浙江省高考数学第二轮复习 专题一 常以客观题形式考查的几个问题第1讲 集合与常用逻辑用语 理
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专题一 常以客观题形式考查的几个问题第1讲 集合与常用逻辑用语真题试做1.(2012·重庆高考,理7)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( ).A.既不充分也不必要的条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.充要条件2.(2012·浙江高考,理1)设集合A={x|1<x<4},集合B={x|x2-2x-3≤0},则A∩(∁RB)=( ).A.(1,4)B.(3,4)C.(1,3)D.(1,2)∪(3,4)3.(2012·山东高考,理3)设a>0,且a≠1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2012·天津高考,理11)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B=,且A∩B=(-1,n),则m=__________,n=__________.考向分析本部分内容在高考题中主要以选择题和填空题的形式出现,集合在高考中主要考查三方面内容:一是考查集合的概念、集合间的关系;二是考查集合的运算和集合语言的运用,常以集合为载体考查不等式、解析几何等知识;三是以创新题型的形式考查考生分析、解决集合问题的能力.对逻辑用语的考查,主要是对命题真假的判断、命题的四种形式、充分必要条件的判断的应用等.热点例析热点一 集合的概念与运算【例1】已知A={0,1,a},B={a2,b},且A∩B={1},A∪B={0,1,2,4},则logab=( ).A.-1B.0C.1D.2规律方法解答集合间的运算关系问题的思路:先正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性、代表的意义,再根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解.确定(应用)集合间的包含关系或运算结果,常用到以下技巧:①若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解;②若已知的集合是点集,用数形结合法求解;③若已知的集合是抽象集合,用Venn图求解;④注意转化关系(∁RA)∩B=B⇔B⊆∁RA,A∪B=B⇔A⊆B,∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)等.变式训练1设全集U=R,集合M={x|y=},N={y|y=3-2x},则图中阴影部分表示的集合是( ).A.B.C.D.热点二 命题的真假与否定【例2】给出下列三个结论:-5-\n①命题“若α=β,则cosα=cosβ”的逆否命题;②命题“x2=4”是“x=-2”的充分不必要条件;③p:a∈{a,b,c},q:{a}⊆{a,b,c},p且q为真命题.其中正确结论的序号是__________.(填写所有正确结论的序号)规律方法1.命题真假的判定方法:(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别;(2)四种命题的真假的判断根据:一个命题和它的逆否命题同真假,而与它的其他两个命题的真假无此规律;(3)形如p∨q,p∧q,p命题的真假根据真值表判定.2.命题的否定形式有:原语句是都是至少有一个至多有一个>否定形式不是不都是一个也没有至少有两个≤热点三 充分条件、必要条件、充要条件的判定【例3】已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).若p是q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.规律方法(1)对充分、必要条件的判断要注意以下几点:①要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.②要善于举出反例:当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明.(2)判断命题的充要关系有三种方法:①定义法:1°分清条件和结论:分清哪个是条件,哪个是结论;2°找推式:判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假;3°下结论:根据推式及定义下结论.②等价法:即利用A⇒B与B⇒A;B⇒A与A⇒B;A⇔B与B⇔A的等价关系,对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法.③利用集合间的包含关系判断:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.变式训练2设p:|4x-3|≤1,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是( ).A.B.C.(-∞,0]∪D.(-∞,0)∪思想渗透1.补集思想,即已知全集U,求子集A,若直接求A困难,可先求A的补集,再由A的补集的补集是A求出A.逆向思维是从已有习惯思维的反方向去思考问题,在正向思维受阻时,逆向思维往往能起到“柳暗花明又一村”的效果,补集思想就是一种常见的逆向思维.已知下列三个方程:①x2+4ax-4a+3=0,②x2+(a-1)x+a2=0,③x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,求实数a的取值范围.解:设已知的三个方程都没有实根,则解得-<a<-1.故所求a的取值范围是a≥-1或a≤-.2.特殊值法判断命题真假的类型:-5-\n(1)判断全称命题为假;(2)判断特称命题为真;(3)判断一个命题不成立.求解时注意的问题:(1)寻找特例时,应使特例符合已知条件;(2)特例应力求全面,不能以偏概全.1.(2012·浙江温州一模,理2)设集合A,B,则A⊆B是A∩B=A成立的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2012·浙江余杭高级中学二模,理2)设集合A={x|x2-1>0},B={x|log2x<1},则A∩B等于( ).A.{x|x<-1}B.{x|0<x<2}C.{x|1<x<2}D.{x|x>1,或x<-1}3.(2012·浙江杭州二中月考,理2)设集合M={x|x=3n+1,n∈Z},N={y|y=3n-1,n∈Z},若x0∈M,y0∈N,则x0y0与M,N的关系是( ).A.x0y0∈MB.x0y0∈NC.x0y0∈M∩ND.x0y0∉M∪N4.“a=”是“对任意的正数x,2x+≥1”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ).A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数6.已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题:p1:|a+b|>1⇔θ∈p2:|a+b|>1⇔θ∈p3:|a-b|>1⇔θ∈p4:|a-b|>1⇔θ∈其中的真命题是( ).A.p1,p4B.p1,p3C.p2,p3D.p2,p4参考答案命题调研·明晰考向真题试做1.D 解析:若f(x)为[0,1]上的增函数,则f(x)在[-1,0]上为减函数,根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3,4]上的减函数;若f(x)为[3,4]上的减函数,则f(x)在[-1,0]上也为减函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数,故选D.2.B 解析:由已知得,B={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},所以∁RB={x|x<-1,或x>3}.所以A∩(∁RB)={x|3<x<4}.3.A 解析:由函数f(x)=ax在R上是减函数可得0<a<1,由函数g(x)=(2-a)x3在-5-\nR上是增函数可得a<2,因为0<a<1⇒a<2,a<2D⇒/0<a<1,所以题干中前者为后者的充分不必要条件,故选A.4.-1 1 解析:A={x∈R||x+2|<3},∴|x+2|<3.∴-3<x+2<3,∴-5<x<1.又∵B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),∴-1是方程(x-m)(x-2)=0的根,n是区间(-5,1)的右端点,∴m=-1,n=1.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】B 解析:∵A∩B={1},∴b=1或a2=1(不满足题意,舍去),∴b=1.∵A∪B={0,1,2,4},∴a=2或a=4(不满足题意,舍去),故logab=log21=0.选B.【变式训练1】B 解析:M={x|y=}=,N={y|y=3-2x}={y|y<3}.因图中阴影部分表示的集合的元素为N中元素除去M中元素,即<x<3,故选B.【例2】①③ 解析:对于①,因命题“若α=β,则cosα=cosβ”为真命题,所以其逆否命题亦为真命题,①正确;对于②,因由“x2=4”得x=±2,所以“x2=4”是“x=-2”的必要不充分条件,故②错;对于③,p,q均为真命题,由真值表判定p且q为真命题.故③正确.【例3】解:由题意知q⇒p,但pq.即p⇒q,但qp.∴或解得m≥9.【变式训练2】A 解析:由|4x-3|≤1,得≤x≤1,p为x<或x>1;由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,q为x<a或x>a+1.若p是q的必要不充分条件,应有a≤且a+1≥1,两者不能同时取等号,所以0≤a≤,故选A.创新模拟·预测演练1.C2.C 解析:A={x|x>1,或x<-1},B={x|0<x<2},则A∩B={x|1<x<2},故选C.3.B 解析:依题意可设x0=3n+1,y0=3m-1(n,m∈Z),则x0y0=9nm-3n+3m-1=3(3nm-n+m)-1,而3nm-n+m∈Z,故x0y0∈N.4.A 解析:当a=时,2x+=2x+≥2=1;若对任意的正数x,2x+≥1,即对任意的正数x,不等式a≥x-2x2恒成立,得a≥(x-2x2)max=.故选A.5.D 解析:因原命题是全称命题,故其否定为特称命题,故选D.6.A 解析:由|a+b|>1得(a+b)2>1,即a2+b2+2a·b>1,整理得cosθ>-,又θ∈[0,π],解得θ∈;由|a-b|>1得(a-b)2>1,即a2+b2-2a·b>1,整理得cosθ<,又θ-5-\n∈[0,π],解得θ∈.综上可知p1,p4正确,故选A.-5-
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