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全国通用版2022高考数学二轮复习中档大题规范练五坐标系与参数方程理

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(五)坐标系与参数方程1.(2022·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos.(1)判断直线l与曲线C的位置关系;(2)设M为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.解 (1)由消去t,得直线l的普通方程为y=x+4.由ρ=2cos,得ρ=2cosθcos-2sinθsin=cosθ-sinθ.∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ,即x2-x+y2+y=0.化为标准方程得2+2=1.∴圆心坐标为,半径为1.∵圆心到直线l:x-y+4=0的距离d==5>1,∴直线l与曲线C相离.5\n(2)由M(x,y)为曲线C上任意一点,可设(0≤θ<2π),则x+y=sinθ+cosθ=sin,∵0≤θ<2π,∴-≤sin≤,∴x+y的取值范围是[-,].2.(2022·湖北省华中师范大学第一附属中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),曲线C2的参数方程为(β为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程;(2)已知射线l1:θ=α,将射线l1顺时针方向旋转得到l2:θ=α-,且射线l1与曲线C1交于O,P两点,射线l2与曲线C2交于O,Q两点,求|OP|·|OQ|的最大值.解 (1)曲线C1的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以C1的极坐标方程为ρ=2cosθ.曲线C2的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,所以C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(2)设点P的极坐标为(ρ1,α),即ρ1=2cosα,设点Q的极坐标为,即ρ2=2sin,则|OP|·|OQ|=ρ1·ρ2=2cosα·2sin=4cosα=2sinαcosα-2cos2α=sin2α-cos2α-1=2sin-1.∵<α<,∴<2α-<,5\n当2α-=,即α=时,|OP|·|OQ|取最大值1.3.(2022·江西省重点中学协作体联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(m,2),其参数方程为(t为参数,m∈R),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+8cosθ-ρ=0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)求已知曲线C1和曲线C2交于A,B两点,且|PA|=2|PB|,求实数m的值.解 (1)C1的参数方程(t为参数,m∈R)消参得普通方程为x+y-m-2=0.C2的极坐标方程化为ρ(2cos2θ-1)+8cosθ-ρ=0,两边同乘ρ得2ρ2cos2θ+8ρcosθ-2ρ2=0,即y2=4x.即C2的直角坐标方程为y2=4x.(2)将曲线C1的参数方程标准化为(t为参数,m∈R),代入曲线C2:y2=4x,得t2+4t+4-4m=0,由Δ=(4)2-4××(4-4m)>0,得m>-3,设A,B对应的参数为t1,t2,由题意得|t1|=2|t2|,即t1=2t2或t1=-2t2,当t1=2t2时,解得m=-,满足m>-3;当t1=-2t2时,解得m=33,满足m>-3.综上,m=-或33.4.(2022·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0≤α<π).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于不同的两点A,B,若|AB|=8,求α的值.解 (1)将(t为参数,0≤α<π)消去参数t,整理得x·sinα-y·cosα+cosα=0,∴直线l的普通方程为xsinα-ycosα+cosα=0.5\n∵ρcos2θ=4sinθ,∴ρ2cos2θ=4ρsinθ,将ρcosθ=x,ρsinθ=y代入上式,得x2=4y,∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y.(2)将(t为参数,0≤α<π)代入方程x2=4y,整理,得t2cos2α-4tsinα-4=0,显然Δ=16sin2α+16cos2α=16>0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=,∴|AB|=|t1-t2|===8,解得cosα=±,又0≤α<π,∴α=或α=.5.(2022·贵州省凯里市第一中学模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数,α∈[0,π]),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)写出曲线C的极坐标方程;(2)设直线l1:θ=θ0(θ0为任意锐角),l2:θ=θ0+分别与曲线C交于A,B两点,试求△AOB面积的最小值.解 (1)由cos2α+sin2α=1,将曲线C的参数方程消参得+=1(y≥0).又x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以+=1,化简整理得曲线C的极坐标方程为ρ2=(θ∈[0,π]).①(2)将θ=θ0代入①式,得5\n|OA|2=ρ=,同理|OB|2=ρ==,于是+=+=,由于=+≥2(当且仅当ρA=ρB时取“=”),故ρA·ρB≥,S△AOB=ρA·ρB≥.故△AOB面积的最小值为.5

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发布时间:2022-08-25 23:49:23 页数:5
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文章作者:U-336598

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