安徽省高考数学第二轮复习 专题一 常以客观题形式考查的几个问题第1讲 集合与常用逻辑用语 文

专题一　常以客观题形式考查的几个问题第1讲　集合与常用逻辑用语真题试做1．(2012·山东高考，文2)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(UA)∪B为(　　)．A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{0,2,4}D．{0,2,3,4}2．(2012·大纲全国高考，文1)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则(　　)．A．ABB．CBC．DCD．AD3．(2012·安徽高考，文2)设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y＝lg(x－1)的定义域，则A∩B＝(　　)．A．(1,2)B．[1,2]C．[1,2)D．(1,2]4．(2012·陕西高考，文4)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(2012·安徽高考，文4)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是(　　)．A．对任意实数x，都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1考向分析本部分内容在高考题中主要是以选择题和填空题的形式出现，集合在高考中主要考查三方面内容：一是考查集合的概念、集合间的关系；二是考查集合的运算和集合语言的运用，常以集合为载体考查不等式、解析几何等知识；三是以创新题型的形式考查考生分析、解决集合问题的能力．对逻辑用语的考查，主要是对命题真假的判断、命题的四种形式、充分必要条件的判断、全称量词和存在量词的应用等．热点例析热点一　集合的概念与运算【例1】已知A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1,2,4}，则logab＝(　　)．A．－1B．0C．1D．2规律方法解答集合间的运算关系问题的思路：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义，再根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解．确定(应用)集合间的包含关系或运算结果，常用到以下技巧：①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；②若已知的集合是点集，用数形结合法求解；③若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解；④注意转化关系(RA)∩B＝BBRA，A∪B＝BAB，U(A∩B)＝(UA)∪(UB)，U(A∪B)＝(UA)∩(UB)等．变式训练1(2012·合肥八中冲刺卷，文2)设全集U＝R，已知集合A＝，B＝{x|2x2－7x＋3≤0}，则(RA)∩B＝(　　)．A.B．(1,2]C．[1,3)D．[1,3]-5-\n热点二　命题的真假与否定【例2】给出下列四个结论：①命题“若α＝β，则cosα＝cosβ”的逆否命题；②“存在x0∈R，使得x2－x＞0”的否定是：“任意x∈R，均有x2－x＜0”；③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件；④p：a∈{a，b，c}，q：{a}{a，b，c}，p且q为真命题．其中正确结论的序号是__________．(填写所有正确结论的序号)规律方法1.命题真假的判定方法：(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别；(2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；(3)形如p或q，p且q，非p命题的真假根据真值表判定；(4)全称命题与特称命题的真假的判定：全称命题p：任意x∈M，p(x)，其否定形式是存在x0∈M，非p(x0)；特称命题p：存在x0∈M，p(x0)，其否定形式是任意x∈M，非p(x)．2．命题的否定形式有：原语句是都是至少有一个至多有一个＞任意x∈A，使p(x)真否定形式不是不都是一个也没有至少有两个≤存在x0∈A，使p(x0)假变式训练2已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”；命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)．A．a≤－2或a＝1B．a≤－2或1≤a≤2C．a≥1D．－2≤a≤1热点三　充分条件、必要条件、充要条件的判定【例3】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．若非p是非q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．规律方法(1)对充分条件、必要条件的判断要注意以下几点：①要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.②要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(2)判断命题的充要关系有三种方法：①定义法：1°分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；2°找推导式：判断“pq”及“qp”的真假；3°下结论：根据推式及定义下结论．②等价法：即利用AB与非B非A；BA与非A非B；AB与非B非A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．③利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．变式训练3(2012·山东济南一模)设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)．A.B.C．(－∞，0]∪D．(－∞，0)∪思想渗透1．补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求A的补集，再由A的补集的补集是A求出A.逆向思维是从已有习惯思维的反方向去思考问题，在正向思维受阻时，逆向思维往往能起到“柳暗花明又一村”的效果，补集思想就是一种常见的逆向思维．【典型例题】已知下列三个方程：①x2＋4ax－4a＋3＝0，②x2＋(a－1)x＋a2＝0，③x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．-5-\n解：设已知的三个方程都没有实根，则解得－＜a＜－1.故所求a的取值范围是a≥－1或a≤－.2．特殊值法判断命题真假的类型：(1)判断全称命题为假；(2)判断特称命题为真；(3)判断一个命题不成立．求解时注意的问题：(1)寻找特例时，应使特例符合已知条件；(2)特例应力求全面，不能以偏概全．1．已知实数集R，集合M＝{x||x－2|≤2}，集合N＝，则M∩(RN)＝(　　)．A．{x|0≤x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|1＜x≤4}D．{x|1≤x≤4}2．“x＞3”是“不等式x2－2x＞0”的(　　)．A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件3．(2012·安徽江南十校，文3)命题p：若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，下列说法中正确的是(　　)．A．“p或q”是真命题B．“p或q”是假命题C．非p为假命题D．非q为假命题4．(2012·山东烟台一模，文2)已知命题p：存在x∈R，使sinx＝，命题q：任意x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且非q”是假命题；③命题“非p或q”是真命题；④命题“非p或非q”是假命题．其中正确的是(　　)．A．①②③B．③④C．②④D．②③5．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)．A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数6．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p1：|a＋b|＞1θ∈p2：|a＋b|＞1θ∈p3：|a－b|＞1θ∈p4：|a－b|＞1θ∈其中的真命题是(　　)．-5-\nA．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．C　解析：易知UA＝{0,4}，所以(UA)∪B＝{0,2,4}，故选C.2．B　解析：∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集，∴CB.3．D　解析：由－3≤2x－1≤3得，－1≤x≤2；要使函数y＝lg(x－1)有意义，须令x－1＞0，∴x＞1.∴集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．4．B　解析：由a＋为纯虚数可知a＝0，b≠0，所以ab＝0.而ab＝0a＝0，且b≠0.故选B.5．C　解析：该命题为存在性命题，其否定为“对任意实数x，都有x≤1”．精要例析·聚焦热点热点例析【例1】B　解析：∵A∩B＝{1}，∴b＝1或a2＝1(不满足题意，舍去)，∴b＝1.∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝2或a＝4(不满足题意，舍去)，故logab＝log21＝0.选B.【变式训练1】A　解析：集合A＝＝{x|x＞2或x≤－1}，B＝{x|2x2－7x＋3≤0}＝，(RA)∩B＝.【例2】①④　解析：对于①，因命题“若α＝β，则cosα＝cosβ”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对于②，命题“存在x0∈R，使得x2－x＞0”的否定应是：“任意x∈R，均有x2－x≤0”，故②错；对于③，因由“x2＝4”得x＝±2，所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分条件，故③错；对于④，p，q均为真命题，由真值表判定p且q为真命题，故④正确．【变式训练2】A　解析：p：y＝x2在x∈[1,2]上递增，最小值为1，∴a≤1.q：Δ＝4a2－4(2－a)≥0，∴a2＋a－2≥0，a≤－2或a≥1.若命题“p且q”是真命题，则p，q都为真．由得a＝1或a≤－2，故选A.【例3】解：由题意知非q非p，但非p非q，即pq，但qp.∴或解得m≥9.【变式训练3】A　解析：由|4x－3|≤1，得≤x≤1，非p为x＜或x＞1；由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，非q为x＜a或x＞a＋1.若非p是非q的必要不充分条件，应有a≤且a＋1≥1，两者不能同时取等号，所以0≤a≤，故选A.创新模拟·预测演练1．B　解析：M＝{x||x－2|≤2}＝{x|0≤x≤4}，又N＝＝{x|x＞1}，∴RN＝{x|x≤1}，故M∩RN＝{x|0≤x≤1}，选B.-5-\n2．A　解析：由x＞3组成集合A＝{x|x＞3}，由x2－2x＞0即x＞2或x＜0组成集合B＝{x|x＞2或x＜0}．∵AB，故选A.3．B　解析：∵a·b＞0时，a与b的夹角为锐角或零度角，∴命题p是假命题；又∵函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数时，可能f(x)在0处是个跳跃点，∴命题q也是假命题，∴选B.4．D　解析：命题p为假命题，命题q为真命题，故①④错误，②③正确．5．D　解析：因原命题是全称命题，故其否定为特称命题，故选D.6．A　解析：由|a＋b|＞1得(a＋b)2＞1，即a2＋b2＋2a·b＞1，整理得cosθ＞－，又θ∈[0，π]，解得θ∈；由|a－b|＞1得(a－b)2＞1，即a2＋b2－2a·b＞1，整理得cosθ＜，又θ∈[0，π]，解得θ∈.综上可知p1，p4正确，故选A.-5-