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全国版2023高考数学二轮复习专题检测二十一函数导数与不等式文含解析20230325134

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专题检测(二十一)函数、导数与不等式大题专攻强化练1.(2019·贵州省适应性考试)函数f(x)=x-lnx,g(x)=aex.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:当a≥时,xf(x)≤g(x).解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).由f(x)=x-lnx,得f′(x)=1-=,当x∈(0,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).(2)证明:要证xf(x)≤g(x),即证x(x-lnx)≤aex,即证a≥.设h(x)=,则h′(x)==,由(1)可知f(x)≥f(1)=1,即lnx-(x-1)≤0,于是,当x∈(0,1)时,h′(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,h(x)单调递减.所以x=1时,h(x)取得最大值,h(x)max==,所以当a≥时,xf(x)≤g(x).2.(2019·北京高考)已知函数f(x)=x3-x2+x.(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;(2)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x;(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.解:(1)由f(x)=x3-x2+x得f′(x)=x2-2x+1.令f′(x)=1,即x2-2x+1=1,得x=0或x=.\n又f(0)=0,f=,所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y-=x-,即y=x与y=x-.(2)证明:令g(x)=f(x)-x,x∈[-2,4].由g(x)=x3-x2得g′(x)=x2-2x.令g′(x)=0得x=0或x=.当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下:x-2(-2,0)04g′(x)+0-0+g(x)-60-0所以g(x)的最小值为-6,最大值为0.故-6≤g(x)≤0,即x-6≤f(x)≤x.(3)由(2)知,当a<-3时,M(a)=F(0)=|g(0)-a|=-a>3;当a>-3时,M(a)=F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3;当a=-3时,M(a)=3.综上,当M(a)最小时,a=-3.3.设函数f(x)=2lnx-mx2+1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当f(x)有极值时,若存在x0,使得f(x0)>m-1成立,求实数m的取值范围.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-2mx=,当m≤0时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;当m>0时,令f′(x)>0,得0<x<,令f′(x)<0,得x>,∴f(x)在上单调递增,在上单调递减.\n(2)由(1)知,当f(x)有极值时,m>0,且f(x)在上单调递增,在上单调递减.∴f(x)max=f=2ln-m·+1=-lnm,若存在x0,使得f(x0)>m-1成立,则f(x)max>m-1.即-lnm>m-1,lnm+m-1<0成立.令g(x)=x+lnx-1(x>0),∵g′(x)=1+>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0,∴0<m<1.∴实数m的取值范围是(0,1).4.(2019·武汉市调研测试)已知函数f(x)=(x-1)lnx+ax(a∈R).(1)在a=0时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)a=0时,f(x)=(x-1)lnx,f′(x)=lnx+(x-1)·=lnx-+1,设g(x)=lnx-+1,则g′(x)=>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0,∴x∈(0,1)时,g(x)<0,即f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,g(x)>0,即f′(x)>0,∴f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).(2)由(x-1)lnx+ax>0,得-ax<(x-1)lnx,而x>0,∴-a<=lnx-.记h(x)=lnx-,则h′(x)=-=,设m(x)=lnx+x-1(x>0),显然m(x)在(0,+∞)上单调递增,而m(1)=0,∴x∈(0,1)时,m(x)<0,h′(x)<0,h(x)单调递减,x∈(1,+∞)时,m(x)>0,h′(x)>0,h(x)单调递增,∴h(x)min=h(1)=0.∴-a<0,∴a>0,即实数a的取值范围是(0,+∞).

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发布时间:2022-08-25 21:58:00 页数:3
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文章作者:U-336598

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