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全国通用版2022高考数学二轮复习中档大题规范练六不等式选讲理

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(六)不等式选讲1.(2022·福建省百校模拟)已知函数f(x)=|x-a|-|x-1|.(1)当a=2时,求不等式0<f(x)≤1的解集;(2)若∀x∈(0,+∞),f(x)≤a2-3,求a的取值范围.解 (1)当a=2时,因为f(x)=|x-2|-|x-1|≤|(x-2)-(x-1)|=1,所以f(x)≤1的解集为R;由f(x)>0,得|x-2|>|x-1|,则|x-2|2>|x-1|2,即x2-4x+4>x2-2x+1,解得x<.故不等式0<f(x)≤1的解集为.(2)当a≤0,x∈(0,+∞)时,f(x)=x-a-|x-1|=则f(x)max=1-a≤a2-3,又a≤0,所以a≤-;当0<a<1,x∈[1,+∞)时,f(x)=1-a>0>a2-3,故0<a<1不合题意;当a≥1,x∈(0,+∞)时,f(x)=|x-a|-|x-1|≤|(x-a)-(x-1)|4\n=|a-1|=a-1,当且仅当0<x≤1时等号成立,则a2-3≥a-1,又a≥1,所以a≥2.综上,a的取值范围为∪[2,+∞).2.(2022·滨州、淄博模拟)已知函数f(x)=|x-2|-|2x+1|.(1)解不等式f(x)≤2;(2)若∃b∈R,不等式|a+b|-|a-b|≥f(x)对∀x∈R恒成立,求a的取值范围.解 (1)f(x)=原不等式等价于或或解得x≤-1或-≤x<2或x≥2,综上所述,不等式的解集是.(2)∃b∈R,|a+b|-|a-b|≥f(x)对∀x∈R恒成立等价于(|a+b|-|a-b|)max≥f(x)max.因为|a+b|-|a-b|≤|(a+b)+(a-b)|=2|a|,所以|a+b|-|a-b|的最大值为2|a|;当x≤-时,f(x)≤;当-<x<2时,-5<f(x)<;当x≥2时,f(x)≤-5,所以f(x)max=,所以由原不等式恒成立,得2|a|≥,解得a≥或a≤-.即a的取值范围是∪.3.(2022·咸阳模拟)已知函数f(x)=|2x+1|(x∈R).(1)解不等式f(x)≤1;(2)设函数g(x)=f(x)+f(x-1)的最小值为m,且a+b=m(a,b>0),求+的取值范围.4\n解 (1)由f(x)≤1,即|2x+1|≤1,得-1≤2x+1≤1,解得x∈[-1,0].即不等式的解集为{x|-1≤x≤0}.(2)g(x)=f(x)+f(x-1)=|2x+1|+|2x-1|≥|2x+1-(2x-1)|=2,当且仅当(2x+1)(2x-1)≤0,即-≤x≤时取等号,∴m=2.∴a+b=2(a,b>0),∴+=(a+b)=≥=,当且仅当即a=,b=时等号成立,综上,+的取值范围为.4.(2022·广州模拟)已知函数f(x)=3|x-a|+|3x+1|,g(x)=|4x-1|-|x+2|.(1)求不等式g(x)<6的解集;(2)若存在x1,x2∈R,使得f(x1)和g(x2)互为相反数,求a的取值范围.解 (1)由题意可得g(x)=当x≤-2时,g(x)=-3x+3<6,得x>-1,无解;当-2<x<时,g(x)=-5x-1<6,得x>-,即-<x<;当x≥时,g(x)=3x-3<6,得x<3,即≤x<3.综上,g(x)<6的解集为.(2)因为存在x1,x2∈R,使得f(x1)=-g(x2)成立,所以{y|y=f(x),x∈R}∩{y|y=-g(x),x∈R}≠∅,又f(x)=3|x-a|+|3x+1|≥|(3x-3a)-(3x+1)|=|3a+1|,当且仅当(3x-3a)(3x+1)≤0时取等号.4\n由(1)可知,g(x)∈,则-g(x)∈,所以|3a+1|≤,解得-≤a≤.故a的取值范围为.5.(2022·潍坊模拟)已知函数f(x)=|x+4|,不等式f(x)>8-|2x-2|的解集为M.(1)求M;(2)设a,b∈M,证明:f(ab)>f(2a)-f(-2b).(1)解 将f(x)=|x+4|代入不等式,整理得|x+4|+|2x-2|>8.①当x≤-4时,不等式转化为-x-4-2x+2>8,解得x<-,所以x≤-4;②当-4<x<1时,不等式转化为x+4+2-2x>8,解得x<-2,所以-4<x<-2;③当x≥1时,不等式转化为x+4+2x-2>8,解得x>2,所以x>2.综上,M={x|x<-2或x>2}.(2)证明 因为f(2a)-f(-2b)=|2a+4|-|-2b+4|≤|2a+4+2b-4|=|2a+2b|,所以要证f(ab)>f(2a)-f(-2b),只需证|ab+4|>|2a+2b|,即证(ab+4)2>(2a+2b)2,即证a2b2+8ab+16>4a2+8ab+4b2,即证a2b2-4a2-4b2+16>0,即证(a2-4)(b2-4)>0,因为a,b∈M,所以a2>4,b2>4,所以(a2-4)(b2-4)>0成立,所以原不等式成立.4

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发布时间:2022-08-25 23:49:22 页数:4
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文章作者:U-336598

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