＋3y－2＝0垂直，求实数a的值；(2)若函数f(x)在[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围.\n解：(1)f′(x)＝2x＋a－＝(x＞0)，依题意有f′(2)＝＝3，∴a＝－2.(2)依题意有2x2＋ax－a≥0在x∈[2，3]上恒成立，即a≥在[2，3]上恒成立，∵′＝≤0(x∈[2，3]),∴y＝在[2，3]上单调递减，∴当x∈[2，3]时，＝－8，∴实数a的取值范围为[－8，＋∞).11.(2019·重庆市七校联合考试)设函数f(x)＝－，g(x)＝a(x2－1)－lnx(a∈R，e为自然对数的底数).(1)证明：当x＞1时，f(x)＞0；(2)讨论g(x)的单调性.解：(1)证明：f(x)＝，令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1，当x＞1时，s′(x)＞0，所以s(x)在(1，＋∞)上单调递增，又s(1)＝0，所以s(x)＞0，从而当x＞1时，f(x)＞0.(2)g′(x)＝2ax－＝(x＞0)，当a≤0时，g′(x)＜0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，当a＞0时，由g′(x)＝0得x＝.当x∈时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，当x∈时，g′(x)＞0，g(x)单调递增.12.已知函数f(x)＝asinx＋bcosx(a，b∈R)，曲线y＝f(x)在点处的切线方程为y＝x－.(1)求a，b的值；(2)求函数g(x)＝在上的最小值.解：(1)由切线方程知，当x＝时，y＝0，所以f＝a＋b＝0.\n因为f′(x)＝acosx－bsinx.所以由切线方程知，f′＝a－b＝1，所以a＝，b＝－.(2)由(1)知，f(x)＝sinx－cosx＝sin，所以函数g(x)＝，g′(x)＝，设u(x)＝xcosx－sinx，则u′(x)＝－xsinx＜0，故u(x)在上单调递减，所以u(x)＜u(0)＝0，即g′(x)＜0在上恒成立，所以g(x)在上单调递减，所以函数g(x)在上的最小值为g＝.B组——大题专攻强化练1.设f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R.(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围.解：(1)由f′(x)＝lnx－2ax＋2a，可得g(x)＝lnx－2ax＋2a，x∈(0，＋∞).则g′(x)＝－2a＝.当a≤0时，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；当a＞0时，x∈时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，x∈时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减.所以当a≤0时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)，当a＞0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.(2)由(1)知，f′(1)＝0.\n①当a≤0时，f′(x)单调递增，所以当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.所以f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意.②当0＜a＜时，＞1，由(1)知f′(x)在内单调递增，可得当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，x∈时，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，1)内单调递减，在内单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意.③当a＝时，＝1，f′(x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不符合题意.④当a＞时，0＜＜1，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意.综上可知，实数a的取值范围为a＞.2.已知函数f(x)＝－x2＋ax－lnx(a∈R).(1)若函数f(x)是单调递减函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在区间(0，3)上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围.解：(1)f′(x)＝－2x＋a－＝(x＞0)，因为函数f(x)是单调递减函数，所以f′(x)≤0在(0，＋∞)恒成立，所以－2x2＋ax－1≤0在(0，＋∞)恒成立，即a≤2x＋对(0，＋∞)恒成立，因为2x＋≥2＝2，所以a≤2.(2)因为函数f(x)在(0，3)上既有极大值又有极小值，所以f′(x)＝＝0在(0，3)上有两个相异实根，\n即2x2－ax＋1＝0在(0，3)上有两个相异实根，令g(x)＝2x2－ax＋1，则得即2＜a＜.所以实数a的取值范围是.3.(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求M－m的取值范围.解：(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.若a>0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减；若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增；若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减.(2)当0<a<3时，由(1)知，f(x)在单调递减，在单调递增，所以f(x)在[0，1]的最小值为f＝－＋2，最大值为f(0)＝2或f(1)＝4－a.于是m＝－＋2，M＝所以M－m＝\n当0<a<2时，可知2－a＋单调递减，所以M－m的取值范围是.当2≤a<3时，单调递增，所以M－m的取值范围是.综上，M－m的取值范围是.4.已知常数a≠0，f(x)＝alnx＋2x.(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围.解：(1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)，f′(x)＝＋2＝.当a＝－4时，f′(x)＝.∴当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)单调递减；当x>2时，f′(x)>0，即f(x)单调递增.∴f(x)只有极小值，且在x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－4ln2.(2)∵f′(x)＝，∴当a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；当a<0时，由f′(x)>0得，x>－，∴f(x)在上单调递增；由f′(x)<0得，x<－，∴f(x)在上单调递减.∴当a<0时，f(x)的最小值为f＝aln＋2.根据题意得f＝aln＋2≥－a，即a[ln(－a)－ln2]≥0.∵a<0，∴ln(－a)－ln2≤0，解得a≥－2，∴实数a的取值范围是[－2，0).