江西省高考数学第二轮复习 专题一 常以客观题形式考查的几个问题第2讲　平面向量、复数、框图及合情推理 理

专题一　常以客观题形式考查的几个问题第2讲　平面向量、复数、框图及合情推理真题试做1．(2012·山东高考，理1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为(　　)．A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i2．(2012·天津高考，理7)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若＝－，则λ＝(　　)．A．B．C．D．3．(2012·重庆高考，理11)若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝__________.4．(2012·陕西高考，理11)观察下列不等式1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，……照此规律，第五个不等式为____________________．5．(2012·江西高考，理14)下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是__________．考向分析本部分内容在高考中通常以选择题、填空题的形式出现，属容易题或中档题，对平面向量的考查重点是应用或与其他知识的简单综合，出题频率较高；对复数的考查主要是复数概念、复数四则运算和复数的几何意义；对框图的考查主要以循环结构的程序框图为载体考查学生对算法的理解；对合情推理的考查主要以归纳推理为主，考查学生的观察、归纳和类比能力．热点例析热点一　平面向量的运算及应用【例1】(1)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(0,1)，|b|＝2，则|2a＋b|的值为__________．(2)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝__________.规律方法1．平面向量主要考查：(1)平行、垂直的充要条件；(2)数量积及向量夹角；(3)向量的模．-7-\n2．解决此类问题的办法主要有：(1)利用平面向量基本定理及定义；(2)建立坐标系通过坐标运算．变式训练1已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为__________．热点二　复数的概念与运算【例2】(1)(2012·江西南昌二模，理1)已知a∈R，且为纯虚数，则a＝(　　)．A．B．－C．1D．－1(2)复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　)．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限规律方法1．处理有关复数的问题，首先要整理出实部、虚部，即写出复数的代数形式，然后根据定义解题；2．掌握复数的四则运算规律及in(n∈N*)的结果．变式训练2已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝(　　)．A．－1B．1C．2D．3热点三　算法与程序框图【例3】(2012·北京石景山一模)执行下面的程序框图，若输入的N是6，则输出p的值是(　　)．A．120B．720C．1440D．5040规律方法对本部分内容，首先搞清框图的运算功能，然后根据已知条件依次执行，找出变化规律，最终得出结果或将框图补充完整．变式训练3如图给出的是计算＋＋＋…＋的值的一个程序框图，则空白框内应填入的条件是(　　)．-7-\nA．i＞10?B．i＜10?C．i＞20?D．i＜20?热点四　合情推理的应用【例4】设函数f(x)＝(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝__________.规律方法运用归纳推理得出一般结论时，要注意从等式、不等式的项数、次数、系数等多个方面进行综合分析，归纳发现其一般结论，若已给出的式子较少，规律不明显时，可多写出几个式子，发现其中的一般结论．变式训练4在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类比以上结论有：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示__________．思想渗透转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．本专题用到的转化与化归方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．(3)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．【典型例题】如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n(m，n＞0)，则＋的最小值为(　　)．-7-\nA．2B．4C．D．9解析：连结AO，则＝－＝－＝＋，同理＝＋.因M，O，N三点共线，故＋＝λ，即＋＝0.由于，不共线，根据平面向量基本定理得－－＝0且－＋＝0，消掉λ即得m＋n＝2，故＋＝(m＋n)＝≥×(5＋4)＝，当且仅当n＝2m时取等号．故选C.答案：C1．复数(i是虚数单位)的虚部是(　　)．A．B．iC．D．i2．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”．其中类比得到的正确结论的个数是(　　)．A．0B．1C．2D．33．(2012·江西九校联考，理3)向量a，b均为单位向量，且a·b＝，向量a－c与向量b－c的夹角为，则向量a－c的模的最大值为(　　)．A．B．1C．D．24．(2012·江西八校联考，理12)阅读如图所示的程序框图，则输出的结果S的值为__________．-7-\n参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．A　解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，则z(2－i)＝(a＋bi)(2－i)＝(2a＋b)＋(2b－a)i，所以解得所以z＝3＋5i，故选A．2．A　解析：设＝a，＝b，则|a|＝|b|＝2，且〈a，b〉＝．＝－＝(1－λ)b－a，＝－＝λa－b．·＝［(1－λ)b－a］·(λa－b)＝［λ(1－λ)＋1］a·b－λa2－(1－λ)b2＝(λ－λ2＋1)×2－4λ－4(1－λ)＝－2λ2＋2λ－2＝－．即(2λ－1)2＝0，∴λ＝．3．4　解析：(1＋i)(2＋i)＝1＋3i＝a＋bi，所以a＝1，b＝3，a＋b＝4.4．1＋＋＋＋＋＜5．3　解析：当T＝0，k＝1时，sin＞sin，所以a＝1，T＝1，k＝2；当T＝1，k＝2时，sin＜sin，所以a＝0，T＝1，k＝3；当T＝1，k＝3时，sin＜sin，-7-\n所以a＝0，T＝1，k＝4；当T＝1，k＝4时，sin＞sin，所以a＝1，T＝2，k＝5；当T＝2，k＝5时，sin＞sin，所以a＝1，T＝3，k＝6，此时k≥6，所以输出T＝3．精要例析·聚焦热点热点例析【例1】(1)2　解析：|2a＋b|2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×2cos60°＋4＝12．∴|2a＋b|＝2．(2)1　解析：由于a＝(，1)，b＝(0，－1)，所以a－2b＝(，3)，而c＝(k，)，且(a－2b)∥c，所以有×＝3×k，解得k＝1．【变式训练1】5　解析：如图，设PC＝x，PD＝y．由于∠ADC＝∠BCD＝90°，从而PA＝，PB＝．又＝＋，＝＋，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝－xy＋2，因此|＋3|＝＝＝＝＝≥5，当且仅当3x＝y时取最小值5．【例2】(1)D　解析：由题意，知＝＝为纯虚数，∴，∴a＝－1，故选D．(2)D　解析：∵z＝＝＝＝－i，∴复数z在复平面内对应的点在第四象限．【变式训练2】B　解析：∵＝b＋i，∴a＋2i＝－1＋bi．∴a＝－1，b＝2．∴a＋b＝1．【例3】B　解析：当k＝1，p＝1时，p＝p·k＝1,1＜6，满足；当k＝2，p＝1时，p＝p·k＝2,2＜6，满足；当k＝3，p＝2时，p＝p·k＝6,3＜6，满足；当k＝4，p＝6时，p＝p·k＝24,4＜6，满足；-7-\n当k＝5，p＝24时，p＝p·k＝120,5＜6，满足；当k＝6，p＝120时，p＝p·k＝720,6＜6，不满足，输出p为720．【变式训练3】A　解析：由表达式＋＋＋…＋的最后一项的分母为20可知，流程图中循环体退出循环时的n的值应当为22，i的值为11，其循环体共循环了10次，即判断框内可填的条件可以为n＞20？或i＞10？，故应选A．【例4】　解析：由于f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝，f4(x)＝，还可求得f5(x)＝，由以上结果可以发现：当n∈N*且n≥2时，fn(x)的表达式都是分式的形式，分子上都是x，分母上都是x的一次式，其中常数项依次为2,4,8,16,32，…，可知其规律是2n的形式，而x的一次项的系数比常数项都小1，因此可得fn(x)＝(n∈N*且n≥2)．【变式训练4】过原点的平面创新模拟·预测演练1．C　解析：＝＝＝＋，所以虚部为，选C．2．C　解析：①②正确，③错误．3．D　解析：由于a，b为单位向量，且a·b＝，故a，b的夹角为，把向量a，b，c的起点放在一点，根据向量减法的三角形法则作图(如图)，根据正弦定理得＝，在△ABC中，显然AB＝1，且∠ACB＝，所以AC＝2sin∠ABC，又∠ABC∈，所以AC≤2，即|a－c|的最大值为2，故选D．4．　解析：框图的功能是求数列的和，该数列的周期为＝6，而2012＝335×6＋2，故输出的结果为S＝sin＋sin＝．-7-