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全国版2023高考数学二轮复习专题检测二十三坐标系与参数方程文含解析20230325129

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专题检测(二十三)坐标系与参数方程大题专攻强化练1.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ,θ∈.(1)求半圆C的参数方程;(2)若半圆C与圆D:(x-5)2+(y-)2=m(m是常数,m>0)相切,试求切点的直角坐标.解:(1)半圆C的普通方程为(x-2)2+y2=4(0≤y≤2),则半圆C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).(2)C,D的圆心坐标分别为(2,0),(5,),于是直线CD的斜率k==.由于切点必在两个圆心的连线上,故切点对应的参数t满足tant=,t=,所以切点的直角坐标为,即(2+,1).2.(2019·全国卷Ⅲ)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,π),弧,,所在圆的圆心分别是(1,0),,(1,π),曲线M1是弧,曲线M2是弧,曲线M3是弧.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=,求P的极坐标.解:(1)由题设可得,弧,,所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,ρ=2sinθ,ρ=-2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ=2cosθ,M2的极坐标方程为ρ=2sinθ,M3的极坐标方程为ρ=-2cosθ.(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知\n若0≤θ≤,则2cosθ=,解得θ=;若≤θ≤,则2sinθ=,解得θ=或θ=;若≤θ≤π,则-2cosθ=,解得θ=.综上,P的极坐标为或或或.3.(2019·福州市第一学期抽测)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,α为l的倾斜角),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线E的极坐标方程为ρ=4sinθ,直线θ=β,θ=β+,θ=β-(ρ∈R)与曲线E分别交于不同于极点O的三点A,B,C.(1)若<β<,求证:|OB|+|OC|=|OA|;(2)当β=时,直线l过B,C两点,求y0与α的值.解:(1)证明:依题意,|OA|=|4sinβ|,|OB|=,|OC|=,∵<β<,∴|OB|+|OC|=4sin+4sin=4sinβ=|OA|.(2)当β=时,直线θ=β+与曲线E的交点B的极坐标为,直线θ=β-与曲线E的交点C的极坐标为,从而,B,C两点的直角坐标分别为B(,1),C(0,4),∴直线l的方程为y=-x+4,∴y0=1,α=.4.(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线M的极坐标方程为ρ=2cosθ,若极坐标系内异于O的三点A(ρ1,φ),B,C(ρ1,ρ2,ρ3>0)都在曲线M上.(1)求证:ρ1=ρ2+ρ3;(2)若过B,C两点的直线的参数方程为(t为参数),求四边形OBAC\n的面积.解:(1)证明:由题意得ρ1=2cosφ,ρ2=2cos,ρ3=2cos,则ρ2+ρ3=2cos+2cos=2cosφ=ρ1.(2)由曲线M的极坐标方程得曲线M的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,将直线BC的参数方程代入曲线M的直角坐标方程得t2-t=0,解得t1=0,t2=,∴在平面直角坐标中,B,C(2,0),则ρ2=1,ρ3=2,φ=,∴ρ1=.∴四边形OBAC的面积S=S△AOB+S△AOC=ρ1ρ2·sin+ρ1ρ3sin=.5.在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为α的直线l过点M(-2,-4).以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,且在两坐标系中长度单位相同,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与C交于A,B两点,且|MA|·|MB|=40,求倾斜角α的值.解:(1)因为倾斜角为α的直线过点M(-2,-4),所以直线l的参数方程是(t是参数).因为曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ,所以ρ2sin2θ=2ρcosθ,所以曲线C的直角坐标方程是y2=2x.(2)把直线的参数方程代入y2=2x,得t2sin2α-(2cosα+8sinα)t+20=0,由题意知,Δ>0,设t1,t2为方程t2sin2α-(2cosα+8sinα)t+20=0的两根,则t1+t2=,t1t2=,根据直线参数方程的几何意义知|MA|·|MB|=|t1t2|==40,故α=或α=,又Δ=(2cosα+8sinα)2-80sin2α>0,所以α=.6.(2019·湖南省五市十校联考)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t是参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=cos\n.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)过直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.解:(1)由ρ=cos,得ρ2=ρcosθ-ρsinθ,∴x2+y2-x+y=0,即圆C的直角坐标方程为+=.(2)设l上任意一点P(t,t+2),过P向圆C引切线,切点为Q,连接PC,CQ,∵圆C的圆心为C,半径r=,∴|PQ|===≥2,即切线长的最小值为2.7.(2019·石家庄市模拟(一))在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l的极坐标方程为θ=.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)当0<r<2时,若曲线C与射线l交于A,B两点,求+的取值范围.解:(1)由题意知曲线C的普通方程为(x-2)2+y2=r2,令x=ρcosθ,y=ρsinθ,化简得ρ2-4ρcosθ+4-r2=0.(2)法一:把θ=代入曲线C的极坐标方程中,得ρ2-2ρ+4-r2=0.令Δ=4-4(4-r2)>0,结合0<r<2,得3<r2<4.方程的解ρ1,ρ2分别为点A,B的极径,ρ1+ρ2=2,ρ1ρ2=4-r2>0,∴+=+==.∵3<r2<4,∴0<4-r2<1,∴+∈(2,+∞).\n法二:射线l的参数方程为(t为参数,t≥0),将其代入曲线C的方程(x-2)2+y2=r2中得,t2-2t+4-r2=0,令Δ=4-4(4-r2)>0结合0<r<2,得3<r2<4,方程的解t1,t2分别为点A,B对应的参数,t1+t2=2,t1t2=4-r2,t1>0,t2>0,∴+=+==.∵3<r2<4,∴0<4-r2<1,∴+∈(2,+∞).8.(2019·洛阳市统考)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t是参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2=.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)设曲线C2经过伸缩变换得到曲线C3,M(x,y)是曲线C3上任意一点,求点M到曲线C1的距离的最大值.解:(1)根据消参可得曲线C1的普通方程为x-2y-5=0,∵ρ2=,∴ρ2+3ρ2sin2θ=4,将代入可得:x2+4y2=4.故曲线C2的直角坐标方程为+y2=1.(2)曲线C2:+y2=1,经过伸缩变换得到曲线C3的方程为+y′2=1,∴曲线C3的方程为+y2=1.设M(4cosα,sinα),根据点到直线的距离公式可得点M到曲线C1的距离d===≤=2+(其中tanφ=2),∴点M到曲线C1的距离的最大值为2+.\n

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发布时间:2022-08-25 21:57:59 页数:6
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文章作者:U-336598

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