全国通用版2022高考数学二轮复习中档大题规范练五坐标系与参数方程文

(五)坐标系与参数方程1．(2022·钦州模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P(－3,0)，其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－3＝0.(1)若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．解　(1)将曲线C的极坐标方程ρ2－2ρcosθ－3＝0化为直角坐标方程为x2＋y2－2x－3＝0，直线l的参数方程为(t为参数)，将参数方程代入x2＋y2－2x－3＝0，整理得t2－8tcosα＋12＝0.∵直线l与曲线C有公共点，∴Δ＝64cos2α－48≥0，∴≤cosα≤1或－1≤cosα≤－，∵α∈[0，π)，∴α的取值范围是∪.(2)曲线C的方程x2＋y2－2x－3＝0可化为(x－1)2＋y2＝4，其参数方程为(θ为参数)，∵M(x，y)为曲线上任意一点，∴x＋y＝1＋2cosθ＋2sinθ＝1＋2sin，4\n∴x＋y的取值范围是[1－2，1＋2]．2．(2022·安徽省“皖江八校”联考)在平面直角坐标系xOy中，直线C1：x＝0，圆C2：(x－1)2＋(y－1－)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C1与C2的交点为A，C2与C3的交点为B，求△OAB的面积．解　(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝0，即θ＝(ρ∈R)，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2(1＋)ρsinθ＋3＋2＝0.(2)设A，B，将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－2(1＋)ρsinθ＋3＋2＝0，得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ1＝1＋.将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－2(1＋)ρsinθ＋3＋2＝0，得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ2＝1＋.故△OAB的面积为×(1＋)2×sin＝1＋.3．(2022·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知曲线C1的参数方程为(t为参数，0≤α<π)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin.(1)若极坐标为的点A在曲线C1上，求曲线C1与曲线C2的交点坐标；(2)若点P的坐标为(－1,3)，且曲线C1与曲线C2交于B，D两点，求|PB|·|PD|.解　(1)点对应的直角坐标为(1,1)，由曲线C1的参数方程知，曲线C1是过点(－1,3)的直线，故曲线C1的方程为x＋y－2＝0.4\n而曲线C2：ρ＝2sin可化为ρ2＝2ρ(sinθ＋cosθ)，得直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0.联立解得或故交点坐标分别为(2,0)，(0,2)．(2)由判断知P在直线C1上，将代入方程x2＋y2－2x－2y＝0，得t2－4(cosα－sinα)t＋6＝0，设点B，D对应的参数分别为t1，t2，则|PB|＝|t1|，|PD|＝|t2|，又t1t2＝6，所以|PB|·|PD|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝6.4．(2022·辽宁省重点高中协作体模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sinθ.(1)求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；(2)若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求|MN|.解　(1)因为ρcos2θ＝8sinθ，所以ρ2cos2θ＝8ρsinθ，即x2＝8y，所以曲线C表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y轴的抛物线．(2)直线l过抛物线的焦点(0,2)，且参数方程为(t为参数)，代入曲线C的直角坐标方程，得t2－2t－20＝0，所以t1＋t2＝2，t1t2＝－20.所以|MN|＝|t1－t2|＝＝＝10.5．(2022·宁夏回族自治区银川一中模拟)在直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为(t为参数)，圆C2与圆C1外切于原点O，且两圆圆心的距离|C1C2|＝3，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C1和圆C2的极坐标方程；(2)过点O的直线l1，l2与圆C2异于点O的交点分别为点A和点D，与圆C1异于点O4\n的交点分别为点C和点B，且l1⊥l2.求四边形ABCD面积的最大值．解　(1)由圆C1的参数方程(t为参数)，得圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，故C1(－1,0)，r1＝1.又圆C2与圆C1外切于原点O，且两圆圆心的距离|C1C2|＝3，所以C2(2,0)，r2＝2，故圆C2的方程为(x－2)2＋y2＝4.所以由得圆C1的极坐标方程为ρ＝－2cosθ，圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(2)由已知设A(ρ1，θ)，由l1⊥l2可得，B，C(ρ3，θ＋π)，D.由(1)得所以S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝(ρ1＋ρ3)(ρ2＋ρ4)＝18sinθcosθ＝9sin2θ.所以当sin2θ＝1，即θ＝时，S四边形ABCD有最大值9.4